第三章第三章 随机变量与分布函数随机变量与分布函数§3.1§3.1随机变量及其分布随机变量及其分布 一、随机变量的定义一、随机变量的定义 (1) 掷一颗骰子， 出现的点数 1，2，……，6. (2) n个产品中的不合格品个数0，1，2，……，n (3) 某商场一天内来的顾客数0，1，2，…… (4) 某种型号电视机的寿命 : [0, +) (1) 掷一颗骰子， 出现的点数 1，2，……，6. (2) n个产品中的不合格品个数0，1，2，……，n (3) 某商场一天内来的顾客数0，1，2，…… (4) 某种型号电视机的寿命 : [0, +) 随机变量的定义随机变量的定义定义3.1.1 设 ={}为某随机现象的样本空间， 是定义于概率空间(Ω, F, P)上的单值实函数，如果对直线上任何一个博雷尔点集B,有 F则称 为随机变量，而 称为随机变量 的概率分布。
注 意 点(1) 随机变量 是样本点的函数， 其定义域为 ，其值域为R=(，) (2) 若 为随机变量，则 均为随机事件.即 Ø若随机变量 可能取值的个数为有限个或 可列个，则称 为离散型随机变量.Ø若随机变量 的可能取值充满某个区间 [a, b]，则称 为连续型随机变量.Ø前例中的 , , 为离散型随机变量； 而 为连续型随机变量.两类随机变量 定义3.1.2 设 为一个随机变量，对任意实数 x， 称 F(x)=P{ < x} 为 的分布函数.(distribution function) 记为 随机变量的分布函数 二、分布函数的性质二、分布函数的性质定理3.1.1 分布函数F(x)具有下列基本性质： (1) F(x) 单调不降； (2) 有界：0F(x)1，F()=0，F(+)=1； (3) 左连续：F(x-0)=F(x). 注 意 点注意以下一些表达式： 三、离散型随机变量三、离散型随机变量Ø设离散随机变量 ξ 的可能取值为：x1，x2，……，xn，…… 称 pi=P(ξ =xi)， i =1, 2, …… 为 ξ 的分布列.Ø分布列也可用表格形式表示：ξ x1 x2 …… xn …… P p1 p2 …… pn …… 分布列的基本性质 (1) pi 0， (2)(正则性)(非负性) 注 意 点 对离散随机变量的分布函数应注意： (1) F(x)是递增的阶梯函数; (2) 其间断点均为左连续的; (3) 其间断点即为ξ的可能取值点; (4) 其间断点的跳跃高度是对应的概率值. ξx1x2……xk……Pp1p2……pk……一般，设离散型一般，设离散型r.v. ξ的分布律为：的分布律为：则则X的分布函数的分布函数 F(x)=P{ξ m+n | ξ > m ) = P( ξ > n )几何分布 巴斯卡分布(负二项分布)巴斯卡分布与几何分布的关系：Ø 为独立重复的伯努里试验中， “第 r 次成功”时的试验次数.Ø 为从第 i-1 次成功后算起， “首次成功”时的试验次数. 四、连续型随机变量四、连续型随机变量Ø连续随机变量ξ的可能取值充满某个区间 (a, b).Ø因为对连续随机变量ξ ，有P(ξ=x)=0， 所以无法仿离散随机变量用 P(ξ =x) 来描述连续随机变量ξ的分布.Ø注意离散随机变量与连续随机变量的差别. 定义设随机变量ξ的分布函数为F(x),则称 ξ 为连续随机变量，若存在非负可积函数 p(x) ，满足：称 p(x)为分布密度函数，（density function）. 密度函数的基本性质满足(1) (2)的函数都可以看成某个连续随机变量的分布密度函数.(非负性)(正则性) 注意点 (1) (2) F(x) 是 (∞, +∞) 上的连续函数; (3) P(ξ=x) = F(x+0)F(x) = 0; 注意点 (1) (2) F(x) 是 (∞, +∞) 上的连续函数; (3) P(ξ=x) = F(x+0)F(x) = 0; (4) P{a<ξ≤b} = P{a< ξ
