1[高等量子理论专题系列讲座高等量子理论专题系列讲座] 近代量子理论中的几个数学专题 近代量子理论中的几个数学专题 提 纲 提 纲 [第一讲第一讲] 无穷乘积计算和算符行列式计算无穷乘积计算和算符行列式计算 [第二讲第二讲] 泛函、泛函变分与泛函导数计算，泛函泛函、泛函变分与泛函导数计算，泛函(路径路径)积分定义积分定义 [第三讲第三讲] 泛函泛函(路径路径)积分的数学分析积分的数学分析 [第四讲第四讲] 二阶变系数线性微分方程求解二阶变系数线性微分方程求解 [第五讲第五讲] 除零、求逆、除零、求逆、Green 函数方法与函数方法与 Lippmann-Schwinger 方程求解方程求解 [第六讲第六讲] 简论量子理论中的算符简论量子理论中的算符 [第七讲第七讲] Grassmann 的数学分析的数学分析 ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ [第第 3 讲讲] 泛函泛函(路径路径)积分的数学分析积分的数学分析 提提 纲纲 一，泛函积分的分部积分运算一，泛函积分的分部积分运算 二，二，Gauss 型泛函积分计算举例型泛函积分计算举例 三，泛函三，泛函δ δ− −函数函数 四，泛函四，泛函 Fourier 变换变换 五，泛函积分的变数变换与泛函五，泛函积分的变数变换与泛函 Jacobi ※ ※ ※ ※※ ※ ※ ※ 一，泛函积分的分部积分运算一，泛函积分的分部积分运算 2设算符设算符ˆK是厄米的，且其中质量有一小的负虚部，于是它将无奇性，可以有逆算符。
是厄米的，且其中质量有一小的负虚部，于是它将无奇性，可以有逆算符ˆK的定义是，若为积分形式，则为的定义是，若为积分形式，则为 ( )( )() ( )( )( )() ( )ˆˆ: ˆ,KKxKxdy K x yyϕψϕψϕϕϕψϕψϕϕ→===→===∫ ∫（（3.1）） 这里这里()(),K x y是是ˆK在函数空间的表示而在函数空间的表示而( () )1,Kx y− −则是逆算符则是逆算符1ˆK− −在函数空间的表示，是其逆变换的积分核；如是微分形式，可设在函数空间的表示，是其逆变换的积分核；如是微分形式，可设()()1,Kx y− −为算符为算符( )( )ˆK x的的 Green 函数，它满足如下方程，函数，它满足如下方程， ( )( )( () )( () )1ˆ,K x Kx yxyδ δ− −= =− − （（3.2）） 显 然 ， 如 果显 然 ， 如 果( )( )ˆK x是 某 个 场 方 程 左 边 的 微 分 算 符 ， 则是 某 个 场 方 程 左 边 的 微 分 算 符 ， 则()()()()11,Kx yKxy−−−−=−=−就是该场的就是该场的 Feynman 传播子（至多差一常数相因子）。
可以直接解出这个传播子（至多差一常数相因子）可以直接解出这个 Green 函数为函数为 ()( )()( )()()()()() ( )() ( )()()4 1 411,ˆˆ2i p xyxd pKx yxyeK xKipμμμμδ πδ π−−−−=−= ∂→=−= ∂→∫ ∫（（3.3）） 1，分部积分定理，分部积分定理 [定理定理] 若泛函积分若泛函积分[ [ ] ][ [ ] ]IDFGϕϕϕϕϕϕ= =∫ ∫存在，并满足存在，并满足 [ [ ] ] [ [ ] ]( () ) ( )( )0FGDxδϕϕϕδϕδϕϕϕδϕ= =∫ ∫则有分部积分公式如下则有分部积分公式如下 [ ][ ] ( )( )[ ][ ][ ][ ][ [ ] ] ( )( )FGDGDFxxδ δϕδϕϕϕϕϕδϕδϕϕδϕϕϕϕϕδϕδϕ= −= −∫∫∫∫（（3.4）） 证明证明：： 左边左边[ ][ ] [ [ ] ]()() ( )( )[ ][ ][ ][ ] ( )( )[ ][ ][ ][ ] ( )( )FGGGDFDFxxxδϕϕδϕϕδ δϕδϕϕϕϕϕδϕδϕδϕϕδϕϕϕϕϕδϕδϕδϕ⎧⎫⎪⎪=−= −⎨⎬ ⎪⎪⎩⎭⎧⎫⎪⎪=−= −⎨⎬ ⎪⎪⎩⎭∫∫∫∫2, 分部积分计算举例。
