2） 空间闭式链机构的自由度,,,,,,,具有公共约束的单环机构,,在某些机构中，由于运动副或构件几何位置的特殊配置，使全部构件都失去了某些运动的可能性换言之，该机构中所有构件的运动都被加上了若干个公共约束具有公共约束的单环机构,,,,,,,,如果按单环机构的自由度计算公式：,,,此时 ，不再适用因为任何一个活动构件在与其他构件以运动副联接之前所具有的自由度数均小于6 同时任何一个运动副引入的约束中，均有一个或多个与公共约束相重复 若设机构中的公共约束数目为m，则其任一活动构件在与其他构件以运动副联接之前，均只剩下（6-m）个自由度；而其运动副所引入的约束之中，均有m个与公共约束相重复若设机构中的公共约束数目为m，则其任一活动构件在与其他构件以运动副联接之前，均只剩下（6-m）个自由度；而其运动副所引入的约束之中，均有m个与公共约束相重复该机构的自由度为：,λ为断开机架后末杆自由度,,,,,,,,,,,等号右边第一项：不考虑公共约束时，机构中运动副的自由度之和等号右边第二项：将机架断开后，以被断开机架之一部分为末端杆，此末端杆的自由度观察末杆的自由度,,,,,,,,,,,,末端杆自由度的计算方法,计算具有公共约束的单环机构的自由度的关键在于计算末端杆的自由度。
通常可以采用直观判断法下面具体介绍此方法闭式链断开机架后所得的开式链机架,机架,末杆,,,所有运动副都既容许相对转动又容许相对移动固有的基本转动的个数,,由转动衍生附加的基本移动的个数,,固有的基本移动的个数,固有的基本转动和移动的个数最多均为3个 若各有关运动副的相对转动轴线或相对移动方向均平行于一个方向，则由于向量共线而有 或,,,若平行于两个不同的方向，则由于向量共面而有 或,末杆的自由度为：,,若还有不与前两个方向线共面的第三个方向，则由于合成向量为空间任意方向而有 或,当 时，应分析有无衍生附加的基本移动,当构件绕两个平行轴线转动时，由这两个固有基本转动可衍生一个附加的基本移动，移动方向垂直于转动轴线 当构件绕三个或三个以上的平行轴线移动时，则衍生两个附加的基本移动，在垂直于转动轴线的平面内例4 图示机构中转动副C与螺旋副B共轴线，转动副A、D、E的轴线相互平行，计算该机构的自由度由于运动副A、D、E的转动轴线平行于一个方向，而运动副C的转动轴线沿着另一个方向，故,因有螺旋副，故,因运动副A、D、E三轴共线，将衍生两个附加的基本移动，但它们与λtt共面，故,,,,,,,例4 图示机构中转动副C与螺旋副B共轴线，转动副A、D、E的轴线相互平行，计算该机构的自由度。
所以末杆5·的封闭约束条件数,,机构自由度为,,,,,,,,例5 图示机构中轴线z1、z2、z3平行于一个方向，转动轴线z4、z5、z6平行于另一个方向，且各轴线不再同一平面内，计算该机构的自由度通过实例可见，具有公共约束的机构中各运动副轴线的几何位置都受到某些特殊限制，多数是相互平行对于各运动副轴线任意配置的空间机构，一般不存在公共约束即 ，也即,公共约束存在的基本条件,因多环机构各个环的结构不同，其公共约束数可以各不相同，故具有L个环的多环机构自由度的计算公式为：,多环机构,环1-2-3-4-1和环1-4-5-6-1,例 在下图所示多环机构中，环1-2-3-4-1的各运动副轴线的配置为任意位置，环1-4-5-6-1的各运动副轴线相互平行，求该机构的自由度,（3） 计算自由度时需要注意的几个问题,,,,,,,局部自由度,,在机构中，某些构件所能产生的局部运动并不影响其他构件的运动，这些构件所能产生的这种局部运动称为局部自由度机构自由度的计算公式为：,局部自由度,,,,,,,,,,,,,,例7 计算图示机构的自由度局部自由度,,,,,,,,局部自由度常出现于两种结构情况中： 同一构件上两个转动副的轴线重合、共线；两个移动副的导路方向平行。