5. F(x)为连续函数 F(a+0) = F(a). F(a+0) F(a). 例设 ξ ~求 (1) 常数 k. (2) F(x). 常见连续性随机变量常见连续性随机变量1、均匀分布2、正态分布3、指数分布4、埃尔兰分布5、 分布 （一）均匀分布（一）均匀分布 ξ～～U(a,b)实际背景实际背景： 随机变量随机变量 X 仅在一个有限区间（仅在一个有限区间（a,ba,b）上取值；）上取值； 随机变量随机变量 X在其内取值具有在其内取值具有“等可能等可能”性，则性，则 ξξ～～U(a,bU(a,b) )等可能等可能”表现在：表现在： 若若a≤c 3 }, 则 P(A) = P( ξ> 3) = 2/3设 Y 表示三次独立观测中 A 出现的次数,则 Y~ B(3, 2/3)，所求概率为 P(Y≥2) = P(Y=2)+P(Y=3)=20/27例2 记为ξ ~ N(, 2),其中 >0， 是任意实数.Ø 是位置参数.Ø 是尺度参数.（二）正态分布二）正态分布( (normal distribution) ) yxOμ 正态分布的性质(1) p(x) 关于 是对称的.p(x)x0μ在 点 p(x) 取得最大值.(2) 若 固定, 改变, (3) 若 固定, 改变,σ小σ大p(x)左右移动, 形状保持不变. 越大曲线越平坦; 越小曲线越陡峭. p(x)x0xx标准正态分布N(0, 1)密度函数记为 (x),分布函数记为 (x). (x) 的计算(1) x 0 时, 查标准正态分布函数表.(2) x < 0时, 用若 ξ ~ N(0, 1), 则 (1) P(ξ < a) = (a); (2) P(ξ≥a) =1(a); (3) P(a≤ξ1.96) , P(|ξ|<1.96)= 1 (1.96)= 1(1 (1.96)) = 0.975 (查表得)= 2 (1.96)1= 0.95= (1.96)解: P(ξ>1.96)P(|ξ|<1.96)= 2 0.9751 设 ξ ~ N(0, 1), P(ξ b) = 0.9515, P(ξ a) = 0.04947, 求 a, b.解: (b) = 0.9515 >1/2, 所以 b > 0, 反查表得: (1.66) = 0.9515, 故 b = 1.66而 (a) = 0.0495 < 1/2,所以 a < 0, (a) = 0.9505, 反查表得: (1.65) = 0.9505, 故 a = 1.65例2.5.2 一般正态分布的标准化结论1 设 ξ ~ N(, 2),则 η ~ N(0, 1).结论2: 若 ξ ~ N(, 2), 则 若 ξ ~ N(, 2), 则 P(ξa) = 设ξ ~ N(10, 4), 求 P(10<ξ<13), P(|ξ10|<2).解: P(10<ξ<13) = (1.5)(0)= 0.9332 0.5P(|ξ10|<2) = P(8<ξ<12)= 2(1)1= 0.6826= 0.4332例2.5.3 设 ξ ~ N(, 2), P(ξ 5) = 0.045, P(ξ 3) = 0.618, 求 及 .例2.5.4 = 1.76 =4解: 已知 ξ ~ N(3, 22), 且 P{ξ>k} = P{ξ≤k}, 则 k = ( ).3课堂练习(1) 设 ξ ~ N(, 42), η ~ N(, 52), 记 p1 = P{ξ≤ 4}，p2 = P{η≥ +5}, 则( ) ① 对任意的 ，都有 p1 = p2 ② 对任意的 ，都有 p1 < p2 ③ 只个别的 ，才有 p1 = p2 ④ 对任意的 ，都有 p1 > p2①课堂练习(2) 设 ξ ~ N( , 2), 则随 的增大， 概率 P{| ξ | < } ( ) ① 单调增大 ② 单调减少 ③ 保持不变 ④ 增减不定③课堂练习(3) 例例 假设在设计公共汽车车门的高度时，要假设在设计公共汽车车门的高度时，要求男子的碰头机会在求男子的碰头机会在1%1%以下，设男子的身以下，设男子的身高高ξ(cm)服从正态分布，服从正态分布，ξ ~ N (170,36) ，问，问车门高度至少应为多高车门高度至少应为多高? ? 