分部积分计算举例设有如下含外源的泛函积分设有如下含外源的泛函积分 3[ ][ ]() ()() (){}{}( )( )()() ()()() ()expexp2iIDi dxxxdx dyxK xyyxδηϕϕηϕϕδϕδηϕϕηϕϕδϕ⎧ ⎧⎫′′′′′′′′′=−⎫′′′′′′′′′=−⎨ ⎨⎬⎩⎭⎬⎩⎭∫∫∫∫∫∫可证有如下分部积分公式可证有如下分部积分公式 () ()() (){}{}( )( )()() ()()() ()()() ()( )()() ()( )() ()() (){}{}expexp2expexp2iDi dxxxdx dyxK xyyxiDdx dyxK xyyi dxxxxδϕϕηϕϕδϕδϕϕϕϕηδϕδϕϕηϕϕδϕδϕϕϕϕηδϕ⎛⎞⎧⎫′′′′′′′′′−⎜⎟⎨⎬⎜⎟⎩⎭⎝⎠⎛⎞⎧⎫′′′′′′′′′= −−⎜⎟⎨⎬⎜⎟⎩⎭⎝⎠⎛⎞⎧⎫′′′′′′′′′−⎜⎟⎨⎬⎜⎟⎩⎭⎝⎠⎛⎞⎧⎫′′′′′′′′′= −−⎜⎟⎨⎬⎜⎟⎩⎭⎝⎠∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫（（3.5）） 证明证明：现往证：现往证 ( )( )()() ()() ()()() ()() ()exp02iDdx dyxK xyyi dxxxxδϕϕϕϕηδϕδϕϕϕϕηδϕ⎧⎫′′′′′′′′′⎧⎫′′′′′′′′′− −+=⎨⎬⎩⎭+=⎨⎬⎩⎭∫∫∫∫∫∫为此，引入记号为此，引入记号[ ][ ]Zη η并利用后面证明的公式（并利用后面证明的公式（3.9b）式：）式： [ ][ ]()() ()() ()()() ()() ()( )() ( )( )() ( )1exp21exp2ˆiZDdx dyxK xyyi dxxxidzdzzKzzz Det Kηϕϕϕϕηηηηϕϕϕϕηηη− −⎧ ⎧⎫′′′′′′′′′≡−+⎫′′′′′′′′′≡−+⎨ ⎨⎬⎩⎭ −⎧⎫′′′=−⎨⎬⎩⎭⎬⎩⎭ −⎧⎫′′′=−⎨⎬⎩⎭∫∫∫∫∫∫∫∫（（3.6）） 于是于是 ( )( )()() ()() ()()() ()() ()exp2iDdx dyxK xyyi dxxxxδϕϕϕϕηδϕδϕϕϕϕηδϕ⎧⎫′′′′′′′′′−+⎨⎬⎩⎭⎧⎫′′′′′′′′′−+⎨⎬⎩⎭∫∫∫∫∫∫() ()( )() ()( ){}{}exp2iDi dy K xyyixdx dyKi dxϕ ϕϕηϕϕϕηϕηϕϕϕη⎧ ⎧⎫′′′′′′=−++⎫′′′′′′=−++⎨ ⎨⎬⎩⎭⎬⎩⎭∫∫∫∫∫∫∫∫()()()()()() ()( )()() ()( )[ ][ ]exp2ii dy K xyDydx dyxK xyyi dxix Zϕ ϕϕϕϕϕηηηϕϕϕϕηηη⎧ ⎧⎫′′′′′′′′′′=−−+⎫′′′′′′′′′′=−−+⎨ ⎨⎬⎩⎭ +⎬⎩⎭ +∫∫∫∫∫∫∫∫()()[ ][ ] ()()( )( )[ ][ ]Zi dy K xyix Ziyδηδηη ηηδηηδη′′=−+′′′=−+′∫ ∫()()()()( )() ( )( )( )() ( )( )[ ][ ]11exp2ˆidy K xydzdzzKzzzix ZyDetKδ δη ηηηηδηηηηδη− −−⎧⎫′′′′′=−−+⎨⎬′⎩⎭−⎧⎫′′′′′=−−+⎨⎬′⎩⎭∫∫∫∫4()() ( )()() ( )( )( )[ ][ ]11exp2ˆiidy dzK xy KyzzdzdzKix Z DetKη ηηηηηηηηη−−−−−−⎧⎫′′′′=−−+⎨⎬⎩⎭−−⎧⎫′′′′=−−+⎨⎬⎩⎭∫∫∫∫()()()() ( ( ) )[ [ ] ]( ( ) )[ [ ] ]1i dy dzK xy Kyzz Zix Zη ηηηηηηη− −′′′= −−−+′′′= −−−+∫ ∫( )( )[ ][ ]( )( )[ ][ ]0ix Zix Zηηηηηηηη= −+== −+= 证毕。
