A B C a b c a' b' c ' c“ a“ b“ 第三节 空间平面的投影 基本要求 一、平面的投影特性 二、平面上的点和线 1.掌握平面的几何元素表示法 2.掌握平面的投影特性及作图方法 3.掌握平面上点和直线的投影特性及作图法 4.掌握线面的平行、相交、垂直等相对位置 的投影特性及作图方法 5.能对画法几何综合题进行空间分析，了解 综合题的一般解题步骤和方法 基 本 要 求 §3 平面投影 空间平面可以由不同的几何元素来确定，平面的投影常用其构成 元素的投影来表示 b a a c b c b a a c b c a a b c b c b b a a c c a b c a b c d d 一、 平面投影 （一）投影面的垂直面 只垂直于一个一个投影面，倾斜于其他两个投影面的平面 1. 正垂面 2. 铅垂面 3. 侧垂面 （二）投影面的平行面 平行于一个一个投影面，垂直于其他两个投影面的平面 1. 正平面 2. 水平面 3. 侧平面 （三）一般位置平面 即不垂直也不平行于投影面的平面 P p“ p p' （一）投影面的垂直面 1.正垂面：只垂直于V面，倾斜于H面和W面的平面 p p' p“ x O yW yH z 投影特性：(1) V面投影积聚为一条线p' (2) p'与x、z轴的夹角反映α、 角的真实大小 (3) p、 p为平面P的类似形 P p' p“ p （一）投影面的垂直面 2.铅垂面：只垂直于H面，倾斜于V面和W面的平面 投影特性 ：(1) H面投影积聚为一条线p (2) p与x、 y轴的夹角反映β、角的真实大小 (3) p'、 p为平面P的类似形 p p' p“ x O z yH yW P p' p p“ （一）投影面的垂直面 3.侧垂面：只垂直于W面，倾斜于H面和V面的平面 投影特性 ：(1) W面投影积聚为一条线p (2) p与z、 y轴的夹角反映β、 α角的真实大小 (3) p'、 p为平面P的类似形 p“ p' p O x z yH yW （二）投影面的平行面 1.正平面：只平行于V面，垂直于H面和W面的平面 P p' p“ p 投影特性：(1) V面投影p'反映P的实形 (2) H、 W面投影积聚成直线 (3) p∥Ox； p“∥Oz p p“ p' x O yH yW z （二）投影面的平行面 2.水平面：只平行于H面，垂直于V面和W面的平面 P p“ p p' p p“ p' x O yH yW z 投影特性：(1) H面投影p反映P的实形 (2) V、 W面投影积聚成直线 (3) p'∥Ox； p“∥Oy （二）投影面的平行面 3.侧平面：只平行于W面，垂直于H面和V面的平面 p“ 投影特性：(1) W面投影p反映P的实形 (2) V、 H面投影积聚成直线 (3) p'∥Oz； p∥Oy p' p p' x O yH yW z p“ p A B C a b c a' b' c' c“ a“ b“ （三）一般位置平面 既没有垂直面的投影性质，也不具有平行面的投影性质 投影特性： (1) 一般平面的三面投影既不反映实形也没有积聚性。
(2) 其三面投影均为空间平面的类似形，且面积缩小 a“ a' b' b“ c'c“ b a c x O yW yH z 正平面 铅垂面侧平面正平面 正垂面侧平面侧垂面 一般位置平面 平面投影特性判断 二、平面上的点和线 点和直线在平面上的几何条件： 1）若点在平面上， 2）直线在平面上， 则该点一定在平面内的一条直线上 则该直线必然通过平面上的两点，或经过平面上 一 点并平行于平面内的另一直线 A B C a b c a' b' c' c“ a“ b“ 二、 平面上的点和线 K E e' k' k e k“ e“ 点在平面上的几何条件： A B C a b c a' b' c' c“ a“ b“ 二、 平面上的点和线 直线在平面上的几何条件： K k' k k“ E e' e e“ 要在平面上取点，先要在平面上取已知直线，然后在该直线上取点；反之 ，要在平面上取线，先要在平面上取已知点，然后通过该点在平面上作直线 （一）平面上取点和直线 例题 1 例题 2 （一）平面上取点和直线 例题1 如图所示，试作出△ABC平面内点E的水平投影e；并由F 的 两面投影f、f'，判断点F是否在△ABC平面内。
