全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类) 一、填空题(每小题5分，共20分)(x y)ln(1 ―)1.计算 比4xdy=,其中区域D由直线x + y = 1与两坐标轴所围成三角形1 -x -y区域. ，一22I，2 .设 f(x)是连续函数，且满足 f(x)=3x —(f(x)dx—2,则 f(x)=.23 .曲面z =上+y2 一2平行平■面2x+2 y - z = 0的切平■面方程是 .24 .设函数y = y(x)由方程xef(y) =eyln29确定，其中f具有二阶导数，且「#1 ,则 d2y.2 -.dxx 2xnx e- - --■■,'二、(5分)求极限lim(e—e °…e )x，其中n是给定的正整数.三、(15分)设函数f(x)连续，g(x) = ]0f(xt)dt,且imf(x2=A, A为常数，求g1x)并讨论g“)在x=0处的连续性.四、(15分)已知平面区域D ={(x, y)|0WxEn,0Ey En} , L为D的正向边界，试证： |__二 msin ysin xsin ysin x ।tfxe dy - ye dx =g xe dy - ye dx ; LLVMir'/sin ysin y .5 _ 2(2)寸xe dy - yedx 之一n .L2五、(10分)已知y1=xex +e2x, y =xex+e‘，y3 =xex+e2x -e"是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、(10分)设抛物线y =ax2+bx + 2lnc过原点.当0ExE1时，y >0,又已知该抛物线与x轴及直线x=1所围图形白面积为L试确定a,b,c,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积 V最小. 3 od七、(15分)已知明仁)满足《(刈=4(用+/电212川，且Un(1)=C,求函数项级数£ Un(x)之和."■■---i1_nnT二 2八、(10分)求xT 1-时，与Z xn等价的无穷大量.n=02010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)一、(25分，每小题5分) n(1)设 xn =(1+a)(1 + a )川(1 十a ),其中 |a |<1,求场小.J 1 千2(2)求 lim e" . 1 十一：. T I x J(3)设 s >0 ,求 In = J e-sxxndx(n =1,2,111).(4)设函数f⑴有二阶连续导数，r=W2^7，g(x,y)= f,11求4+0.'r ；x ；:y(5)求直线『lx—y=0与直线12：/=匕1=三二3的距离.z = 04-2-1二、(15分)设函数f(x)在(口,收)上具有二阶导数，并且f"(x)>0, lim「(x)=a>0, X 5:lim f(x)=P<0,且存在一点xO,使得f(xo)<0 .证明：方程f(x) =0在(q什)恰有两个实根.2.2c、(15分)设函数y=f(x)由参数方程Q(t)(")所确定，且于薪， 其中中(t)具有二阶导数，曲线yN⑴与yj"埸在E出相切,求函数”⑴.n四、(15 分)设 an >0,Sn=£ ak ,证明:k 1a aa(1)当a >1时，级数工曳收敛;qan a Sn(2)当a M1且SnT WnT8)时，级数工一白发散.nmS」五、(15分)设l是过原点、方向为3邛,¥),(其中u2+P2 + y2=1)的直线，均匀椭球222丁 + yy + 丁 W1 (其中04 +4处=0； L x y(2)求函数中(x)；(3)设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求 .2xyd)f *(x)dy. Cx4 y22011年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)一、计算下列各题(本题共 3小题，每小题各5分，共15分)1(1)(2).求lim +— +... +—(;n一,,n 1 n 2 n n, 2t 2⑶已知rTn"e I，求I.I y =t -arctane dx二、(本题 10 分)求方程(2x+y —4 px+(x+y —1 Jdy =0 的通解.(本题15分)设函数f (x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且f(0)「(0),「(0 )均不为0,证明：存在唯一一组实数(*2及，使得k1f h k2 f 2h k3 f 3h — f 0—0 .h2四、(本题2 2 217分)设工1 :t+4+4=1 ,其中a >b >c>0 ,左：z2 =x2 +y2 ,「为工1与工2的交线，求 a b c椭球面上1在「上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值五、(本题16分)已知S是空间曲线 卜2+3y2T绕y轴旋转形成的椭球面的上半部分(z>0)(取 z = 0上侧)，口是S在P(x,y,z)点处的切平面，P(x,y,z)是原点到切平面口的距离，九*#表示S的正法向的方向余弦.计算：(2) JJz(Zx+3Ny+vz )dSS1六、(本题12分)设f(x)是在(g,y)内的可微函数，且|「(x)|
