数学思想方法与小学数学郑州师专 曹悦什么是数学思想、数学方法？ 数学思想 是对数学知识的本质认识， 是从某些具体的数学内容和对数学的认识过 程中提炼上升的数学观点，它在认识活动中 被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立 数学和用数学解决问题的指导思想数学方法 是指在数学地提出问题、 解 决问题过程中，所采用的各种方式、手段、 途径等学习与研究数学思想方法的意义n有利于深刻地认识数学教学内容n有利于提高学生的数学素养n有利于对学生进行美育渗透和辩证唯物 主义的启蒙教育n有利于教师以较高的观点分析和处理小 学教材第一节节 集合思想一、集合论的主要思想方法n 概括原则n 外延原则n 一一对应原则1、概括原则任意给出一个性质p,满足性质 p的所有对象,也仅 仅是这些对象 汇集在一起可以构成一个集合 这种造集的原则称为概括原则 2、外延原则任给两个集合 A 和 B，如果对 于任一个 a ∈ A 能推出 a ∈ B ， 反之，对于任一个 b ∈ B 能推出 b ∈ A ，则称集合A与B相等，记 为 A=B这就是 外延原则3、一一对应原则任给两个集合 A 和 B，如果存在 规则 f，根据 f ，对于每个 a ∈ A ， 都对应于唯一确定的 b ∈ B；反之， 对于每个 b ∈ B，根据 f，有唯一确 定的 a ∈ A 与之对应,则称集合 A 与 B 的元素之间在 f 之下建立了一一对应 关系。
二、集合思想在小学数学教材中的渗透n关于集合概念的渗透n关于空集和真子集意义的渗透n关于交集意义的渗透n关于并集意义的渗透1、关于集合概念的渗透把具有某种共同性质的一些对象 看作一个整体，就形成一个集合集合中的每一个对象都叫做集合 的元素集合的表示方法： 列举法、描述 法和韦恩图法2、关于空集和真子集意义的渗透不含任何元素的集合叫做空集 如果集合 A 的任何一个元素都 属于集合 B ，而集合 B 中至少有 一个元素不属于集合 A ，则称集合 A 是集合 B 的真子集 平行四边形长方形正方形3、关于交集意义的渗透由既属于集合 A又属于集合 B 的一切元素组成的集合，叫做 集合 A 与集合 B 的交集小学数学结合讲解公约数、 公倍数等概念，渗透了这种思想 81 2 4 3 6 128的约数 12的约数8和12的公约数4 8 16 20 ……12 24……6 18 30……4的倍数 6的倍数 4和6的公倍数4、关于并集意义的渗透由属于集合 A 或者属于集合 B 的一切元素组成的集合，叫做集合 A 与集合 B 的并集。
关于并集意义的渗透，在小学 数学中是结合自然数的分类和三角 形的分类进行的 质数 01合数自然数自然数奇数偶数三角形锐角三角形直角三角形钝角三角形三角形锐角三角形直角三角形钝角三角形第二节 对应思想一、对应和对应思想如果集合 A 中的一个元素按照某种方法在 集合 B 中总能找到一个或几个元素与之对应， 那么就构成由集合 A 到集合 B的对应初等数学中的对应思想主要体现在数形结 合思想、函数思想以及变换思想 1、数形结合思想数形结合思想是指通过数（数 量关系）和形（空间形式）之间 的对应关系来研究、解决问题的 思想 2、函数思想设在一个变化过程中有两个变 量 x与 y，如果对于 x 的每一个值 ，y 都有唯一的值与它对应，那么 就说 x 是自变量，y是 x 的函数函数思想的本质就是对应3、变换思想变换的基本思想是：在数学问题求解 过程中，当利用基本性质或公式不易直接 求解时，则需要经过适当的变换变换的目的是使不明显的数量关系变 得明显；不能应用公式的对象变得能应用 公式；不是基本图形变为基本图形等，直 至问题获得解决 二、对应思想在小学数学 教材中的渗透 1、数形结合思想的渗透⑴利用“数”与“形”的对应来理解数学概念 3 3 ⑵利用“数”与“形”的对应来分析解答应用题 2、函数思想的渗透 ⑴函数概念的渗透2 + = × 3 =345567⑵函数表示法的渗透表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种。
3、变换思想的渗透⑵式的变换⑶图形变换⑴数的变换例=（加法交换律 ） （减法运算性质 ）（减法运算性质 ）8厘米⑴ ⑵ ⑶ .OOO.例 求下图中阴影部分的面积第三节 符号化思想一、符号化思想及其作用 “符号化思想”主要指人们有意识地 、普遍地运用符号去表达研究的对象符号化思想对数学的发展起着重要的 推动作用系统地运用符号，可以简明地 表达思想，从而简化数学运算或推理，加 快数学思维的交流 二、符号化思想在小学数学中的渗透1、使用了一些数学符号2、逐步用字母表示数，渗透变元的思想⑴在填数中渗透变元思想15 > 5 +⑵在用字母表示数中渗透变元思想加法交换律： a+b=b+a长方形的面积=长×宽平行四边形的面积公式：S = ah第四节 极限思想一、极限思想的形成过程古希腊数学家阿基米德的“穷竭法” 魏晋时代数学家刘徽的“割圆术” 南北朝时期数学家祖冲之（ 3.1415926<Л<3.1415927）19世纪法国数学家柯西（1789—1857） 德国数学家维尔斯特拉斯（1815—1897）二、极限思想在小学数学中的渗透1、在认数时渗透“有限与无限” 2、在几何初步知识中渗透“无限”的思 想 3、掌握用极限思想处理问题的方法…比较大小： 0.9 与 1··“有限”与“无限”2、在几何初步知识中渗透“无限”的思想“直线”的概念初步认识“角和直角”“平行线”的概念⑴ ⑵ ⑶3、掌握用极限思想处理问题的方法圆面积公式的推导——在观察有限分割的基础上，想象无限分割第五节 数学模型方法 一、模型、数学模型与数学模型方法 模型 是一种通过对现实原形的形象化或模拟 化抽象出来的一种结构。
