椭圆外一点引椭圆的两条切线互相垂直问题巧解x2 y 2问题：已知椭圆c: a2 + b2 = 1（a > b > 0），点P（x0 ,y0）是椭圆外一点，且由点P引椭圆的两条切线互相垂直，则点P （x0, y0）的轨迹方程为x2 + y2二a2 + b2 x0 y0 a b 解：设两切点为 A（x1， y1）， B（x2， y2），则 pA〔PB = °,即：（X]-x0）（x2-x0）+ （儿-yy2-y0） =0所以，X1X2 一 X°(Xi+ X2)+ x： + yi y2 - ( yi + y2)+ y0 二 0 ⑴(2)由椭圆的切线、切点弦知识可得直线AB的方程为：誓+語=1 将（2）代人椭圆c消去y得：1 b 2 x + X 2(a2 a4 y2 丿02b2x b2° x + — 1 = 0a y 2 y 220 02a2b2x a4b2 — a4y2所以：x + x — ° , xx — ° (3)1 2 b2x2 +a2y2 1 2 b2x2 +a2y20 0 0 0将（2）代人椭圆c消去x得:1 a2y2 2a2y a2 — x2( + 亠)y 2 — ° y + 亠—0b2 b4 x2 b2 x2 x20 0 02a2b2y a2b4 —x2b4所以：y + y — o一，y y — 0 (4)1 2 b2x2+a2y2 1 2 b2x2+a2y20 0 0 0将(3)、(4)代人(1)整理得： (x2+y2—a2—b2)(b2x2+a2y2—a2b2)—00 0 0 0所以：x2 + y2 — a2 + b2,或九 + 厶—10 0 a2 b2因为点P在椭圆外，所以点P（x0,y0）的轨迹方程是：x2 + — a2 + b2。
x0 y0 a b巧遇高考题，广东省2014年高考数学压轴题20题x 2 y 2 L A：'5已知椭圆c： 一 + 1= 1（a > b > 0）的一个焦点为（75,0），离心率为片a 2 b 2 3（1） 求椭圆 c 的标准方程（2） 若动点P（x0,y0）为椭圆外c 一点，且点P引椭圆c的两条切线互相垂直，求点P的轨 迹方程解:。