§1-5 多项式的因式分解定理x4 一 4 = (x2 一 2)(x2 + 2)(不能再分)Q[x]x4 — 4 = (x — \： 2)( x + 2)( x2 + 2)(不能再分)R[x]x 4 — 4 = (x — *2)( x + x/2)( x — i2i)( x +、：2)C[x]引入课题 初等数学中 的因式分 解，何为不能再 分多项式x 4 - 4在有理数域、实数域、复数域上的因式分解在不同的系数域上，具有不同形式的分解式 什么叫不能再分平凡因式：零次多项式(不等于零的常数)、多项式自身、前 两个的乘积Definition8：(不可约多项式)令f(x)是P[x]的一个次数大 于零的多项式，如果f(x)在P[x]中只有平凡因式，就称f(x) 为数域P上(或在P[x]中)的不可约多项式p(x)在数 域P上不能表示成两个次数低的多项式的乘积) 若f(x) 除平凡因式外，在P[x]中还有其它因式，f(x)就说是在数 域P上(或在P[x]中)是可约的如果f (x) = g(x)h(x), g(x)不是平凡因式，Mg(x)和h(x)的次数显然都小于f (x)的次数反之，若f(x)能写成两个这样多项式的乘积，那么f(x)有 非平凡因式；如果P[x]的一个n次多项式能够分解成P[x] 中两个次数都小于n的多项式g(x)和h(x)的乘积 即f (x) g(x)h(x) 那么f (x)在P上可约。
由不可约多项式的定义可知：任何一次多项式都是不可约多项式的 不可约多项式的重要性质： 一个多项式是否不可约是依赖于系数域； 1•如果多项式f(x)不可约，那么P中任意不为零的元素c 与f (x)的乘积cf (x)都不可约2•设f(x)是一个不可约多项式而P(x)是一个任意多项 式，那么或者f(x)与P(x)互素，或者f(x)整除P(x).3.如果多项式f(x)与g(x)的乘积能被不可约多项式P(x)整 除，那么至少有一个因式被P(x)整除Theorem5.如果p(x)是一个不可约多项式,P(x)整除一些多 项式f (x), f (x), , f (x)的乘积，那么p(x) 一定整除这些多项1 2 s式之中的一个.证明：对被除多项式的个数s用数学归纳法当s=1时，显然成立；假设s=n-1时，结论成立；当 s=n 时，令 g(x)二 f (x),g (x)二 f (x)f (x)・・・f (x),1 1 2 2 3 n如果p(x) I g (x),贝Up(x) I f (x)命题成立，如 果 p(x) / g (x),贝胚p(x), g (x)) = 1 ,从 而 p(x) I g (x),即1 1 2p(x)整卩余f (x),f(x),…,f (x) n-1多项式的乘积，由归纳法假设2 3 np(x)整除其中一个多项式，根据数学归纳法原理，命题得证.证 f (x)二 p (x) p (x)…p (x) 明1 2 s 因所谓唯一性是说，如果有两个分解式 式分# 解f (x) = pi (x)2 p(x)…ps (x) = qi (x)q2 (x)…qt (x) 定因式分解及唯一性定理：多项式环p[x ]的每一个n (n > 0)次多 项式f (x)都可以唯一分解成P[x]的不可约多项式的乘积；那么，必有S=t ，并且适当地排列因式的顺序后有p (x)二 cq (x) (i 二 1,2,…s) ii标准分解式(典型分解式)：f ( x) = Cpr1 ( x) pr2 ( x)…prs ( x) 1 2 s其中c是f(x)的首项系数，p (x), p (x),…p (x)是不同的、首1 2 s项系数为1的不可约多项式，而r ,r ,…r正整数。
1 2 s例1:在有理数域上分解多项式，f (x)二x3 + x2 - 2x-2f (x) = x3 + x2 — 2 x — 2 = (x +1)( x2 + x — 2) = (x +1)( x —1)( x + 2)例2：求 f (x) = x 5 — x 4 — 2 x 3 + 2 x 2 + x — 1在0[ x]内的典型分解式 f (x) = x 5 — x 4 — 2 x 3 + 2 x 2 + x — 1 = (x — 1)( x 4 — 2 x 2 + 1) = (x — 1)3( x + 1)2 例 3.求 f (x) = 2x5 —10x4 +16x3 —16x2 +14x — 6 在R[x]内的典型分解式. f (x)二 2(x2 +1)(x —1)2(x — 3)>例4：分别在有理数域、实数域和复数域上分解多项式x5 — 1和x6 — 1为不可约多项式的乘积解：(x5 — 1)二(x — 1)(x4 + x 3 + x 2 + x + 1) Q[x](x5 — 1) = (x —1)( x4 + x3 + x2 + x + 1)二(x —1)(x2 — 2C0S辛 +1)(x2 — 2cos辛 +1)R[x](x5 — 1) = (x — 1)( x4 + x3 + x 2 + x + 1)突出 同数 上不 多项 的因 分解 特点不域同式式的C[x]=(x -皿(x - cosd i sin込k=15 5在Q[x]上(x6 — 1) = (x3 —1)(x3 +1) = (x —1)(x2 + x +1)(x +1)(x2 — x + 1)；在R[x]上 布置作业P45-15{在C[x]上x6 — 1 二(x —1)(x — 1 + 上3 i)(x —1 —上3 i)(x +1)(x + 1 + 上3 i)(x + 1 —上3 i)2 2 2 2 2 2 2 2多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用 于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法 灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必 需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十 分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法 分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因 式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即 为因式分解中常用的公式，例如：(1) a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) a2±2ab+b2=(a±b)2；(3) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5) a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；!(6) a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7) an-bn=(a-b)(an-l+an-2b+an-3b2+・・・+abn-2+bn-1)其中 n 为正整 数；(8) an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2 +abn-2-bnT)，其中 n 为偶数；(9) an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2 abn-2+bnT)，其中 n 为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指 数、符号等正确恰当地选择公式．~ 例1 分解因式：(1) -2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；(2) x3-8y3-z3-6xyz；(3) a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4) a7-a5b2+a2b5-b7．解(1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]=-2xn-1yn(x2n-y2)2=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2．(2) 原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3) 原式=(a2-2ab+b2) + (-2bc+2ca)+c2—(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下原式二a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4) 原式=(a7-a5b2) + (a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例 2 分解因式：a3+b3+c3-3abc.本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)． 分析 我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b).?这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导.解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=〔(a+b)3+c3〕-3ab(a+b+c) =(a+b+c)〔(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca).~ 说明 公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论 例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当 a+b+c=0 时，则 a3+b3+c3=3abc；当 a+b+c>0 时，则 a3+b3+c3-3abc±0,即 a3+b3+c3±3abc,而且，当且仅当 a=b=c 时，等 号成立．如果令 x=a3^0，y=b3^0，z=c3^0，则有【等号成立的充要条件是x=y=z.这也是一个常用的结论.例3分解因式：xl5+xl4+xl3+・・・+x2+x+l.分析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次 数顺次递减至0,由此想到应用公式an-bn来分解.解 因为(x16-1=(xT)(x15+x14+x13+…x2+x+1),所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1),再除以(x-1)的技巧, 这一技巧在等式变形中很常用.2.拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简 常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为 零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项 即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符 合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多 项式能用分组分解法进行因式分解．例4分解因式：x3-9x+8.分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法 注意一下拆项、添项的目的与技巧.解法1 将常数项8拆成-1+9.原式=x3-9xT+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8).解法2将一次项-9x拆成-x-8x. 原式二 x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8).解法3将三次项x3拆成9x3-8x3.原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)。