一类无理数的证明

一类无理数的证明车沙粒摘要无理数,这是古希腊毕氏学派的重大发现,更是反证法的典范.本文对前人对是无理数的许多证明方法进行了总结和研究,把证明推广到更一般的对一类2数是无理数的证明上去.本文先列举了几种是无理数的证明方法,接着用多种2方法证明了这一类无理数,然后,证明了更一般的这一类无理数.nlm关键词关键词:无理数;证明;根号红河学院本科毕业论文（设计）ABSTRACTIrrational number is a great discovery of Pythagoras school in ancient Greek, especially is the model of counter-evidence method. This paper has summarized and researched many proofs about that is an irrational number, and extended to more 2general proofs about a kind of irrational numbers. This paper mainly proves the kind of irrational numbers with radical sign. The paper has firstly enumerated several proofs about that is an irrational number, and used a variety of ways to prove the 2irrational numbers of , then proved more general irrational numbers of . nlmKeywordsKeywords: irrational number; proof; radical sign红河学院本科毕业论文（设计）目 录第一章 前言 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 第二章 预备知识 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3第三章 是无理数的证明 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙523.1 奇偶论证法∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙53.2 无穷下降法 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙53.3 质因子论证法 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙63.4 良序性原理∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙73.5 几何法∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8第四章 是无理数的证明∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10n4.1 辗转相除法 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙104.2 整除性 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙104.3 质因子论证法 1 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙114.4 质因子论证法 2 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙114.5 最简分数 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙114.6 算术基本定理 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙124.7 牛顿有理根定理 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12第五章 是无理数的证明∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙14lm5.1 算数基本定理 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙145.2 最简分数 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙145.3 质因子论证法 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙155.4 牛顿有理根定理 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙15参考文献 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙16致谢 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙17第一章 前言112第一章 前言无理数,即非有理数之实数,不能写作两整数之比.若将它写成小数形式,小数点之后的数字有无限多个,并且不会循环. 常见的无理数有大部分的平方根、π 和 e 等.无理数的另一特征是无限的连分数表达式.公元前 500 年,古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras）学派的弟子希伯索斯（Hippasus）发现了一个惊人的事实,一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的（若正方形的边长为 1,则对角线的长不是一个有理数）,这一不可公度性与毕氏学派的”万物皆数”（指有理数）的哲理大相径庭.这一发现使该学派领导人惶恐,认为这将动摇他们在学术界的统治地位,于是极力封锁该真理的流传,希伯索斯被迫流亡他乡,不幸的是,在一条海船上还是遇到毕氏门徒,于是希伯索斯被残忍地扔进了大海. 希伯索斯的发现,第一次向人们揭示了有理数系的缺陷,证明了它不能同连续的无限直线等同看待,有理数并没有布满数轴上的点,在数轴上存在着不能用有理数表示的”孔隙”.而这种”孔隙”经后人证明简直多得”不可胜数”.