证券研究报告 请务必阅读正文最后的中国银河证券股份公司免责声明 FOF 研究研究●●金融工程金融工程 2016 年年 08 月月 24 银河金工银河金工 FOFFOF 专题之五专题之五 资产配置的资产配置的风险平价理论风险平价理论 核心核心要点：要点： 风险平价风险平价的的资产配置方法资产配置方法 将风险平均分配到组合投资结构中的每一个组分中， 追求资产 本身风险的权重平衡，关注每个组分对总风险的贡献通过这样来 达到最终的优化组合风险 等权、最小方差、风险平价等权、最小方差、风险平价 等权、最小方差、风险平价是三种重要的资产配置方法，各有 其优缺点 都可以作为 FOF 投资的资产配置的方法 分析师分析师 王红兵 ：0755-83479312 ：wanghongbing_yj@ 执业证书编号：S0130514060001 朱人木 ：010-83574063 ：zhurenmu@ 执业证书编号：S0130516020002 请务必阅读正文最后的中国银河证券股份公司免责声明 1 FOF 研究研究 正文目录 一、风险平价的简介一、风险平价的简介 2 （一）风险平价的起源 2 （二）风险平价的基本定义 3 （三）风险平价模型 3 二、比较与最优化二、比较与最优化 10 （一）等权、最小方差组合、ERC 的比较 . 10 （二）最优化 . 11 三、实证分析三、实证分析 12 （一）数值例子 12 （二）三种策略对比： 14 四、结论四、结论 16 五、风险提示五、风险提示 16 图表目录图表目录 17 请务必阅读正文最后的中国银河证券股份公司免责声明。
2 FOF 研究研究 一、风险平价的简介 （一）风险平价的起源 为了得到理想的组合投资结构， 学者们曾做了长时间的学术研究， 希望得到一个有效率的 方法将资产分配于股票和债券等在约 50 年前，Markowitz（1952）开始在均值方差模型的框 架下系统的研究此问题 其前提为理性的投资者在一定的波动情况下期望获得最大的收益 尽 管想法很吸引人，但在实际操作过程中则遇到了几个严重的问题第一是按 Markowitz 方法得 到的资产组合权重太过集中 第二是均值方差模型对于给定的模型参数非常敏感， 参数细微的 变化就会引起组合结构的巨变，而众所周知对于精确参数的获得是非常困难的 因此人们开始研究其他解决此问题的方法 处理这些问题的替代方法， 如投资组合重采样 或稳健的资产配置，但他们都有自己的缺点另外，投资者被迫需要计算在组合较大时的解决 方案，增加了额外的计算负担这些方法表明，他们可以被重新表述为缩减估计的问题，实证 表明他们的表现并不优于传统的方法 纵观市场， 也出现了很多投资者更喜欢的启发式的解决 方案，这些方案计算简单，推测能力强大，因为它们不依赖于预期回报其中最有名的两个为 最小方差模型和等权重模型。
前者是均值-方差有效前沿上的一个存在特殊解的点，这个组合 是很容易计算，因为解决方案是独一无二的作为唯一的均值-方差有效的投资组合它不以预 期收益的信息为准则，它也被认为是稳健的后者直接将权重均匀分布作为唯一的均值-方 差有效的投资组合它不以预期收益的信息为准则，它也被认为是稳健的然而，最小方差组合 通常有集中程度较高的缺点 解决这个问题的简单方式是相同权重属性都考虑将其纳入投资组 合中权重相等或“1 / n”的组合被广泛使用在实践当中，且在实证中得以印证此外，如果 所有资产具有相同的相关系数， 以及相同的均值和方差， 那么权重相等的投资组合就是在有效 边界的独特组合 它的缺点是， 如果个别风险显著不同的话， 它可能会导致分散风险十分有限 而从风险角度来看，这两种方法都只关注了总资产的风险，而并没有将组合风险分散简 单的来说就是投资组合中的一部分占了风险的绝大多数 下面我们通过传统的投资组合（60%股票 40%债券） 来简单的看一下没有将组合风险分散 意味着什么从传统投资组合的权重来看，股票和债券的占比为 6:4，然而当出现亏损时，股 票和债券对总亏损的贡献远远大于 6:4 图图 1：资产权重与风险权重对比表：资产权重与风险权重对比表 请务必阅读正文最后的中国银河证券股份公司免责声明。
