1,线 性 代 数,副教授：黄振耀,2,课程简介,《线性代数》是理工类和经管类高等院校学生必修的一门重要基础,理论课程，它的基本概念、理论和方法具有较强的逻辑性、抽象性和广,泛的实用性通过该课程的学习，使学生掌握该课程的基本理论和基本,方法，且对学生的逻辑推理能力、抽象思维能力的培养以及数学素养的,提高也具有重要的作用这些理论、方法和能力为一些后续课程的学习,及在各个学科领域中进行理论研究和实践工作提供了必要的保证，因此,该课程历来受到各高等院校的高度重视根据成人的特点，在总结多年成人教育经验的基础下，对《线性代,数》的教学内容作了认真精选，叙述间明扼要，由潜入深、通俗易懂，,力求体现学科的系统性、科学性和实用性的要求在本课程中主要讲解,行列式、矩阵和线性方程组这三个线性代数的基本内容3,主要内容,第一章 行 列 式,第二章 矩 阵,第三章 线性方程组,,,,,4,第一章 行列式,行列式是学习线性代数的重要基础知识初等数学中曾讲解二阶、,三阶行列式的计算，以及用这工具来解二元、三元线性方程组式，为此首先引入行列式的概念在本书研究多元线性方程组的解，以及研究矩阵性质时也要用到行列,,5,第一章 行列式,第一节 行列式的概念,第二节 行列式的性质,第三节 行列式按行（列）展开,第四节 行列式的计算举例,第五节 克莱姆法则,,,,,,,主要内容,,6,第一节 行列式的概念,一、行列式的概念,为了更好掌握行列式的定义，我们采用数学归纳法的方法讲解行列,【定义 1.1】,【例 1.1】,要指出在本课程中如遇绝对值我们将会作出特别的说明。
式的定义一阶行列式由一个数组成，记为,,7,第一节 行列式的概念,表示，且规定：,,其中，元素 称为行列式的第 行第 列的元素 ；,,称为元素 的代数余子式；而 是行列,【定义 1.2】,二阶行列式是由 个元素排成2行2列，用,素 的余子式式中划去第 行和第 列元素，后所剩下的元素组成的行列式，称为元,,8,第一节 行列式的概念,,,,,,,,,,,则二阶行列式,,,,,,显然在定义中， ，而 ；,,,这与中学里所学的对角交叉相乘之差所得结果一致9,第一节 行列式的概念,,,,,,,,,,,,,,,,【例 1.2】,,,,求二阶行列式 的值解,,,,或,,,10,第一节 行列式的概念,,,,,,,,,,,,,,,,【定义 1.3】,,,,,,,,,三阶行列式是由 个元素排成的3行3列，用,,表示，且规定：,其中：,,,,11,第一节 行列式的概念,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,称 为 的余子式，它是在三阶行列式中划去 所在的行及列后,,按原次序所成的二阶行列式，称 为 的代数余子式； 为 的代数,余子式。
一般地， 就是三阶行列式中划去 所在的第 行和第 列剩下,的元素按原次序构成的二阶行列式，称为元素 的余子式称为元素 的代数余子式12,第一节 行列式的概念,,,,,,,,,,,,,,,,【例 1.3】,,,,解 由上面定义，因为,,,,计算三阶行列式 的值所以,,,,13,第一节 行列式的概念,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,从上面三阶行列式的定义可以看到：我们在计算三阶行列式时，是,,用其第一行的元素乘它的代数余子式之和，而代数余子式又是由二阶行,列式构成的用这一思想，我们可以计算四阶、五阶等更高阶的矩阵下面给出行列式的一般定义定义 1.4】,,,,当 时， ，假设已定义了 阶,,,行列式， 阶行列式是由 个元素排成行和列组成，记为：,,,14,第一节 行列式的概念,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,且规定其值为：,,,其中， 表示元素 的余子式，它是 中划,去 所在的第1行和第 列后剩下的元素按原来的次序构成的 阶,行列式 称为 的代数余子式。
15,第一节 行列式的概念,,,,,,,,,,,,,,,,【例 1.4】,,,,解,,,,,,,,,,计算四阶行列式,,,,,,,,,16,第一节 行列式的概念,,,,,,,,,,,,,,,,,,,我们也可以给出每个元素的余子式和代数余子式的一般定义定义 1.5】,,,,对于 阶行列式 ，,,,,,,,,列元素后，按原次序排列构成的 阶行列式称为元素 的余子式， 称为元素 的代数,余子式 其中， 是 中划去元素 所在的行和,,17,第一节 行列式的概念,,,,,,,【例 1.5】,,,解,,,求行列式 的元素 和 的代数余子式所以,,因为 的余子式,,,的余子式,,,,,,的代数余子式,,,,,,的余子式,,,,,18,第二节 行列式的性质,,,,,,,,,,,,在上一节行列式定义,中我们看到行列式的计算是由高阶向低阶逐阶递减过程，因此行列式的,阶数越高，计算越繁下面的行列式性质可以简化行列式的计算19,第二节 行列式的性质,,,,,,,,,,,【定义 1.6】,,,,,交换行列式D的行与列所得的行列式，称为D的转置行,,列式，记为 或 。
