第 一 章 极限与连续1极限的概念与计算方法二、极限的计算方法(-)恒等变形法.I.hm-In.例1解：原式=e f Y,InxInlim=e-Inx例2 解：令“一（-=-+n 7 1 +1（二）利用夹逼定理例 1 解：令s =/J =+/+/-八2+1 yjn2+H+2 Vn2+n+nny/n2+ns 8ny/n-+1=1由 夹 逼 定 理 可 知lims,=100例 2 解：42+3+43-4竹也+3+4 8 M-CO n oo由 夹 逼 定 理 可 得lim 12+3+4=4“TOO例 3 解：*/0a 0a b山夹逼定理可得：l i m h+广n-oo a(四)利用等价无穷小例 1 解：,.x-0 ln(l+x)x 1-cosx1.X-X原式二hm-；-A 0 1 2=2例2法一：凑成第二个重要极限原 式=叫(l+ta/3x)ta/r3xta/3xsi/72x法二：r型基指函数 sin x/x-sinA例3解：原式=lim-)-1x-sinx 疝x V x-sinx=hme hm-ox-sin x=1x1二12-2 cos x例4解：原式=lim-x-0c.J+2cosx-2 ie 1x4x2+2cosx-2hm-；-=limX TO2x-2sinx4x3lim生胆io 4丁2 1 r3z XlimXTO 4X-112例5解：原式=1映(4-1)(4+V x+i j(6+1)(1 +COS 7VX2J i m lX6 f(1+COS 7CX)6 I -sin 7rx=-lim-3 万 1 1 71 COS 71X1一 万(五)利用罗必塔法则例1解：,.,x f0 siru x,sin x-sin(sin x)原式=lim-J 上io x3limx-0cos x-cosx COS X3x2=lim cos x-lim1-cos(sin x)x-0A-03x21 M出1。
3 x2J i m6 x16例2解：原式=lj”(Jl+x sin x-+xsinx+Jcosxx (Jl+xsinx+2 limx2io l+xsinx-cosx=2 lim2xsin x+x cos x+sinx=4 lim-；io 2cosx+cosx-xsin x43例3解：limX 001 1.ax+bx+clim Ax-oo2 1ax+bx+cx-33137it=-/+-3*h m-_ 3ti r.o t【TO te L-(I nn+I nb+lnc)e32ln(tbe)3yjabc（六）利用重要极限例1解：原式=lim/：4(2 =ln=a22I n 2 4（七）利用左、右极限例 1 解：/(l-0)=limx-=lim(x +l)=2 x 0=0(Ix 1 exx/(l+0)=limi当 _Lex-li=lim(x +l)eA-1=2*(+8)=+oov/(l-0)/(l +0)x2-l，/.li m-不存在i x-1例 2 解：/(0 0)=机 =2 +(1)=1 7 X TX T(r X 71+e/(O+O)=li m2+e 41+esinx+-x_.2+e sinh m-+h m -X T。
Xl+ex=0+1=1v/(O-O)=/(O +O)=lxsinx+-T-T-=12 e-x例 3 解：原式=li m i-Jd +x si 以+1li m2exyjx2 4-x sinx +l0li m.X“后21+1)+x six +lli mX-0 0/(2 +叫-/心L si nx 1-xr-rv历(2 +/)-xli mA：-0 0-x1 优 2_-A-00 10-1ln(2 e-x+：.li m-j“is J x?+x si nx +不存在2 与极限有关的一些重点问题一、己知极限存在，求待定常数等问题例1解：天 一 1时，X +1 -0 且lim _ 工 存 在*x+1工一 一1 时，x3-a x2-x +4-0即 lim(x3-a x2 一1+4)=0=-1-1+4=0=4例 2 解：x-0 时 si x(0+cosx)-0s i nx(b +cos x 而 lim-=5x-e-ax-0 时 e一 0 贝Ihm(ex Q)=0=Q=X TO )e ,、.s i nx-(b-cos x .x/.原式=hm-=lim(Z?+cosx)=0+1=5X TO/_ X TO 7=/?=4例 3由 修)得 叫)(2 J P 7+b t)=0=2 1 +a=0=a=-1(派)变形为lim=0t-0+1=-/?=02二、关于无穷小阶的比较问题例1 解：由题意可得：xsinax t 一 xsinax t 1-QCOSX 1/lim -r=1 =lim =1 =lim-=1.(*J。
x b?(l-bx)Ibx-3bx例2山(*)可得lim(1-a cosx-0,ax)=0=6f=l解：lim x-0tanxc(c w 0)=lim*f0gtanx-x=cXtn x-x=lim-=c3 xn sec2 x-1=lim-：-=c3 nxn2 tan x=lim-r =c1nxn-1 =2=3三、关于渐近线问题：例 1 解:v lim/(x)=lim-r=lA-00 /X-8|-X.y=l是水平渐近线1+6一 又=lim-=ooA-0 /x-0 _ 厂x=0是铅直渐近线例 2f (x)解：l im U =li mX-+00XA-+X1r+%ln(l+ev)XlimX-+cOx+x l(l+9X1 +ln=lim-(1+力Xe=lim 1 +eX f+o O1=1 0八!亶 Ox)=lim+ln(l+eX-+8)xX=lim In-X-+O0、7=In e .y =X-l 是斜渐近线.,/x(x+l)例 3 解：y=-I)、(x-l)(x +l)lim/(x)=lim=oo、一 x-lx=1是垂直渐近线2lim f (x)=lim+=1x oo /x co 无 一:.y=l是水平渐近线r/(x)r X2+X n.,Iim-=hm r=0r e x .