二次函数的图象和性质知识点总结一、知识点回忆1. 二次函数解析式的几种形式：①一般式：（a、b、c为常数，a≠0）②顶点式：（a、h、k为常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标③交点式：，其中是抛物线与x轴交点的横坐标，即一元二次方程的两个根，且a≠0，（也叫两根式） 2. 二次函数的图象①二次函数的图象是对称轴平行于（涉及重叠）y轴的抛物线，几种不同的二次函数，如果a相似，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相似，只是位置不同②任意抛物线可以由抛物线通过合适的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移措施如下表所示③在画的图象时，可以先配方成的形式，然后将的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将配成的形式，这样可以拟定开口方向，对称轴及顶点坐标然后取图象与y轴的交点（0，c），及此点有关对称轴对称的点（2h，c）；如果图象与x轴有两个交点，就直接取这两个点（x1，0），（x2，0）就行了；如果图象与x轴只有一种交点或无交点，那应当在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y轴交点及其对称点），一般画图象找5个点3. 二次函数的性质函数二次函数a、b、c为常数，a≠0（a、h、k为常数，a≠0） a＞0a＜0a＞0a＜0图象 (1)抛物线开口向上，并向上无限延伸(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸性(2)对称轴是x＝，顶点是（）(2)对称轴是x＝，顶点是（）(2)对称轴是x＝h，顶点是（h，k）(2)对称轴是x＝h，顶点是（h，k）质(3)当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大(3)当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小(3)当时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。
3)当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小 (4)抛物线有最低点，当时，y有最小值，(4)抛物线有最高点，当时，y有最大值，(4)抛物线有最低点，当x＝h时，y有最小值(4)抛物线有最高点，当x＝h时，y有最大值 4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的措施①配措施：将解析式化为的形式，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线，若a＞0，y有最小值，当x＝h时，；若a＜0，y有最大值，当x＝h时，②公式法：直接运用顶点坐标公式（），求其顶点；对称轴是直线，若若，y有最大值，当 5. 抛物线与x轴交点状况：对于抛物线①当时，抛物线与x轴有两个交点，反之也成立②当时，抛物线与x轴有一种交点，反之也成立，此交点即为顶点③当时，抛物线与x轴无交点，反之也成立 二、考点归纳考点一求二次函数的解析式例1.已知二次函数f（x）满足f（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8，试求f（x）解答：法一：运用二次函数的一般式方程设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），由题意故得f（x）＝－4x2＋4x＋7法二：运用二次函数的顶点式方程设f（x）＝a（x－m）2＋n由f（2）＝f（－1）可知其对称轴方程为，故m＝；又由f（x）的最大值是8可知，a<0且n＝8；由f（2）＝－1可解得a＝－4。
故法三：运用二次函数的零点式方程由f（2）＝－1，f（－1）＝－1可知f（x）＝－1的两根为2和－1，故可设F（x）＝f（x）＋1＝a（x－2）（x＋1）又由f（x）的最大值是8可知F（x）的最大值是9，从而解得a＝－4或0（舍）因此f（x）＝－4x2＋4x＋7阐明：求函数解析式一般采用待定系数法，即先按照需要设出函数方程，然后再代入求待定系数考点二二次函数的图像变换例2.（浙江卷）已知t为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，则t＝解答：作出的图像，I、若所有点都在x轴上方，则ymax＝f（3）＝2可解得t＝1；II、若图像有部分在x轴下方，把x轴下方的部分对称地翻折到x轴上方即可得到的图像，则ymax＝f（1）或ymax＝f（3），解得t＝－3或t＝1，经检查，t＝1综上所述，t＝1考点三二次函数的图像的应用例3.已知函数f（x）＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞]上是增函数，则f（1）的范畴是（）A. f（1）≥25 B. f（1）＝25 C. f（1）≤25 D. f（1）>25解答：函数f（x）＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞）上是增函数，则区间[－2，＋∞）必在对称轴的右侧，从而，故f（1）＝9－m≥25。