设,,,则,【例 1.6】,若,则,,,,20,第二节 行列式的性质,,,,,,,,,,,性质1,,,,,,,,,,转置行列式的值等于原行列式的值，即 在例1.6中的二个行列式 的值相等，即,,根据这一性质， 阶行列式的定义按第一行展开等于按第一列展开,即：,,这一性质也说明行列式的对于每行具有的性质对每列也成立21,第二节 行列式的性质,,,,,,,,,,,性质2,,,,,,,,,,交换行列式的任意两行（列）元素，行列式的值变号例 1.7】,交换以下行列式D的第一行和第三行，有,,,,,,,素（仍为D），即得 ，移项得 ，于是 因假设D中的第 行和第 行对应元素相同，交换第 行和第 行元,,22,【例 1.8】,第二节 行列式的性质,,,,,以上性质1和性质2可以用数学归纳法证得，在这我们省略行列式,（因为第一行与第三行相同）,,23,第二节 行列式的性质,,,,,,,,,,,性质3,,,,,,,,,,,,【例 1.9】,行列式,,,,,,,符号的外面这一性质可以由行列式的定义和性质2得到这相当于行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式,,行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一个数 ，行,,,列式的值扩大 倍。
24,第二节 行列式的性质,,,,,,,,,,,性质4,,,,,,,,,,行列式中两行（列）对应元素都成比例，行列式值为零与第 行相同，于是行列式的值为零设第 行为第 行的 倍，由性质3，将 行提出公因子 ，即得第 行,性质5,,若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第 列,的元素都是两数之和：,,,25,第二节 行列式的性质,,,,,利用这一性质：,则 等于下列两列行列式之和：,,26,第二节 行列式的性质,,,,,,,,,,,性质6,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,应元素上去，行列式值不变即,把行列式某行（列）各元素的 倍加到另一行（列）的对,这一性质由性质3和性质4直接得到利用这些性质可以简化行列式的计算另外我们用 表示第 行， 表示第 列 表示交换第 行与第,行， 表示第 行乘 倍； 表示把第 行乘 倍加到第 行上去27,【例 1.10】,第二节 行列式的性质,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,解,,,,,,,,,,利用行列式性质计算行列式,,,,,,,,,下页继续……,,28,第二节 行列式的性质,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,然后按行列式定义，得：,,,熟练以后，这几步也可以合并为：,,,,,,,,,,,,,,,（这里也可用 ）,,29,第三节 行列式按行（列）展开,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,根据行列式定义，行列式的值等于第一行或第一列的元素乘以它的,,,,,,代数余子式之和。
在本节中我们将这一结果加以推广定理1.1】,若 阶行列式 中除 外，第 行（或 列）的其余,元素都为零，那么 可按第 行（或 列）展开为 证明,,设第 行除 ，其余元素都为零30,第三节 行列式按行（列）展开,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,现将第 行和第 行对换，再与第 行对换，……经过 次,对换，含 的原第 行就换到第一行，行列式的值应乘 ，类似经,过 次列对换，可将含 的列变到第一列，即,,,,,因为新行列式中划去第1行划去第1列所成的余子式就是 中的,,（划去原第 行和原第 列）31,第三节 行列式按行（列）展开,,,【定理1.2】（拉普拉斯展开）,,,的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,阶行列式等于它的任意一行（列）,或,,32,证明,n阶行列式等于它的任意一行（列）,第三节 行列式按行（列）展开,,33,第三节 行列式按行（列）展开,【定理1.3】,应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,行列式 的任意一行（列）各元素与另一行（列）的对,或,证明,将 的第 行元素 换成 所成的新,行列式的第 行与第 行相同；于是新的行列式值为零，另一方面，新行,列式可按第 行展开，得：,,34,第三节 行列式按行（列）展开,综合定理1.2和定理1.3，得：,也就是行列式 的任意一行（列）各元素与这一行（列）的对应元,素的代数余子式乘积之和等于行列式的值；行列式 的任意一行（列）,各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。
利用行列式性质将某行（列）的元素尽可能化为零，然后展开，可,简化行列式的计算或,,35,第三节 行列式按行（列）展开,【例 1.11】,解1,从第三列着手，再变出一个零元素计算行列式,首先寻找含零个数最多的行或列本题第3列含两个零，于是,,,,,,,（按第3列展开得）,（再按第3列展开得）,下页继续……,,36,第三节 行列式按行（列）展开,解2,是用第4行减第1行也可同时出现3个零，然后按第4行展开，既得：,本题也可以这样解：第4行与第1行有三个对应元素相同，于,,37,第三节 行列式按行（列）展开,【例 1.12】,解,,,,,,的系数行列式 是关于 的一次多项式，求一次项,由于行列式中 在其第二行，按第二行展开，可得：,,,,可以看到，一次项 的系数就是 的代数余子式,,38,第三节 行列式按行（列）展开,【例 1.13】,计算行列式的值,解,,（按第4行展开得）,,（按第3列展开得）,,,39,第四节 行列式的计算举例,,,,,,,,,本节主要对有某些特殊的行列式的计算进行介绍我们把 阶行列式 的从左上角到右下角含 的连线称为,主对角线。
40,第四节 行列式的计算举例,,,,,,,,,,,一、对角行列式,,其中，除主对角线上的元素 外，其余省略的元,素皆为零显然：,即对角行列式的值等于主对角线上元素之积对角行列式等于零的充要条件为对角线上至少。