第 55 炼 数列中的不等关系一、基础知识：1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关，而要求的数列中的最值项，要依靠数列的单调性，所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点2、如何判断数列的单调性：（1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于n的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性由于nN，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，但定义域为0,的函数，得到函数的单调性后再结合nN得到数列的单调性（2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性，通常的手段就是作差（与0 比较，从而转化为判断符号问题）或作商（与1 比较，但要求是正项数列）3、用数列的眼光去看待有特征的一列数：在解数列题目时，不要狭隘的认为只有题目中的,nnab是数列，实质上只要是有规律的一排数，都可以视为数列，都可以运用数列的知识来进行处理 比如：含n的表达式就可以看作是一个数列的通项公式；某数列的前n项和nS也可看做数列12:,nnSS SS等等4、对于某数列的前n项和12:,nnSS SS，在判断其单调性时可以考虑从解析式出发，用函数的观点解决。
也可以考虑相邻项比较在相邻项比较的过程中可发现：1nnnaSS，所以nS的增减由所加项na的符号确定进而把问题转化成为判断na的符号问题二、典型例题例 1：已知数列1,1naa，前n项和nS满足130nnnSnS（1）求na的通项公式（2）设2nnnnca，若数列nc是单调递减数列，求实数的取值范围解： （ 1）11330nnnnSnnSnSSn12121121411nnnnnnSSSSnnSSSSnn121213 26nnnnnnnSS111Sa216nnnnS2n时，112111662nnnn nnnn nn naSS当1n时，11a符合上式12nn na（2）思路：由（ 1）可得：221nncn，由已知nc为单调递减数列可得1nncc对nN均成立，所以代入nc通项公式得到关于,n的不等式4221nn，即只需max4221nn，构造函数或者数列求出4221nn的最大值即可解：2222112nnnnnnncn nannc是递减数列nN，1nncc即+1222221nnnn424222121nnnn只需max4221nn 构造函数：设42121fxxxx则22222222222414242212121xxxfxxxxxxx2222221xxxx所以fx在1,2单调递增，在2,+单调递减111,233ffnN时，max1123fnff即max421213nn13 构造数列：设数列nt的通项公式4221ntnn14242462221121nnttnnnnnnnn4162212421212n nn nnnnn nnn nn2n时，10nntt，即1nntt当2n时，21tt所以nt的最大项为2113tt13例2： 已 知 等 差 数 列na中 ，359,17aa， 记 数 列1na的 前n项 和 为nS， 若2110nnmSSmZ，对任意的nN恒成立，则整数m的最小值是（）A. 5B. 4C. 3D. 2思路： 若2110nnmSS恒成立，21max10nnmSS，要找nS，则需先确定na的通项公式得到1na：53453aad，所以3443naandn，发现1143nan无法直接求和，21nnSS很难变为简单的表达式，所以考虑将21nnSS视为一个数列，通过相邻项比较寻找其单调性：2312123211nnnnnnnnSSSSSSSS2322111111104870898543898543nnnnaaannnnnn， 进 而21nnSS单调递减，213132max1445nnSSSSaa，所以142810459mm，从而4m答案： B 例3：已知数列,nnab满足122nbnaaanN，若na为等比数列，且1322,6abb（1）求,nnab（2）设11nnncnNab，记数列nc的前n项和为nS 求nS 求正整数k，使得对于nN，均有knSS解： （ 1）326322bbb6123122a a aa a38a23142aa或2q（舍）112nnnaaq1 21222nbnnaaa122221nn nbnbn n（2）11111112121nnnnncabn nnn21111111112222231nnSnn111221111111212nnnn 思路：实质是求nS取到最大值的项，考虑分析nS的单调性，从解析式上很难通过函数的单调性判断，从而考虑相邻项比较。
对于nS而言，nS的增减受nc符号的影响， 所以将问题转化为判断nc的符号1121nncn n可估计出当n取得值较大时，nc会由正项变为负项所以只要寻找到正负的分界点即可解：111112112nnnn ncn nn n当4n时，可验证1102nn n，从而可得0nc设112nnn nd，则11112112222nnnnnnnn nnndd当5n时，1nnnddd递减555 6102ndd5n时，0nc4maxnSS4k时，均有4nSS例 4：已知数列na的前n项和为1,1nS a且12211nnnSnSn n，数列nb满足：2120nnnbbb，35b，其前9项和为63（1）求,nnab（2）令nnnnnbacab，记nc的前n项和为nT，对nN，均有2,nTna b，求ba的最小值解： （ 1）111221112nnnnSSnSnSn nnnnSn为公差是12的等差数列1111122nSSnnn12nn nS2n时，11122nnnn nnnaSSn11a符合上式nan2121202nnnnnnbbbbbbnb为等差数列设nb前n项和为nP95963Pb57b35b53153bbd2nbn（ 2 ） 思 路 ： 依 题 意 可 得 ：2112222nnnnnbanncabnnnn， 可 求 出1123212nTnnn， 从而1123212nTnnn， 若ba最小，则,a b应最接近2nTn的最大最小值（或是临界值），所以问题转化成为求113212nn的范围，可分析其单调性。