无斜渐近线故：曲线)，=土的渐近线的条数是2x-13函数的连续性一、函数连续性的判别/、/n c o s(x-l)c o s(x-l)-l例 1 解：lim f(x -lim-=lim-X TI A 1 1 .T C1-sin x 1-sin x2 2l i m -A-1 t.7T1-sin-x2lim x-M 71 71一 COS X2 22r 1=hm-兀 X TI.71 71-sin x 2 2=-卜1)=1T C：./(X)在 X=1处不连续 x)=,In co s(x-l)1-sin x2一-7，%一 171例 2 解：lim f (x)=lim1 1 1-+-7TX sinx(1-x)=lim+lim-x-r 7i x sin 7tx)(1 一 x)1 (l-x)sin;rx=_ +lim-7t x f4(l-x)sinx一+lim71 *5乃(1 一 x)sin(九一 7r x 乃(l-x)sin(万一 万 x)=+lim71 X T7(1-彳)乃(1 _%)+乃(1 X)+0(一 元)3sinr=r-+O(f)/x 74 I 1-A I/、3sin(l-x)=(l-x)-+O(l-x)=lim/(x)=+071.定 义/使 得/(x)在1 连续71|_2法二：lim/(x)=limX T r Xf-1 -1-1-1-7TX sinx 万(l-x)=lim +lim-X T I 7tx X T I sin TCX%(l-x)1%(l-x)sin 乃 x7T 乃(l-x)sinx1 一 兀 一 兀 3S7TX=_ +lim ；-71 X fl-sin 4-(1-)C O S TL X1 -7i sin TCX F lim-71 K T-71 C O S 71 X+C O S -7 T (1 -x)sin171二、函数的间断点及分类1 2 +=)pK 4.Q 7?例 1 解：lim ：-=lim-=A o+-X o+c 2 33e，+2 3+e；l i m/(x)=l i m y =|3er+2/(O +O)/(O-O).x =0是“X)的跳跃间断点I/Si nt，、-s-i n-t-s:i n-x lim-t -s-i-n-t-s-i-n-x-hm-t-例 2 解：lim-=es i nt-s i nx x=sinx.方(s加J x =0 时，x)=e 即 0)=ex =1%时,/(x)=0或/(x)=oo：.x =0是第一类间断点，x =k兀是第二类间断点。
例3解：/(0-0)=lim/(X)I n(1 +a x3)=lim-x-x arcsinxa xlim-；io x-arcsinx1.3a%2lim-x-0-1 1=lim 二3 V l-X2-I3ax2lim XT12-6a/（+）=吧 X）i+厂 cix 1=lim-x f（r.xxsm 4.v e-a x-41im-x _0+/+2x ci4 lim-12x2 limX TO-12（1+2）若 o-o）=0 +0）即若 4=_1 时/（0-0）=/（0+0）=6=/（0）此时/(x)在x=处连续若Q=-2 时/（0-0）=/（0+0）=1 2 /（0）此时/(x)在x=0处间断且为可去间断点第 二 章 导 数 与 微 分1关于导数定义（一）导数定义及其几何意义的应用问题例1（1）解：原式=lim JA.A rA”2 A x 、=-2 h m正竺正型A x-0 =2 x 2=4 解：原式加一心f（T）/（7+3力 IS）“TO h h=.(-2)江匕史上L 3 H m i迫且1”-o 2h f3/z=-2 /(-1)-3/(-1)-5/(-1)=-5 x(2)=1 0例2解:/(x)是 奇 函 数.0)=0%F3=鹭#=JU；=）一尸 （无定义）.尸卜）在x =0处是可去间断点例3 解：由题意可知：f(x +5)=f(x)l i m /(1+s i n x)-3/(1-s i n x)=l i m 8x +0(x)/(l)-3/(l)=0=/(l)=0/(6)=/(l)=0lim-(l +s i n x)-”1)3/(1-s i n.x)-31)-=85 X X./(l +s i n x)-/(l)Si n x /(1-s i n x)-/(l)-s i n x=h m -31i m -s i n x x-s i n x x=广 +3/(1)=8=/=2广(6)=/=2y-0=2(x-6)=y=2 x-1 2例4解：H m*3电=1加-l i m绰,v-0 x，x-0 尤 x f 0 x，“/任)-0)=l i m -2 l i m -.J。
x-0 13-2 广(0)=-r(o)一,.八.s i n 3%+4(%)洛比达法则.3co s 3x +f (x)-b x ff(x)例5 解：由题意可得0=l i m-=l i m-匕？一 匕工2/.l i m 3 co s 3x+/(x)+=0=/(0)=-33co s 3x-3+3+/(x)+x r(x)-r(0)+V，(0)u n m z13x2LIM3(COS3X 1)+H m/(x)-+x /(x)-/卜 矿(0)J3x2 3 3X2 i n?(+)+H m P(x)一 广 23x X T O 3 x9./(x)-/(O)+V(0)1 .“/、+lim7 v 7 7 v/+-f(02 i3x2 3、,=礴士3x2 2 3 v 7n i im r（x）+r（）+C ）/（6x 2 3 v 7理 勺H T,X-0,6x-0 贝|J 尸(x)+/-0n/(0)=0./(0)=9f a+-例 6 解：lim、/f(a)lim A In-0.f(a)ln a+j-ln f(a)lim-x-+；h mnf(a+t)-nf(a)J i n/二、可导性的判别问题1、利用导数定义及可导与连续的关系例 。