实际背景：实际背景：实际背景：实际背景：如果一个随机现象是由大量微小的相互独立的如果一个随机现象是由大量微小的相互独立的因素共同构成，那么描述这种随机现象的随机变量通常被因素共同构成，那么描述这种随机现象的随机变量通常被认为服从或近似服从正态分布．认为服从或近似服从正态分布． 在自然现象和社会现象中，大量随机变量都在自然现象和社会现象中，大量随机变量都在自然现象和社会现象中，大量随机变量都在自然现象和社会现象中，大量随机变量都服从服从服从服从或或或或近近近近似服从正态分布似服从正态分布似服从正态分布似服从正态分布。
如如: : 测量误差；测量误差； 在稳定条件下产品的各种指标在稳定条件下产品的各种指标; ; 某地区人的身高、体重；某地区人的身高、体重； 大面积考试的分数等．大面积考试的分数等．思考：上述随机变量实际取值范围并不是（思考：上述随机变量实际取值范围并不是（思考：上述随机变量实际取值范围并不是（思考：上述随机变量实际取值范围并不是（-∞-∞，，，，+∞+∞），但正态分布取值范围是），但正态分布取值范围是），但正态分布取值范围是），但正态分布取值范围是（（-∞-∞，，，，+∞+∞），），矛矛矛矛盾吗？？盾吗？？盾吗？？盾吗？？ 正态分布的 3 原则设 ξ ~ N(, 2), 则 P( | ξ | < ) = 0.6828. P( | ξ | < 2 ) = 0.9545. P( | ξ | < 3 ) = 0.9973. （三）指数分布（三）指数分布实际背景：在实践中，如果实际背景：在实践中，如果 ξ表示某一随机事件发生表示某一随机事件发生所需所需等待等待的时间，则一般的时间，则一般 服从指数分布。
服从指数分布如：随机服务系统中的服务时间；如：随机服务系统中的服务时间； 在某邮局等候服务的等候时间；在某邮局等候服务的等候时间； 某电子元件直到损坏所需的时间（即寿命）某电子元件直到损坏所需的时间（即寿命）… 指数分布指数分布记为 ξ ~ Exp(), 其中 >0. 指数分布具有指数分布具有无记忆性无记忆性：： 如果如果X X是某一元件的寿命，已知元件已使用了是某一元件的寿命，已知元件已使用了 s s小时，它还能继续使用至少小时，它还能继续使用至少 t t小时的条件概率，与小时的条件概率，与从开始时算起至少能使用从开始时算起至少能使用 t t 小时的概率相等小时的概率相等即元件对它已使用过即元件对它已使用过s s小时无记忆小时无记忆 例例1 1 机器里安装的某种元件，已知这种元件的使用寿命ξ（年）服从参数为λ＝1/5的指数分布，1)计算一个元件使用8年后仍能正常工作的概率；2)一个元件已经使用了3年，求它还能再使用8年的概率 （四）埃尔兰分布（略）（四）埃尔兰分布（略） §3.2随机向量，随机变量的独立性 定义3.2.1 若ξ1, ξ2是两个定义在同一个样本空间上的 随机变量，则称(ξ1, ξ2) 是两维随机变量.Ø 同理可定义 n 维随机变量 (随机向量).一、随机向量及其分布 定义3.2.2 联合分布函数F(x, y) = P( ξ1 < x, ξ2 < y)为(ξ1, ξ2) 的联合分布函数. (以下仅讨论两维随机变量)任对实数 x 和 y, 称注意：F(x, y)为(ξ1, ξ2)落在点(x, y)的左下区域的概率. ξ ξ1 1ξ ξ2 2x1x2(x1, x2) 联合分布函数的基本性质(1) F(x, y) 关于 x 和 y 分别单调增.(2) 0 F(x, y) 1，且F(, y) = F(x, ) =0，F(+, +) = 1.(3) F(x, y) 关于 x 和 y 分别左连续.(4) 当a