113212fnnn单调递增所以最小值为413f，而当n时，3fn，所以fn无限接近3，故2nTn的取值范围为4,33中的离散点，从而求出ba的最小值解：222211122222nnnncnnnnnn1111122 13242nTnnn1111122 123221212nnnnnn1123212nTnnn设113212fnnn，可知fn递增413fnf，当n时，3fnfn4,334,3,3a b若ba最小，则4,33abmin53ba例5 （ 2014 ， 黄 州 区 校 级 模 拟 ） 数 列na的 前n项 和24nnS， 数 列nb满 足132,nnbbn nnN（1）求数列na的通项公式（2）求证：当114b时，数列nnba为等比数列（3）在（ 2）的条件下，设数列nb的前n项和为nT，若数列nT中只有3T最小，求1b的取值范围解： （ 1）22111212444nnnnnaSSnn1114aS符合上式1214nan（2）1214nnnbabn考虑1111332123044nnnnbbnbnbn即1130nnnnbaba1113nnnnbaba数列nnba为等比数列（3）思路：由（2）可求得nb通项公式1111121434nnbbn，但不知其单调性，但可以先考虑必要条件以缩小1b的取值范围。
若要3T最小，则最起码要比24,T T小，从而先求出1b满足的必要条件14711b（也许最后结果是其子集），在这个范围内可判定nb为递增数列，从而能保证3T最小由（ 2）可得：1214nbn是公比为13的等比数列1111121443nnbnb1111121434nnbbn若要3T最小，则必然要3232344300TTTTTTTT即3400bb23113141115011434471170434bbbbbb14711b则1111120243nnnbbb，所以nb为递增数列123140,0nnbbbbbb，符合3T最小的条件所以14711b小炼有话说：在求参数范围时如果不能一次准确列出参数所满足的条件，可先写出其必要条件适当缩小其取值范围，往往会给解题带来新的突破口例6： （ 2014 ， 文 登 市 二 模 ） 各 项 均 为 正 数 的 数 列na， 其 前n项 和 为nS， 满 足1121nnnnaanNaa，且562Sa（1）求数列na的通项公式（2）若nN，令2nnba，设数列nb的前n项和为nT，试比较1124nnTT与4641nn的大小解： （ 1）2211112120nnnnnnnnaaaa aaaa1120nnnnaaaa1nnaa（舍）或12nnaana是公比为2 的等比数列5155612122221aSaa，解得：12a1122nnnaa（2）思路：由（1）可得4nnb，进而可求出4413nnT，比较大小只需两式作差，再进行化简通分可得114 317 412464414141nnnnnTnTnn。
利用函数或构造数列判断出1317 4nn的符号即可解：24nnnba4 41441413nnnT11114411212483314444414413nnnnnnnTT46714141nnn114 317 41246373711441414141414141nnnnnnnTnTnnnn设1317 41xfxxx17 4ln43xfx，可得0fxfx为减函数130fxf1317 40nn11246441nnTnTn例 7：（2014， 湖南模拟） 已知各项都为正数的数列na的前n项和为nS，且对任意的nN，都有22nnnpSapa（其中0p，且p为常数），记数列1nS的前n项和为nH（1） 求数列na的通项公式及nH（2）当2p时，将数列1na的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来的顺序恰为等比数列nb的前3项，记nb的前m项和为mT，若存在mN，使得对任意nN，总有mnTH恒成立，求实数的取值范围解： （ 1）22nnnpSapa211122nnnpSapan可得：22112nnnnnpaaapapa22110nnnnaapapa110nnnnaaaap0na10nnaap即1nnaapna为公差是p的等差数列在22nnnpSapa令1n得：21112pSapa解得：1ap11naanpnp1122nn npSpn12121111nSpn npnn1211121111112231nnHSSSpnn212111npnp n（2）思路：本小问实质是在数列背景下的多元恒成立问题，先求,mnTH的表达式。
由已知可得：2p时，1nnHn，要解决nT，首先要解出等比数列nb的通项公式2p时，2nan， 进 而123411111111,2468aaaa显 然 抽 去 的 应 为31a， 所 以123111,248bbb，得到12q，112mmT，所以要处理的恒成立不等式为：1121mnn 再利用最值逐步消元即可解：2p时，2nan，进而123411111111,2468aaaa124111,aaa成公比为12的等比数列，即nb的公比为12，且11112ba12nnb11122111212mmmT而由（ 1） ，当2p时，1nnHn，所以恒成立的不等式为：1121mnn，所以min1112mnn设112mfm可得f m为递增函数min112fmf所以112nn对任意的nN均成立即max121nn设1112121ng nnng n为减函数max10g ng0小炼有话说：本题在处理恒成立问题时，两个阶段对变量量词的不同导致取最大还是最小值要明确区分第一阶段是存在m，也就是说只要有m满足不等式即可，所以只要最小值比右边小，就意味着已经存在这样的m； 第二阶段是对任意的n， 不等式均要成立， 所以只要g n最大值满足不等式，剩下的函数值也必然能满足不等式。
例 8：已知数列na的前n项和1122nnnSanN，。