3 FOF 研究研究 资料来源：中国银河证券研究部 例如：对于一个 45 个月的投资组合亏损 3%-4%时，股票对亏损贡献达到 89.8%其余结 果如下表所示： 表表 1 股票对于亏损贡献体现股票对于亏损贡献体现 Loss(%) Loss Contribution(%) Number of months -4 to -3 89.8 45 -5 to -4 92.7 23 -6 to -5 88.1 11 -7 to -6 99.5 9 -8 to -7 90.1 8 资料来源：中国银河证券研究部 k （二）风险平价的基本定义 因此我们在本文中将分析另一种方法：风险平价（Risk parity） 它是一个在最小方差和等 权重组合之间的一个折中方法 其主要特点是将风险平均分配到组合投资结构中的每一个组分 中，追求资产本身风险的权重平衡，关注每个组分对总风险的贡献通过这样来达到最终的优 化组合风险具体来说，组成部分 i 对投资组合的风险贡献取决于它的权重，它被计算为边际 风险贡献分配的产物，即组合成分中无穷小的增加所引起的组合的总风险的变化若资产 i 的 风险贡献多于其他资产， 则降低资产 i 的的权重同时提升其他资产权重， 直至各组分权重相同。
（三）风险平价模型 资产权重占比 股票 债券 风 险 权 重占比 请务必阅读正文最后的中国银河证券股份公司免责声明 4 FOF 研究研究 设一个包含 n 个组分的风险投资组合为其中每一项为一个 资产；为资产 i 的方差；为资产 i 和 j 的协方差；为 i 和 j 的协方矩阵则 资产组合的标准差如下： 其意义为投资组合的风险 边际风险贡献（Marginal Risk Contributions）定义如下： 边际风险贡献体现出其中单个资产的权重微小变化对组合波动率所带来的影响 值得注意 是，其中微小的变化即可引起投资组合剧烈的波动 而如果我们明确：每个资产的风险贡献=其自身权重*其边际风险贡献，也即 ，则我们可以进一步推出投资组合有以下重要分解： 所以，投资组合的风险可以看为各资产风险贡献的加和 1、、有解析解的情况有解析解的情况 通过以上定义和推导我们来继续探寻风险平价模型的求解 假设各资产间存在着相同的相 关系数时，不妨设其值为ρ则资产 i 的总风险贡献可以表示为: 𝜎𝑗(𝑥) = 𝑥𝑗 2𝜎𝑗2((1 − 𝜌)𝑥𝑗𝜎𝑗 − 𝜌∑𝑘𝑥𝑘𝜎𝑘 𝜎(𝑥) 接下来我们继续推导如何得出各组分权重。
我们首先分析二元情况下 ERC 组合，ρ为相 关系数，x = (ω,1 − ω)为权重向量，则总风险贡献向量为： 在这种情况下，我们发现ω的两行相等，ω满足，且ω 请务必阅读正文最后的中国银河证券股份公司免责声明 5 FOF 研究研究 满足0 ≪ ω ≪ 1的唯一解为： 我们可以发现这个解并不依赖相关系数 接下来我们讨论在 n2 时的情况随着 n 的波动和的相关关系变化， 参数的数量急剧增加 所以我们对实际情况做一些简化， 以此来方便我们进行分析 我们假设每一对变量都有着 相 同 的 相 关 系 数 ， 即， 各 组 成 成 分i的 总 风 险 贡 献 可以写成 再根据风险平价模型定义，各资产组分对总风险的贡献应该相同，由此可得𝑥𝑗𝜎𝑗= 𝑥𝑘𝜎𝑘， 且有数学约束∑𝑗𝑥𝑗= 1，可以得出： 𝑥𝑗= 𝜎𝑗 −1 ∑𝑘=1 𝑛 𝜎 𝑘 −1 分配给每个分量 i 的权重是通过其与波动的调和平均数的倒数之比得出 组成部分的波动 越大（越小） ，ERC 投资组合的权重越小（越大） 2、、无无解析解的情况解析解的情况 在其他情况下，是不可能找到 ERC 组合的解析解的。