选A阐明：解决此类问题结合函数图像显得直观考点四二次函数的性质的应用例4.设的定义域是[n，n＋1]（n是自然数），试判断的值域中共有多少个整数？分析：可以先求出值域，再研究其中也许有多少个整数解答：的对称轴为，由于n是自然数，故，因此函数在[n，n＋1]上是增函数故故知：值域中共有2n＋2个整数阐明：本题运用了函数的单调性，不久求出了函数的值域，这是求函数值域的一种重要措施考点五二次函数的最值例5.试求函数在区间[1，3]上的最值分析：本题需就对称轴与区间的相对位置关系进行分类讨论：<1，∈[1，2]，∈（2，3]，>3解答：函数的对称轴I、当<1即时：函数在[1，3]上是增函数，故；II、当∈[1，2]即时：；III、当∈（2，3]即时：；IV、当>3即时：函数在[1，3]上为减函数，故综上所述：当时，；当时，；当时，；当时，考点六方程的根或函数零点的分布问题例6.已知二次方程的一种根比1大，另一种根比1小，试求的取值范畴解答：设，则；例7.当为什么实数时，有关的方程（I）有两个正实根；（II）有一种正实根，一种负实根解答：（I）设，由方程有两个正实根，结合图像可知：（II）设，结合图像可知：阐明：一元二次方程的根或二次函数零点的分布问题的解决重要思路是结合函数图像，考虑三个内容：根或零点所在区间端点的函数的正负、鉴别式及对称轴的位置。
考点七三个“二次”的关系例8.已知有关的一元二次不等式的解集为，试解有关的一元二次不等式解答：法一：由题意可知，，一元二次不等式相应的一元二次方程的两个根是1和2，故；又即有关的一元二次不等式的解集为法二：，即有关的一元二次不等式的解集为考点八二次函数的应用例9.（北京春招）某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可所有租出，当每辆车的月租金每增长50元时，未租出的车将会增长一辆，租出的车每辆每月需维护费150元未租出的车每辆每月需维护费50元I）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（II）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解答：（I）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，故租出了88辆；（II）设每辆车月租金定为元，则租赁公司的月收益为故当月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大为307050元 三、综合练习1、小李从如图所示的二次函数的图象中，观测得出了下面四条信息：（1）b2－4ac＞0；（2）c＞1；（3）ab＞0；（4）a－b＋c＜0. 你觉得其中错误的有( )yxO（第4题）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个 第1题2.已知二次函数通过点M（-1,2）和点N（1，-2），交x轴于A，B两点，交y轴于C则……()①； ②该二次函数图像与y轴交与负半轴③ 存在这样一种a，使得M、A、C三点在同一条直线上④若以上说法对的的有：A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③3、在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝2x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是 ( ) A．y＝2(x + 2)2－2 B．y＝2(x－2)2 + 2 C．y＝2(x－2)2－2 D．y＝2(x + 2)2 + 24.如图，点A，B的坐标分别为（1,4）和（4, 4）,抛物线的顶点段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为( ) A．－3 B．1 C．5 D．8 5. 抛物线图像如图所示，则一次函数与反比例函数 在同一坐标系内的图像大体为 ( )xxxxx第7题图6. 把抛物线向上平移2个单位，那么所得抛物线与x轴的两个交点之间的距离是.7.如图，菱形ABCD的三个顶点在二次函数y=ax2－2ax+（a＜0）的图象上，点A、B分别是该抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点，则点D的坐标为．第10题8. 教师给出一种y有关x的函数，甲、乙、丙、丁四位同窗各指出这个函数的一种性质：甲：函数图象不通过第三象限；乙：函数图象通过第一象限；丙：当x<2时，y随x的增大而减小；丁：当x<2时y>0.已知这四位同窗论述都对的。
请写出满足上述所有性质的一种函数______________.9.已知有关x的函数y＝（m－1）x2＋2x＋m图像与坐标轴有且只有2个交点，则m＝10. 如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与轴相切时，圆心P的坐标为. OxAyHCy=x211. ．如图，在第一象限内作射线OC,与x轴的夹角为30o,在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x轴于点H.在抛物线y=x2 (x>0)上取点P，在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是 _______________ .12. 我们懂得，根据二次函数的平移规律，可以由简朴的函数通过平移后得到较复杂的函数，事实上，对于其她函数也是如此如一次函数，反比例函数等请问可以由通过_________________________平移得到13如图，点P的坐标为（2，），过点P作x轴的平行线交y轴于点A，交双曲线(x>0)于点N；作PM⊥AN交双曲线(x>0)于点M，连结AM.已知PN=4.（1）求k的值.（3分）（2）求△APM的面积.（3分）14如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求直线与轴的交点的坐标及△的面积；(3)求方程的解（请直接写出答案）；(4)求不等式的解集（请直接写出答案）. 15. 如图，在直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上。
抛物线通过点B、C1）求抛物线的解析式；（2）点D、E分别是AB、BC上的动点，且点D从点A开始，以1cm/s的速度沿AB向点B移动，同步点E从点B开始，以1cm/s的速度沿BC向点C移动。