数学模型 是针对某种事物系统，采用形式化 的数学语言，概括地或近似地表达出来的用数学 概念和符号刻画的一种数学结构数学模型方法 是指针对要解决的问题来构造 相应的数学模型、再通过对数学模型的研究去解 决实际问题的一种数学方法用数学模型方法解题的一般步骤：⑴根据要解决的问题恰当的构造相应的数学模型 ⑵在建立的数学模型上进行推理或演算，求得解答 ⑶把所得的解答返回原问题，得到原问题的解答 要解决的问题问题 数学模型 原问题问题 的解决 数学模型的解构造推算返还二、数学模型方法在小学数学中的渗透 1、集合模型 将题中条件之间的关系看 成集合之间的关系，通过构造集合模型，再由集 合的并、交、补、差的运算求得问题的解 例 某班共有45名学生，其中有20人参加了数学比 赛，10人参加了作文比赛，只 有 1人既参加了数学比赛又参 加了作文比赛。
求 ⑴ 参加数 学比赛但没有参加作文比赛的 人数；⑵两种比赛都没有参加 的人数19 1 92、方程模型例 鸡兔共35只，它们的脚共100只 ，问鸡、兔各几只？ 分析:设鸡有 x 只，则鸡脚有 2x 只 ；兔有 35-x 只，兔脚有4×（35-x)只 根据 “它们的脚共100只”这一关系构建 方程模型： 2x+4×(35-x)=1003、几何模型例 骑自行车从甲地到乙地，6小时到达如果 每小时多行5千米，则可提前 2小时到达问甲、乙 两地之间的路程是多少千米？2ⅡⅠⅠVtOX+5x6数量关系：路程=速度×时间几何模型：用长方形的边长表 示时间和速度，用长方形的面 积表示它们的积，即路程4、公式模型工程问题的数学模型：工作总量=工作效率×工作时间总数=每份数×份数例 食堂原计划12天用煤54吨，改进烧煤的方法 后，每天节约用煤20％，照这样计算，这些煤可以烧 多少天？解 原计划每天用煤是54吨的 ，改进烧煤的方 法后，每天烧煤是54的 ×（1-20％），即 。
所以，改进烧煤方法后，这些煤可以烧15天第六节 小学中常用的解题思想方法分析、综合法、化归法、假设法、递推法 、列举筛选法、试验法、图表法、逆推法分析 就是将被研究对象的整体分解为若干 部分、方面、因素、或层次，或是从整体 中区分出个别特性、个别方面的思维方法 分析的基本类型：定性分析 定量分析 因果分析 系统分析一、分析法与综合法综合是在分析的基础上，将已有的关于研 究对象的各个部分、方面、因素和层次的认识 联结起来，形成一个整体性的思维方法分析法：由问题出发，从未知想需知，逐步 靠拢已知综合法：由已知想可知，逐步求出未知例 251千克苹果分装若干箱，其中每箱8千 克的装了7箱，其余的每箱装15千克问这些苹 果共奘了多少箱？每箱装的千克数箱数共装的千克数小箱 大箱8157合计 ？ 2517+（251 - 8X7）÷15=20（箱）二、化归法是指将有待解决的问题通过某种途 径进行转化，归结为已解决的或者易于 解决问题，最终使问题获得解决的一种 方法1、转化已知条件例 姐姐和妹妹共养兔子100只，姐姐养的 兔子数的 比妹妹养的兔子数的 多16只， 问姐姐、妹妹各养兔子多少只？（100 - 16x3）÷（1+ x3）=40（只）100 – 40=60（只） 2、转化问题例 求正整数1~100中不能被3整除 的所有数的和。
假设法是一种解题的思想方法，它根据 题目中的已知条件或问题作出某种假设，然 后再进行推算，根据数量上出现的矛盾适当 调整，以求出原问题的答案常用的假设法有条件假设、问题假设与 情境假设三、假设法1、条件假设例 某校五年级参加文艺演出的有46人，其中女生人数的 是男生人数的 ，问五年级参加文艺演出的男、女生各是多少人？女生人数：2、问题假设例 百货公司委托搬运站运500只玻璃瓶，双方商定 每只运费是0.24元，如打破一只，不但不给运费， 而且还要赔偿1.26元，结果，搬运站共得115.50元 ，问搬运中打破了几只玻璃瓶？3、情境假设例 一项工程，甲乙两队合做，10天可以完成， 如果甲队做4天，乙队做6天，则能完成这项工 程的 ，问甲队独做需几天完成？递推法的特点：先考察一道与原问题有 联系的简单问题，并加以解决然后以此为 基础，寻求规律，逐步得出原问题的解答运用递推法的关键在于找到递推基础和 递推关系四、递推法例 平面上的六条直线最多有几个交点 ？1+2+3+4+5=15五、列举筛选法例 小赵有一些画片:(1)比20张多；（2）比40张少 ；（3）如果按5张一组来数，剩4张；（4）如果按3 张 一组来数，剩1张。
问小赵有多少张画片？。