让我们分析一个例子，在所有的波 动相等的情况下，即对于所有 i 有 ，如果相关系数不同通过同样的推断（如 在一定的相关关系的情况下） ，我们可以得出： 请务必阅读正文最后的中国银河证券股份公司免责声明 6 FOF 研究研究 这归因于组合成分 i 的权重等于 i 的相关系数的加权平均与其他成分的逆和所有部分的等 均值之间的比率注意，对于违背了二元的情况和恒定的相关系数的假定，在高阶的问题的情 况下，解决的办法是内生的，因为𝑥𝑗 是一个通过约束∑𝑗𝑥𝑗= 1 的其自身的函数内生性 的同样的问题自然产生在两者的波动和相关系数不同的一般情况 从组合成分 i 与投资组合的 收益回报的协方差的定义出发有 已 知 我们引入风险系数 根据定义，我们有 对于所有 i，j，有 ERC 投资组合 ，则存在 各组合成分 i 的权重被认为与他的风险因子成反比例，风险因子越高（越低） ，权重就越 低（越高） 这意味着，组成成分中有高波动性或与其他资产高相关的资产将非常的不利回 想一下，这个方案是内生的，因为 是 的函数，而它则取决于投资组合 x 在这方面，有一种方法是使用 SQP（序列二次规划法）算法解决以下优化问题： (1) (2) 请务必阅读正文最后的中国银河证券股份公司免责声明。
7 FOF 研究研究 我们继续研究以希望得到近似解对于上文中的（1） 、 （2）式，ERC 的解决方案是依据 于该资产与投资组合剩余部分相比的相对风险而言的， 因为程序的内生， 它不提供一个封闭形 式的解决方案因而需要使用数值算法寻找解决方案 ERC投 资 组 合 的 存 在 是 为 了 确 保 当 且 仅 当 对 于 所 有 的i和j有 时可以被验证 基本上， 这个程序最小化 了风险贡献的方差 对上述算法的一种简化是考虑下面的优化问题： 其中C为任意常数， 在这种情况下， 该程序类似于方差最小化问题受到权重分散的约束， 此问题或许可以用 SQP 解决，我们将在后面讨论这个问题， ERC 投资组合被标示为 我们先看第一个优化问题，它比较容易使用数值求解，因为它不包含非线性不等式约束 尽管我们能够找到例子，但数值优化问题依然棘手如果没有找到的最优化问题（3）的数值 解，我们建议通过下列方法稍微修改一下这个问题： 和， 其中 c 为任意正数， 这个新的优化问题在数值上比（2）更容易求解，因为不等式约束比等式约 束的限制要少而公式（4）具有这样的有点，它表明只要该协方差矩阵是 (4) (3) 请务必阅读正文最后的中国银河证券股份公司免责声明。
8 FOF 研究研究 正定的，ERC 的解就是唯一的事实上，它定义了一个二次函数的具有下限（凸函数）的最 小化程序（一个凸函数） 最后，我们应该注意到，放宽多策略约束时，可以得到满足 ERC 条 件的各种解决方案 由此我们得出了风险平价模型的基本推导 对于一些有特殊情况我们可以得到精确地解析 解，而对于不满足相关性假设的情况，以上方法也可以近似的求得风险平价策略的权重配比 以上求解过程比较复杂，下面通过简单的框图进行总结方便理解： 图图 2：：风险平价权重确定风险平价权重确定逻辑图逻辑图 请务必阅读正文最后的中国银河证券股份公司免责声明 9 FOF 研究研究 资料来源：中国银河证券研究部 3、、等权风险贡献（等权风险贡献（ERC）） 风险应对的贡献已成为机构投资者的标准做法， “风险预算”的标签之下风险预算更多 依据投资组合的风险贡献，而不是在投资组合的权重调查等权风险贡献（ERC）投资组合的 风险回报特性是很有趣的， 因为当它们考虑到资产的单一和联合风险贡献时， 就会模仿等权组 请务必阅读正文最后的中国银河证券股份公司免责声明 10 FOF 研究研究 合的分散投资效应换句话说，没有资产的贡献比投资组合的总风险更多。