求 (ξ1, ξ2) 的联合分布列.ξ1 ξ20 41 3 2 2 3 14 0P(ξ1 =0, ξ2 =4)=P(ξ1 =2, ξ2 =2)==1/4=6/16 P(ξ1 =3, ξ2 =1)==1/4 P(ξ1 =4, ξ2 =0)= 0.54 =1/16P(ξ1 =1, ξ2 =3)=0.54=1/16解：概率非零的(ξ1, ξ2) 可能取值对为:其对应的概率分别为： ξ1 01234ξ2 0 1 2 3 4列表为： 0 0 0 0 1/16 0 0 0 1/4 0 0 0 6/16 0 0 0 1/4 0 0 01/16 0 0 0 0 例 设随机变量 η ~ N(0, 1), 解: (ξ1, ξ2) 的可能取值数对及相应的概率如下：P(ξ1 =0, ξ2 =0) = P(| η |≥1, | η |≥2)= P(| η |≥2)= 2 2Φ(2) = 0.0455P(ξ1 =0, ξ2 =1) = P(| η |≥1, | η |<2)= P(1≤| η |<2)= 2[Φ(2) Φ(1)]= 0.2719P(ξ1 =1, ξ2 =0) = P(| η |<1, | η |≥2) = 0P(ξ1 =1, ξ2 =1) = P(| η |<1, | η |<2)= P(| η |<1)= 0.6826求 的联合分布列. 列表为：ξ1 0 1ξ2 0 10.0455 0.2719 0 0.6826 课堂练习设随机变量 ξ 在 1，2，3 ，4 四个整数中等可能地取值，另一个随机变量 η 在 1到X 中等可能地取一整数值。
试求（ξ, η）的联合分布列. 设二维随机变量(ξ, η) 的分布函数为F(x, y)，若存在非负可积函数p(x, y)，使得（联合）密度函数则称 (ξ, η) 为二维连续型随机变量称p(x, y) 为（联合）密度函数 联合密度函数的基本性质(1) p(x, y) 0. (非负性) (2) 注意：(正则性) 一、多项分布常用多维分布 若每次试验有r 种结果：A1, A2, ……, Ar记 P(Ai) = pi , i = 1, 2, ……, r记 ξi 为 n 次独立重复试验中 Ai 出现的次数.则 (ξ1, ξ 2, ……, ξ r)的联合分布列为： 二、多元超几何分布从中任取 n 只，记 ξi 为取出的n 只球中，第i 种球的只数.口袋中有 N 只球，分成 r 类 第 i 种球有 Ni 只， N1+N2+……+Nr = N.则 (ξ 1, ξ 2, ……, ξ r)的联合分布列为： 三、二维均匀分布若二维连续随机变量 (ξ, η) 的联合密度为：则称 (ξ, η) 服从 D 上的均匀分布，记为 (ξ, η) U (D) .其中SD为D的面积. 四、二维正态分布若二维连续随机变量 (ξ, η ) 的联合密度为：则称 (ξ, η) 服从二维正态分布，记为 (ξ, η) N ( ) . 例若 (ξ, η) ～试求常数 A. 解:所以, A=6=A/6 例若 (ξ, η) ～试求 P{ξ < 2, η < 1}. x xy y解: P{ξ < 2, η < 1}21{x<2, y<1} 例若 (ξ, η) ～试求 P{(ξ, η)D}, 其中D为 2x+3y≤6. 322x+3y=6x xy y0解: 二、边际分布问题：已知二维随机变量 (ξ, η) 的分布，如何求出 ξ 和 η 各自的分布？ 边际分布函数巳知 (ξ, η) 的联合分布函数为 F(x, y)，则 η F2 (y) = F(+ , y).