3） 计算自由度时需要注意的几个问题,,,,,,,,由于机构的一些特殊几何条件而使其运动副失去的某些自由度，称为消极自由度在计算机构自由度时，应将消极自由度数从运动副的自由度数中减去消极自由度,消极自由度,,,,,,,,（3） 计算自由度时需要注意的几个问题,,,,,,,虚约束：某个约束对机构的运动并不起真正的限制作用空间机构的虚约束与平面机构的本质一样在计算自由度时，将不起作用的构件和相应的运动副去掉，然后计算3） 计算自由度时需要注意的几个问题,,,,,,,,1.3 机构的结构综合,机构的结构综合包括两个方面的基本问题：一是为了实现某种运动转换，所采用的机构应该由多少构件和哪些类型的运动副组成，叫做型综合；二是由一定数量的构件和一定类型的运动副，能组成的具有某一自由度的运动链共有多少种，叫做数综合1.3.1 开式链机构的结构综合,开式链机构的自由度数就等于各运动副的自由度之和，即,对上式变形可得：,,式中，Pj表示第j类运动副的数目1.3.1 开式链机构的结构综合,当机构自由度已给定时，便可直接按上式求得其结构简图的可能型式对于只含有转动副、圆柱副和球销副的开式链机构，当机构自由度W为1时，其结构简图的可能型式只有一种。
1.3.1 开式链机构的结构综合,当机构自由度W为2时，其结构简图的可能型式有三种1.3.1 开式链机构的结构综合,当机构自由度W为3时，其结构简图的可能型式有三种随着机构自由度的增大及所含运动副类型的增加，其结构简图的可能型式将大大增加1.3.1 开式链机构的结构综合,,某些机械手结构的结构简图在这类机构中很少采用自由度大于2的运动副1.3.1 开式链机构的结构综合,,1.3.2单自由度平面闭式链机构的结构综合,,一、单自由度平面机构中构件数与运动副数的配置单自由度机构的构件总数N与转动副数P之间的关系为：,,式中N为运动链中的构件总数，P为其中的运动副总数环路数L与构件总数n的关系为,1.3.2单自由度平面闭式链机构的结构综合,,单自由度机构，开式运动链单环机构，闭式运动链，四杆机构其余为复环闭式运动链1.3.2单自由度平面闭式链机构的结构综合,四杆运动链只有一个环，故其可能的构型只有一种六杆运动链应有两个环，故其可能的构型有两种，瓦特型和斯蒂芬森,三副件相邻,三副件被二副件隔开,1.3.2单自由度平面闭式链机构的结构综合,八杆运动链应有三个环，其可能的构型有16种,1.3.2单自由度平面闭式链机构的结构综合,十杆运动链应有四个环，其可能的构型有230种。
运动链如此众多的型式是按什么规律组合出来的，这一问题可用图论的方法加以研究1.3.3单自由度平面闭式链机构的结构综合,二、图论的基本知识,图：由直线段和小圆圈组成的网络状连通系统,节点：小圆圈，直线段的端点,边：直线段，连接两个节点的直线段,1.3.3单自由度平面闭式链机构的结构综合,子图：若一图的节点集合、边集合分别是另一图的节点集合、边集合的子集，则成该图为另一图的子图1.3.3单自由度平面闭式链机构的结构综合,完全连接图：任一节点和其他所有节点都有边相连接的图平面图：各边除在节点相交外，没有其他相交边的图1.3.3单自由度平面闭式链机构的结构综合,支路：图中一系列边的集合，其每两个相继的边联接于一个节点环路：从某一个节点开始又回到该节点的支，此支路通过各节点不超过一次，又称封闭环长度：构成支路或环路的 边数1.3.3单自由度平面闭式链机构的结构综合,同构：若两图的节点集合和边集合的元素分别有一一对应关系，且对应边与对应节点相关联，则成该两图同构1.3.3单自由度平面闭式链机构的结构综合,联接矩阵：表示图中边-节点或边-边或节点-节点之间联接关系的矩阵1.3.3单自由度平面闭式链机构的结构综合,变换图：若一图的节点-节点矩阵是另外一图的边-边矩阵，则称后者为前者的变换图。