证毕 注意，此处分部积分公式（注意，此处分部积分公式（3.5）右边将为）右边将为 ()() ()( )()() ()( )() ()() (){}{}expexp2iDdx dyxK xyyi dxxxxδϕϕϕϕηδϕδϕϕϕϕηδϕ⎛⎞⎧⎫⎛⎞⎧⎫′ ′′′′′′′′′−−⎜⎟⎨⎬⎜⎟⎩⎭⎝⎠′′′′′′′′−−⎜⎟⎨⎬⎜⎟⎩⎭⎝⎠∫∫∫∫∫∫( )( )()() ()() ()()() ()() ()exp2iixDdx dyxK xyyi dxxxηϕϕϕϕηηϕϕϕϕη⎧⎫⎧⎫′ ′′′′′′′′′= −−+⎨⎬⎩⎭′′′′′′′′= −−+⎨⎬⎩⎭∫∫∫∫∫∫( )( )()() ()()() ()1exp2ˆixidx dyxKxyy DetKηηηηηη− −−−⎧⎫′′′′′′=−⎨⎬⎩⎭−−⎧⎫′′′′′′=−⎨⎬⎩⎭∫ ∫（（3.7）） 二，二，Gauss 型泛函积分计算举例型泛函积分计算举例 1，作为预备，下面列举几个，作为预备，下面列举几个 Gauss 型多重积分等式型多重积分等式 《多实变数情况》（《多实变数情况》（A为正定对称矩阵）：为正定对称矩阵）： ()()()()111expdet1expexpdet4nni jiji inni jijiii iA x xdxAA x xxdxAAππππα ααααα∞−∞=∞−−∞=∞−∞=∞−−∞=⎧ −=⎪⎪⎨ ⎪⎛⎞−+=⎜⎟⎪⎝⎠⎩⎧ −=⎪⎪⎨ ⎪⎛⎞−+=⎜⎟⎪⎝⎠⎩∏∫∏∫∏∫∏∫? ?《多复变数情况》（《多复变数情况》（A的实部为正定对称矩阵）：的实部为正定对称矩阵）： ()()()()()()2 1212111expexp,det11exp221detexp,,,2n i iii in iid zZ AZZZAd zdx dyAd zZ AZZBZZ CZZZBABABB CCACACββββπαβπααββββββπαβπααββ∞++++−−∞=∞++∗++−∞=−∗ +∞++++−−∞=∞++∗++−∞=−∗ +⎧−++==⎪ ⎪ ⎪⎛⎞⎪−−−++=⎜⎟⎨⎝⎠⎪⎧⎫⎪⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎪⎪===⎪⎢⎥⎨⎬⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎪⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎩⎧−++==⎪ ⎪ ⎪⎛⎞⎪−−−++=⎜⎟⎨⎝⎠⎪⎧⎫⎪⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎪⎪===⎪⎢⎥⎨⎬⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎪⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎩∏∫∏∫∏∫∏∫????????????《多《多 Grassmann 数情况》：数情况》： 5()()()()1 1111111expdet,,211expdetexp22expdetexpnniin iini inii iAdAAAdddAdAAAd dAAτ τττττττταττααττσ ττ σττσσττττττταττααττσ ττ σττσσ==−=+++∗+−===−=+++∗+−=⎛⎞−== −=⎜⎟⎝⎠ ⎛⎞⎛⎞−+=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠−++=⎛⎞−== −=⎜⎟⎝⎠ ⎛⎞⎛⎞−+=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠−++=∏∏∫∏∫∏∫∏∏∫∏∫∏∫???????????? ()()11 2111exp221detexp,2nii iABCd dBABA ACACτττττταττ βττααβτττττταττ βττααββ β++++∗=−++++∗=−⎛⎞−−−++=⎜⎟⎝⎠⎛⎞−−−++=⎜⎟⎝⎠ ⎧ ⎧⎫⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞−−⎫⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞−−⎪ 。