ξ F1 (x) = F(x, +), 边际分布列巳知 (ξ, η) 的联合分布列为 pij，则 ξ 的分布列为： η 的分布列为： ξη 例: 袋中有2个白球，3个黑球，从袋中（1）有放回地；（2）无放回地；取两次球，每次取一个，令 01P{η=j}0 09/256/253/51 16/254/252/5P{ξ=i}3/52/51解解: :( (1)有放回地取球有放回地取球 ξη(2) 无放回地取球无放回地取球 01P{η=j}06/206/203/516/202/202/5P{ξ=i}3/52/51ξη 边际分布密度函数巳知 (ξ, η)的联合密度函数为 p(x, y)，则 ξ 的密度函数为 ： η 的密度函数为 ： 例例 设 (ξ, η)服从区域 D={(x, y), x2+y2 <1} 上的均匀分布，求ξ 的边际密度p1(x).解: 由题意得xy-11当|x|>1时，p(x, y)=0，所以 p1(x)=0当|x|≤1时,不是均匀分布 例、设 (ξ, η) N ( ) . 求ξ的边际分布密度函数 Ø二维正态分布的边际分布是一维正态：若(ξ, η) N ( )，注意点 则 ξ N ( )， η N ( ).Ø二维均匀分布的边际分布不一定是一维均匀分布. 三、条件分布对二维随机变量(ξ, η),Ø 在给定η取某个值的条件下, ξ的分布;Ø 在给定ξ取某个值的条件下, η的分布. ————已知一个已知一个r.v.r.v.取定的条件下，另一个取定的条件下，另一个r.v.r.v.的的分布分布一、条件分布函数 ---在 η=y 条件下ξ 的条件分布函数---在 ξ=x 条件下η 的条件分布函数 二、离散型：条件分布律 定义：若 若 •1. P{ξ=xi|η=yj} ≥0;•2.证：证：性质：非负性、规范性 例: 袋中有2个白球，3个黑球，从袋中（1）有放回地；（2）无放回地；取二次球，每次取一个，令 01P{η=j}0 09/256/253/51 16/254/252/5P{ξ=i}3/52/51解解: :( (1)有放回地取球有放回地取球 ξη(2) 无放回地取球无放回地取球 01P{η=j}06/206/203/516/202/202/5P{ξ=i}3/52/51ξη 0 1 2 3 0 1 2 0.840 0.030 0.020 0.010 0.060 0.010 0.008 0.002 0.010 0.005 0.004 0.0010.9000.0800.0200.910 0.045 0.032 0.0011.0001、求给定条件下，的条件分布列 2、求给定 条件下， 的条件分布列 例题 定义 当---在 ξ=x 条件下η 的条件概率密度当---在 η=y 条件下ξ 的条件概率密度三、连续型：条件概率密度三、连续型：条件概率密度 例例设设服从单位圆域服从单位圆域上的均匀上的均匀分布分布, , 求求 例、设二维连续型随机变量的联合密度函数为例、设二维连续型随机变量的联合密度函数为求条件概率(1) (2) 若满足以下之一: i) F(x, y) = F1(x)F2(y) ii) p(xi,yj)= p1(xi) p2(yj) iii) p(x, y) = p1(x)p2(y) 则称 ξ 与η 是独立的，四、 随机变量的独立性 例 (ξ, η) 的联合分布列为:ξ01η 0 1 0.3 0.4 0.2 0.1问 ξ与η 是否独立？解: 边际分布列分别为:ξ 0 1P 0.7 0.3η 0 1P 0.5 0.5因为所以不独立 例: 袋中有2个白球，3个黑球，从袋中（1）有放回地；（2）无放回地；取二次球，每次取一个，令 01P{η=j}0 09/256/253/51 16/254/252/5P{ξ=i}3/52/51解解: :( (1)有放回地取球有放回地取球 ξη(2) 无放回地取球无放回地取球 01P{η=j}06/206/203/516/202/202/5P{ξ=i}3/52/51ξη 例已知 (ξ, η) 的联合密度为 问 ξ 与η 是否独立？所以ξ 与η 独立。