a b' c a' c' b f' f e' e 1' 1 2' 2' （一）平面上取点和直线 例题2 如图所示，已知五边形ABCDE平面的部分投影，试完成 平面的水平投影 a' b' c' e' d' e d c a b 1' 1 2' 2 x O （二）平面上的特殊直线 P 平面上不同位置的直线，它对投影面的倾角各不相同其中：一种 对投影面倾角为零的为投影面的平行线；另一种对投影面倾角为最大 的为投影面的最大斜度线 1.平面上的投影面平行线 e f' f ea b' c a' c' b x O P （二）平面上的特殊直线 e' a b' a' b 1020515 mm 1020515 mm c' d' f' c d xO 例题3 试在四边形ABCD平面内取一点K，使K点距离H面10mm、 距V面为15mm，作出K点的两面投影 e f k' k 第四节 线面的相对位置 A B C D a b c(f) d(e ) E F A B C D a b c(f) d(e ) E F K k 线面的相对位置是指直线与平面、平面与平面间的相对位置，即： 平行、相交、垂直等问题，以及它们之间产生的交点、交线、距离、 角度等关系。
A B C D a b c(f) d(e ) E F K k 三二一 F G D f(e ) A B a b g(d) E m(n) M N 一、平行问题 直线与平面平行具有下列几何关系： ü 若直线与平面平行该直线必平行于平面上的一条直线； ü 当平面垂直于投影面时该直线的投影必然与平面具有积聚性 的投影平行 1.直线与平面平行 x O f' g' d' f(e ) a' b' b a g(d) e' m(n) m' n' P Q E F D A B C x O c' c a' b' b a e' g' f' f e g l' l F G D f(e ) A B a b g(d) E C c 若空间两平面互相平行，则一平面内相交两直线必然与另一平面 内的相交两直线对应平行； 当两平面相互平行且又同时垂直于投影面时，则两平面的积聚性 投影一定平行 一、平行问题 2.平面与平面平行 x O f' g' d' f(e ) a' b' g(d) e' a b c c' B K A A B G D a b d(e ) g(f) E F K k 1.直线与平面相交 空间直线与平面相交产生交点，交点即是线面的共有点。
若空间直线或 平面其中之一与投影面垂直时，那么可利用积聚性的投影直接作图 二、相交问题 x O g'd' e' g(f ) d(e) f' a' b' a b k k' A B C P Ⅰ Ⅱ E F K 求一般位置线、面 交点的方法步骤： 1）过直线作一辅助平面 垂直于投影面 2）作出辅助平面与已知 平面间的交线 3）求直线与两平面交线 的投影共有点 4）利用重影点来判断 可见性 1.直线与平面相交 二、相交问题 若空间直线和平面都处于一般位置时，可利用辅助平面法求出交点 x O c' e' f' a' a b c f e b' 2' PH 1 2 1' 3'(4' ) 5' 5( ) k' 3 4 k 2.两平面相交 二、相交问题 空间平面和平面相交产生交线，交线即相交两平面的共有线若 空间两平面之一与投影面垂直时，那么可利用积聚性作出交线的投影 ；可见性由积聚性投影来判断 x O c' a' a b c b' p p' 1' 2' 1 2 f A P B C Ⅰ Ⅱ 1' 2' 三、垂直问题 几何条件：如果空间直线与平面垂直，则该直线垂直于平面上的 所有直线反之，直线垂直平面上的任意两相交直线，则直线垂直于 该平面。
1.直线与平面垂直 L K P 三、垂直问题 1.直线与平面垂直 1）如果空间直线与投影面垂直面垂直，则该直线与平面在该投影 面上的投影必然垂直 F G D f(e ) A B a bg(d) E x g'f' e' d' a b a' b' f(e ) g(d) L K P A B a b M m K k PH P x O p' p m' m a b b' a' d' c' c d k k' 三、垂直问题 1.直线与平面垂直 2)如果空间直线与一般位置平面垂直，则由直角投影定理可知该 直线的水平投影一定垂直与该平面水平线的水平投影；直线的正面 投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影 三、垂直问题 2.两平面垂直 如果空间两平面相互垂直，过其中一平面上的任意点向第二个平 面作的垂线，必定在第一个平面内；若空间直线与平面垂直，则包 含直线作的所有平面都垂直于该平面 D A 三、垂直问题 2.两平面垂直 若两个投影面垂直面相互垂直，则两平面在所垂直的投影面上的 积聚性投影成直角两个一般位置平面相互垂直，其中一个平面必 然经过另一平面的垂线 b' a' c' e' d' a(b ) d(c ) e x O b' a' d' a O d c b e f f'(e') §2-4 综合问题分析 例题5 求作直线EF与ABCD平面交点K的两面投影，并判断可见性。
c' x k' 1' 1 k §2-4 综合问题分析 例题6 如图所示，试过空间点A作三角形平面，使△ABC平面既平行 于MN 又垂直于 DEFG平面 n' m' d' m O a f(g) n x a' e' f' g' e(d) b c b' c' 本章结束 。