.X J工:/'( ijI IoO定义an=lnf(anjn=1,2,…，证明：£一(小—a0」)绝对收敛.n 1 i I 1 (七、(本题15分)是否存在区间［0,2］上的连续可微函数f(x),满足f(0) = f (2)=1 , |f'(x)|W1,20 f(x)dx E1?i青说明理由.2012年第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)一、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)解答下列各题(要求写出重要步骤)1(1)求极限 nim(n!)n2 . 2x y -3z 2 =0⑵求通过直线l： 5*+5丫法+3=0的两个互相垂直的平面耳和使其中一个平面过点(4，-3, cos x).2(3)已知函数z皿x,y)ea-y,且上上=确定常数a和b ,使函数z =z(x, y)满足方程 ：x：-y2z-三z ：：z一 一一 一z = 0 .jx；:y :：x 2y(4)设函数u =u(x)连续可微，u(2) =1 ,且［(x吃yudx (x/U(y3在右半平面与路径无关，求u(x,y).(5)求极限lim声广二int 一小 x .二 x t cost二、(本题 10 分)计算 j^e-x |sin x|dx .三、(本题10分)求方程x2sin1=2x_501的近似解，精确到0.001. x...一_... .. . 一一 一.一V,3 f (, ,\一四、(本题 12 分)设函数 y = f(x)二阶可导，且 f"(x)>0, f(0)=0, f (0)=0,求 lim xf(u)3 ,其x 0 f (x)sin u中u是曲线y = f(x)上点P(x, f(x))处的切线在x轴上的截距.11五、(本题12分)求最小实数C,使得酒足f | f(x) dx=1的连续函数f(x)都有f f (/x)dx0.区域C是由抛物面z=x2+y2和球面x2 +y2 +z2 =t2 (z >0)所围起来的部分.定义三重积分F(t) = W(x2 +y2 +z2)dv , I iX x\ \\ J求F(t)的导数F '(t).COoO七、(本题14分)设£ an与£ bn为正项级数，证明：n 4n 4'_ _ - -'(1)若lim(3--工)>0,则级数 9an收敛；n 二 an 1bn bn1n^(2)若limf-a」-工)<0,且级数克bn发散，则级数9 an发散.n 一 an 1bn bn 1nWni2013年第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)一、解答下列各题(每小题6分，共24分，要求写出重要步骤)n1 .求极限 lim(1 +sin n工 +4n2 ).2 .证明广义积分［*sn±dx不是绝对收敛的. 0 x3 .设函数y =y(x)由x3 +3x2y -2y3 =2确定，求y(x)的极值.4 .过曲线y=3/x(x之0)上的点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形的面积为-3 ,求点A的坐标.4x一二并八 do 八、、，咨…工口八xsinx arctane一、(满分 12分)计算7E积分 I =1 2dx. 1三、(满分12分)设f(x庐X = 0处存在二阶导数 「(0),且1而上(上)=0.证明：级数克fl i收敛.xq Xnm (nJ一 …、一 一 b2四、(满分 12 分)设 f(X) Mn, f (x) ^m >0(a Mx Mb),证明[sin f(x)dx <—.1am五、(满分14分)设工是一个光滑封闭曲面，方向朝外.给定第二型的曲面积分I = ||(x3 -x Jdydz +(2y3 -y jdzdx +(3z3 -z pxdy .试确定曲面 工,使积分I的值最小，并求该最小值 .工六、(满分14分)设"「)= I缪二理，其中a为常数，曲线C为椭圆x2+xy+y2 =r2 ,取正向.求极限lim 1a(r). C (x y )r "1 . . 1二1 川一七、(满分14分)判断级数I 2 n的敛散性：若收敛：求其和 .n1 n 1 n 22014年第六届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)、填空题(共有 5小题，每题6分，共30分)1 .已知y1 =ex和y1 =xex是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是2 .设有曲面S: z =x2+2y2和平面L : 2x+2y+z = 0.则与L平行的S的切平面方程是3.设函数y=y(x)由方程x =所确定.求dzdxx=0n k4 .设 4 =£,则 lim xnk4(k 1)! n )：： n5.已知鸣l1f(x) x 3 -e limx x 0f(x)2x二、(本题12分)设n为正整数，计算1I = .0d cos dx三、(本题14分)设函数f(x)在[0,1]上有二阶导数，且有正常数 A,B使彳导f(x)