注意：p(x, y) 可分离变量.解: 边际分布密度分别为:所以ξ 与η 独立注意：p(x, y) 可分离变量. 所以ξ 与η 不独立 注意：p(x, y) 不可分离变量. 注意点 (2) 若联合密度 p(x, y) 可分离变量，即 p(x, y) = g(x)h(y) 则 ξ与η 独立 (3) 若 (ξ, η) 服从二元正态 N ( ) 则 ξ与η 独立的充要条件是 r = 0. (1) 联合密度 p(x, y) 的表达式中，若 x 的取值与 y 的 取值有关系，则 ξ与η 不独立. §3.3 随机变量的函数及其分布问题2：已知二维随机变量 (ξ, η) 的分布，如何求出 ζ=g (ξ, η)的分布？问题1：已知一维随机变量 ξ的分布，如何求出 ζ=g (ξ)的分布？ 一、Borel函数与随机变量的函数定义3.3.1 设y=g(x)是R到R上的一个映射，若对于一切R中的Borel 点集B1均有{x:g(x) ∈B1} ∈B1则称g(x)是一元Borel可测函数注：我们感兴趣的函数一般是Borel可测函数 多维离散随机变量函数的分布是容易求的： i) 对(ξ1, ξ2, ……, ξn)的各种可能取值对， 写出 η 相应的取值. ii) 对η的 相同的取值，合并其对应的概率.η=g (ξ1, ξ2, …,ξn), 如果如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当中有一些是相同的，把它们作适当并项即可并项即可.则则 η=g(ξ)～～一般，若一般，若ξ是离散型是离散型 r.v ，，ξ的分布律为的分布律为ξ ～～ 例例设设ξ 则则η= 2ξ + 3的分布列为：的分布列为：～～η ～～再如：再如： ξ ～～则则 η=ξ2 的分布律为：的分布律为： 例 、设(ξ,η)的联合分布律为ξη-1 2-1125/20 3/202/20 3/206/20 1/20求，Z1=ξη, Z2=min(ξ,η)的分布律(一一)、离散的情形、离散的情形 =a0br+a1br-1+…+arb0 由独立由独立性性此即离散型此即离散型卷积公式卷积公式r=0,1,2, …例例 若若ξ、、η 独立，独立，P(ξ=k)=ak , k=0,1,2,…, P(η=k)=bk , k=0,1,2,… ,求求ζ=ξ+η的的分布律分布律.解解: 课堂练习课堂练习 若若ξ和和η相互独立相互独立,它们分别服从参数为它们分别服从参数为 的泊松分布的泊松分布, 证明证明Z=X+Y服从参数为服从参数为的泊松分布的泊松分布. 二、单个随机变量函数的分布二、单个随机变量函数的分布解：设解：设η的分布函数为的分布函数为 Fη(y)，，例例1设设 ξ ~求求 η=2ξ+8 的概率密度的概率密度.Fη(y)=P{ η y } = P (2ξ+8 y )=P{ ξ } = Fξ( )于是于是η 的密度函数的密度函数 例2先求η的分布函数 结论：结论： 设设 例例 设随机变量设随机变量ξ服从服从 ，求，求η=aξ+b(a≠0)也服从正态分布也服从正态分布.这个结论很重要！！这个结论很重要！！说明正态分布对线性变换具有不变性说明正态分布对线性变换具有不变性所以，Y~N(aμ+b,a2σ2) 例，设X~N(20,32)则Y=-2X-10~ N(-50,62)例、X~N(0,32)则 -X~N(0,32)注意：X与-X是不同随机变量，但他们分布相同，即同分布。