于是,古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了.不可公度量的发现连同芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次数学危机,对以后2000 多年数学的发展产生了深远的影响,促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明,推动了公理几何学和逻辑学的发展,并且孕育了微积分思想萌芽. 不可约的本质是什么?长期以来众说纷纭,得不到正确的解释,两个不可通约的比值也一直认为是不可理喻的数.15 世纪意大利著名画家达.芬奇称之为”无理的数”,17 世纪德国天文学家开普勒称之为”不可名状”的数.然而真理毕竟是淹没不了的,毕氏学派抹杀真理才是”无理”.人们为了纪念希伯索斯这位为真理而献身的可敬学者,就把不可通约的量取名”无理数”——这就是无理数的由来.]1[对于带根号的数来说只要满足不是完全 次方数,那么它就是一个无lmml理数.是我们见得最多也是用的最多的一个带根号的无理数.据数学史书记载,最2第一章 前言2早发现无理数的是毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯.”不是有理数”被22发现不久,同时代的古希腊数学家塞阿多斯（Theodorus,公元前 470 年左右）又证明了,,,,,等等也都不是有理数.下面我们要研究的就是带35678根号这一类无理数的证明方法.红河学院本科毕业论文（设计）3第二章 预备知识本章主要是对文章中用到的一些定义、定理、推理做一个简单的介绍,以方便后面使用.定义定义 1 1 当两个整数的最大公因数为 1 时就说与互质,表示为]2[ba,ab.1,ba引理引理 1 1 假设,则有.]2[1,ba),(),(cabca定理定理 1 1 当时,其中 为正整数.1,ba1,llbal证明: 因为;1,ba所以由引理 1 知;1),(),(2baba再由引理 1 得;1),(),(23baba这样一直做下去就得: ;1),(),(babal又因为;1),(),(abball所以同理得:;1),(llba所以结论成立.定理定理 2 2（（良序性原理良序性原理））中任意一个非空子集都有最小元（即中]3[Npap存在元,对中任意元都有）.apxxa 定理定理 3 3 若,的最大公因子为,则存在两个整数 , 使得:]2[abdrsbsard定理定理 4 4（（算数基本定理算数基本定理））任何大于一的自然数都可以唯一分解成]2[nkpppnL21其中,是素数 ,,且为正整数.kppp,,,21LkpppL21k第二章 预备知识4定理定理 5 5（（牛顿有理根定理牛顿有理根定理））设为多项式 的根,其]4[011 1cxcxcxn nn L中系数 为整数.则或者为整数,或者是无理数.110,,,ncccL红河学院本科毕业论文（设计）5第三章 是无理数的证明2证明是无理数的方法有很多,在数量上毕氏定理的 370 种证法为最多.2以下搜集的几种是无理数的证明方法都是比较常见和简单的.23.1 奇偶论证法]5[证明: 假设为有理数,故可以写成,其中与为自然数且22ba2ab互质.将上式平方得 ;所以为偶数,从而也为偶数.令,其中222ba 2aama2为某一自然数,于是 或者 ,因此,为偶m22224)2(2mmab222mb 2b数,故亦为偶数.这就跟与互质的假设相矛盾,所以为有理数不成立,从bab2而得证为无理数.2这是一般书上最常见的证法.3.2 无穷下降法]5[证明: 假设,其中与为自然数,带入等式 ba2ab12112得到babbaba   1)(11所以（3-11212ba baab bab ba1）其中且 aba 21bab1第三章 是无理数的证明26又因,乘以得221babbab2于是且ab  20ab22 从而aaba 21由（3-1）式知112ba并且 .重复上述的过程,又可以得到aa 10且222ba12aa 总之,我们可以得到自然数所成的无穷数列0321Laaaa这是一个矛盾.所以是无理数.23.3 质因子论证法]5[证明: 假设为有理数,故可以写成,其中与为自然数且22ba2ab互质.将上式平方得 ,或222ba ))((222bababab令为的一个质因子,则,从而,于是pb2|bp))(( |babap或.)( |bap)( |bap又因为,故 .换言之,为与的公因子,这就跟与互质相矛bp |ap |pabab盾,所以为无理数.2红河学院本科毕业论文（设计）73.4 良序性原理]5[证明: 一个分数有无穷多的化身,例如:L128 96 64 32现假设为有理数,即 .此时与皆有无穷多个可能值.令,,2ba2abAB分别表示分子、分母、,之和的全体所成的集合,即Cab},;2:{NbabaaA},;2:{NbababB},;2:{NbababaC由良序性原理知,,皆有最小元素,分别令其为、、 , 就等于.ABCabccba 因为 ,所以 ,222ba abbaba222即 .)2()(abbbaa从而 ;baab ba 22故有新的表示法 .2baab 2但是,由 ,可知 .221babab2从而（3-aab22）（3-bba3）（3-babaab)()2(4）第三章 是无理数的证明28（3-2）式与的最小性相矛盾,故为无理数.a2（3-3）式与的最小性相矛盾,故为无理数.b2（3-4）式与的最小性相矛盾,故为无理数.ba 23.5 几何法]5[证明: 在直角三角形里,直角边为 1 的三角形的斜边为,如果说是有22理数,也就是其可以表示为两个数之商,即,其中和为互质的两个自ba2ab然数.由得,则肯定存在一个边长为整数的最小的等腰直角ba2222abb三角形.设这个等腰直角三角形的直角边长为,斜边为.如下图所示:nm图 3-1 边长为整数的最小的等腰直角三角形现在以 A 为原点,分别以 AB 和 AC 为半径做两段弧.根据很简单的初等几何知识,很容易算如图所示的各边长度.我们也会发现,三角形 FDC 也是一个各边都红河学院本科毕业论文（设计）9是整数的等腰三角形!这就导出了矛盾,因为如题所说,三角形 ABC 就已经是边长最小的等腰直角三角形,而现在又出来一个边长更小的等腰直角三角形,他们的边长都是整数,这就陷入了无限递推的困境.换一个角度说,就算一开始的三角形 ABC 的边长不是最小,那按照这样下去,就存在一个比三角形 ABC 更小的三角形 FDC,同样的做法,又可以得到一个比三角形 FDC 更小的三角形,因此循环下去,那就是根本不存在边数最小的、各边都是整数的等腰直角三角形,而这是不可能的.因此,是无理数.2第三章 是无理数的证明210第四章 是无理。