泰勒泰勒 级数级数泰勒泰勒(Taylor)级数级数 洛朗洛朗 级数级数洛朗洛朗(Laurent)级数级数张红英张红英 & 1. 问题的引入问题的引入§4.3 泰勒泰勒(Taylor)级数级数& 2. 泰勒级数展开定理泰勒级数展开定理& 3. 简单初等函数的泰勒展开式简单初等函数的泰勒展开式& 4. 小结小结 一个幂级数的和函数在它的一个幂级数的和函数在它的收敛圆内部是一个解析函数收敛圆内部是一个解析函数1. 问题的引入问题的引入问题问题问题问题: 任一个解析函数能否用幂级数来表达任一个解析函数能否用幂级数来表达任一个解析函数能否用幂级数来表达任一个解析函数能否用幂级数来表达？？.内任意点内任意点如图如图:.K.幂级数性质回顾幂级数性质回顾幂级数性质回顾幂级数性质回顾：： 定理（泰勒级数展开定理）定理（泰勒级数展开定理）2. 泰勒泰勒(Taylor)级数展开定理级数展开定理 Dk代入代入(1)分析：分析： Dkz联合联合(I),(II) (*)式式 证明：证明： 注注：：(2) 展开式的唯一性分析：分析：设f (z)用另外的方法展开为幂级数: 直接法直接法• • 间接法：间接法：由展开式的唯一性，运用级数的代数由展开式的唯一性，运用级数的代数 运算、分析运算和运算、分析运算和 已知函数的展开式来展开已知函数的展开式来展开函数展开成函数展开成Taylor级数的方法级数的方法：： 3. 简单初等函数的泰勒展开式简单初等函数的泰勒展开式例例1 解：解：直直接接法法 间间接接法法 例例2 把下列函数展开成把下列函数展开成 z 的幂级数的幂级数:解：解： (2)由幂级数逐项求导性质得：由幂级数逐项求导性质得：注注:通过奇点判断收敛范围通过奇点判断收敛范围。
4. 小结：小结：F(z)在在z0点解析点解析 & 1. 引入引入 §4.4 罗朗罗朗(Laurent)级数级数& 2. 双边幂级数双边幂级数& 3. Laurent级数展开定理级数展开定理& 4. 函数的函数的Laurent级数展开式级数展开式& 5 小结小结 回顾：回顾：f (z) 在在z0解析解析思考思考：：若若 f (z) 在在z0点不解析点不解析，但在圆环域，但在圆环域 : R1< z - z0
它是后面将要研究的解的函数的级数表示法它是后面将要研究的解析函数在析函数在孤立奇点孤立奇点邻域内的性质以及定义邻域内的性质以及定义留数留数数和计算留数的基础数和计算留数的基础 2. 双边幂级数双边幂级数---含有负幂项的级数含有负幂项的级数定义定义 形如形如---双边幂级数双边幂级数负幂项部分负幂项部分正幂项正幂项(包括常数项包括常数项)部分部分 是一幂级数，设收敛半径为是一幂级数，设收敛半径为R2 ，， 收敛域：收敛域： z - z0 = =R2 收敛域：收敛域： z0R1R2z0R2R1 注注：： (2)在圆环域的边界在圆环域的边界 z - z0 =R1, z - z0=R2上上, , 3. 洛朗级数展开定理洛朗级数展开定理定理定理 (2)在许多实际应用中，经常遇到在许多实际应用中，经常遇到f (z)在奇点在奇点 z0的去心邻域内解析，需要把的去心邻域内解析，需要把f (z)展成洛朗展成洛朗 （（ Laurent ）级数来展开级数来展开级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分。
洛朗级数的解析部分和主要部分 (3)(3) 展开式的唯一性展开式的唯一性 一个在某一一个在某一圆环域内解析圆环域内解析的函数展开为含有的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f (z)的洛朗级数的洛朗级数分析：分析：Dz0R1R2c Dz0R1R2c 由唯一性，将函数展开成由唯一性，将函数展开成Laurent级数，主要级数，主要用间接法用间接法例例1解解4 4 函数的函数的LaurentLaurent级数展开式级数展开式 例例2解解例例3解解 例例4xyo12xyo12xyo12 解解:无无奇奇点点 注注意意首首项项 解解 (1) 在(最大的)去心邻域例例5yxo12 (2) 在在(最大的最大的)去心邻域去心邻域xo12练习：练习： (1) Laurent级数与Taylor 级数的不同点：• Taylor级数先展开求收敛半径R, 找出收敛域• Laurent级数先求 f(z) 的奇点，然后以 z0为中心 奇点为分隔点，找出z0到无穷远点的所有使 f(z) 解析的环域，在环域上展成级数。
5 5 小结小结 (3)(3)根据区域判别级数方式：在圆域内需要把 f (z) 展成泰勒(Taylor)级数，在环域内需要把f (z)展成 洛朗( Laurent )级数1)(1)对于无理函数及其它初等函数的洛朗展开式，可对于无理函数及其它初等函数的洛朗展开式，可以利用已知基本初等函数的泰勒展开式，经过代换、以利用已知基本初等函数的泰勒展开式，经过代换、逐次求导、逐次积分等计算获得逐次求导、逐次积分等计算获得4) 把把f (z)展成洛朗级数的方法：展成洛朗级数的方法： (2)(2)对于对于有理函数有理函数的的洛朗展开式，首先把有理函数洛朗展开式，首先把有理函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利用已知分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式的几何级数，经计算展成需要的形式 刚才的发言，如刚才的发言，如有不当之处请多指有不当之处请多指正谢谢大家！ 正谢谢大家！ 42 。