课堂练习课堂练习 设随机变量设随机变量ξ在在(0,1)上服从均匀分布，上服从均匀分布，求求η=-2lnξ的概率密度的概率密度. 求求η=sinξ的概率密度的概率密度.课堂练习课堂练习 设随机变量设随机变量ξ的概率密度为的概率密度为 例例设设 ξ 具有概率密度具有概率密度 ,求求η=ξ2的概率密度的概率密度.求导可得求导可得当当 y≥0 时时, 注意到注意到 η=ξ2≥ 0，故当，故当 y< 0时，时，解：解： 设设η和和ξ的分布函数分别为的分布函数分别为 和和 ，， 例例 已知随机变量已知随机变量ξ的分布函数的分布函数F(x)是严格单调的是严格单调的连续函数连续函数, 证明证明η=F(ξ)服从服从[0,1]上的均匀分布上的均匀分布.本例的结论在计算机模拟中有重要的应用本例的结论在计算机模拟中有重要的应用. 三、随机向量的函数的分布律三、随机向量的函数的分布律 我们先讨论两个随机变量的函数的分布问我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后将其推广到多个随机变量的情形题，然后将其推广到多个随机变量的情形. 当随机变量当随机变量ξ1, ξ2, …,ξn的联合分布已知的联合分布已知时，如何求出它们的函数时，如何求出它们的函数 ηi=gi(ξ1, ξ2, …,ξn), i=1,2,…,m的联合分布的联合分布? 四、随机向量的变换四、随机向量的变换 1、、M=max(ξ,η)及及N=min(ξ,η)的分布的分布 设设ξ，，η是两个相互独立的随机变量，它是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为们的分布函数分别为Fξ(x)和和Fη(y),我们来我们来求求M=max(ξ,η)及及N=min(ξ,η)的分布函数的分布函数.连续的情形连续的情形 又由于又由于ξ和和η 相互独立相互独立,于是得到于是得到M=max(ξ,η)的的分布函数为分布函数为: 即有即有 FM(z)= Fξ(z)Fη(z) FM(z)=P(M0,>0, >0,>0,且且 ≠≠ . . 分别对以上两种联接方式写出分别对以上两种联接方式写出L L的寿命的寿命Z Z的概的概率密度函数率密度函数. .先求先求ξ,ηξ,η的分布函数的分布函数: : (1)(1)串联串联. Z=min{ξ,η}. Z=min{ξ,η} F FZ Z(z)=1-[1-F(z)=1-[1-Fξξ(z)][1-F(z)][1-Fηη(z)](z)] (2)并联. Z=Max{ξ,η} FZ(z)=Fξ(z)Fη(z) 设设ξ和和η的联合密度为的联合密度为 p (x,y), 求求Z=ξ+η的密的密度度. 解解: Z=ξ+η的分布函数是的分布函数是: FZ(z)=P(Z
的概率密度 解：由卷积公式：解：由卷积公式：即即Z服从服从N(0,2)分布 用类似的方法可以证明用类似的方法可以证明: 若若ξ和和η 独立独立, 若若ξ和和η 独立独立,具有相同的分布具有相同的分布N(0,1),则则Z=ξ+η服从正态分布服从正态分布N(0,2). 若若 相互相互独立独立,两个独立的同类型随机变量和的分布还是同类型分布，称为再生性两个独立的同类型随机变量和的分布还是同类型分布，称为再生性 为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 例例 若若ξ和和η 独立独立,具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求Z=ξ+η的概率密度的概率密度 .解解: 由卷积公式由卷积公式也即也即 为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 如图示如图示:也即也即于是于是 例例3.3.33.3.3 设 X 与 Y 独立，X～U(0, 1), Y～Exp(1). 试求 Z = X+Y 的密度函数.解:被积函数的非零区域为：00用卷积公式：(见下图) xz1z = x因此有(1) z < 0 时pZ(z) = 0 ;(2) 0