经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)a=6， c=10，求b，(2)a=40，b=9，求c；(3)c=25，b=15，求a.思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少"【答案】∵∠ACD=90°AD=13, CD=12∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得AB2=AC2－BC2 =52－32 =16∴AB= 4∴AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，：在中，，，. 求：BC的长. 思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长. 解析：作于D，则因，∴〔的两个锐角互余〕∴〔在中，如果一个锐角等于，则它所对的直角边等于斜边的一半〕. 根据勾股定理，在中，. 根据勾股定理，在中，. ∴. 举一反三【变式1】如图，：，，于P. 求证：. 解析：连结BM，根据勾股定理，在中，. 而在中，则根据勾股定理有. ∴又∵〔〕，∴. 在中，根据勾股定理有，∴. 【变式2】：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
求：四边形ABCD的面积分析：如何构造直角三角形是解此题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据此题给定的角应选后两种，进一步根据此题给定的边选第三种较为简单解析：延长AD、BC交于E∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE== ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE==∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=类型三：勾股定理的实际应用〔一〕用勾股定理求两点之间的距离问题3、如下图，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点〔1〕求A、C两点之间的距离〔2〕确定目的地C在营地A的什么方向解析：〔1〕过B点作BE//AD∴∠DAB=∠ABE=60°∵30°+∠CBA+∠ABE=180°∴∠CBA=90° 即△ABC为直角三角形 由可得：BC=500m，AB= 由勾股定理可得： 所以〔2〕在Rt△ABC中，∵BC=500m，AC=1000m∴∠CAB=30°∵∠DAB=60°∴∠DAC=30° 即点C在点A的北偏东30°的方向举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的*工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门"【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如下图，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ， 与地面交于H．解：OC＝1米(大门宽度一半)，OD＝0.8米〔卡车宽度一半〕在Rt△OCD中，由勾股定理得：CD＝＝＝０.６米，CＨ＝０.６＋２.３＝２.９〔米〕＞２.５〔米〕．因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．〔二〕用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进展电网改造，*地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现方案在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线局部．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．思路点拨：解答此题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进展比拟，得出结论． 解析：设正方形的边长为1，则图〔1〕、图〔2〕中的总线路长分别为AB+BC+CD＝3，AB+BC+CD＝3图〔3〕中，在Rt△ABC中同理∴图〔3〕中的路线长为图〔4〕中，延长EF交BC于H，则FH⊥BC，BH＝CH由∠FBH＝及勾股定理得：EA＝ED＝FB＝FC＝∴EF＝1－2FH＝1－∴此图中总线路的长为4EA+EF＝ 3＞2.828>2.732 ∴图〔4〕的连接线路最短，即图〔4〕的架设方案最省电线．举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．解：如图，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm，根据勾股定理得〔提问：勾股定理〕∴ AC＝＝ ＝≈１０．７７〔cm〕〔勾股定理〕．答：最短路程约为１０．７７cm．类型四：利用勾股定理作长为的线段5、作长为、、的线段。
思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作作法：如下图〔1〕作直角边为1〔单位长〕的等腰直角△ACB，使AB为斜边；〔2〕以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角斜边为；〔3〕顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、、、的长度就是、、、举一反三【变式】在数轴上表示的点解析：可以把看作是直角三角形的斜边，，为了有利于画图让其他两边的长为整数，而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1作法：如下图在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出以下原命题的逆命题并判断是否正确1．原命题：猫有四只脚．〔正确〕2．原命题：对顶角相等〔正确〕3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．〔正确〕4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．〔正确〕思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫〔不正确〕2. 逆命题：相等的角是对顶角〔不正确〕3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．〔正确〕4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．〔正确〕总结升华：此题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。
7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状思路点拨：要判断ΔABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题 解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ：a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, ∴ (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0 ∵ (a-3)2≥0, (b-4)2≥0, (c-5)2≥0 ∴ a=3，b=4，c=5 ∵ 32+42=52, ∴ a2+b2=c2 由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形 总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到 举一反三【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积答案】：连结AC∵∠B=90°，AB=3，BC=4∴AC2=AB2+BC2=25〔勾股定理〕∴AC=5∵AC2+CD2=169，AD2=169∴AC2+CD2=AD2∴∠ACD=90°〔勾股定理逆定理〕【变式2】:△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形.分析:此题是利用勾股定理的的逆定理， 只要证明:a2+b2=c2即可证明： 所以△ABC是直角三角形.【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。
请问FE与DE是否垂直"请说明答案】答：DE⊥EF证明：设BF=a，则BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a,∴ EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2连接DF〔如图〕DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2∴ DF2=EF2+DE2,∴ FE⊥DE经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的根本用法1、假设直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积解析：设此直角三角形两直角边分别是3*，4*，根据题意得： 〔3*〕2+〔4*〕2＝202 化简得*2＝16；∴直角三角形的面积＝×3*×4*＝6*2＝96总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程〔组〕求解举一反三【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积答案】如图，等边△ABC，作AD⊥BC于D则：BD＝BC〔等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合〕∵AB＝AC＝BC＝2〔等边三角形各边都相等〕∴BD＝1在直角三角形ABD中，AB2＝AD2+BD2，即：AD2＝AB2－BD2＝4－1＝3∴AD＝S△ABC＝BC·AD＝注：等边三角形面积公式：假设等边三角形边长为a，则其面积为a。
变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积答案】设此直角三角形两直角边长分别是*，y，根据题意得：由〔1〕得：*+y＝7，〔*+y〕2＝49，*2+2*y+y2＝49 (3)(3)－(2)，得：*y＝12∴直角三角形的面积是*y＝×12＝6〔cm2〕【变式3】假设直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n思路点拨：首先要确定斜边〔最长的边〕长n+3，然后利用勾股定理列方程求解解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：〔n+1〕2+〔n+2〕2＝〔n+3〕2化简得：n2＝4∴n＝±2，但当n＝－2时，n+1＝－1<0，∴n＝2总结升华：注意直角三角形中两"直角边〞的平方和等于"斜边〞的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边变式4】以以下各组数为边长，能组成直角三角形的是〔 〕A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进展判断，对数据较大的可以用c2＝a2+b2的变形：b2＝c2－a2＝〔c－a〕〔c+a〕来判断例如：对于选择D，∵82≠〔40+39〕×〔40－39〕，∴以8，39，40为边长不能组成直角三角形。
同理可以判断其它选项答案】：A【变式5】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积解：连结AC∵∠B=90°，AB=3，BC=4∴AC2=AB2+BC2=25〔勾股定理〕∴AC=5∵AC2+CD2=169，AD2=169∴AC2+CD2=AD2∴∠ACD=90°〔勾股定理逆定理〕∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·。