第九章方差分析第一节方差分析的基本原理及步骤一、方差分析的基本原理假设从一个实验中抽取了 9名被试的学习成绩，如表9-1所示随后又抽取了 9名被试 的学习成绩，如表9-2所示你能从这些数据发现什么问题吗？首先，从数据可知，不仅组与组之间存在不同，而且同一组内部也存在着不同前者称 组间变异，后者称组内变异其次，从组间变异看，表9-1组间变异大于表9-2表9-1 第1次抽取结果 表9-2 第2次抽取结果方法学生实验成绩又Xt方法学生实验成绩XXtA6576A1744B11910107B62865C5465C3655再次，从看组内变异看，表9-1比9-2差异小综上所述，表10-1组间变异较大而组内变异较小，表10-2组间变异较小而组内变异较 大，组间变异大小与组内变异大小并非正比关系这表明，若组间变异与组内变异的比率越 大，各组平均数的差异越大因此，通过组间变异和组内变异比率大小来推论几个相应平均 数差异显著性的思想就是方差分析的逻辑依据或基本原理所以说，方差分析是将实验中的 总变异分解为组间变异和组内变异，并通过组间变异和组内变异比率的比较来确定影响实验 结果因素的数学方法，其实质是以方差来表示变异的程度。
实验条件厂组间变异 1I随机误差总变异Yf个体差异”I 组内变异］ 卜随机误差实验误差图10-1总变异的分解图二、方差分析的基本过程（一）综合虚无假设与部分虚无假设方差分析主要处理多于两个的平均数之间的差异检验问题，需要检验的虚无假设就是 “任何一对平均数”之间是否有显著性差异综合虚无假设：样本所归属的所有总体的平均数都相等备择假设：至少有两个总体的平均数不相等（二）方差的可分解性总变异=组间变异+组内变异变异（Variance，用V表示）即方差（S2），又称均方差或均方（Mean Square, MS）, 其公式为Z - XSSS 2（或 V,或 MS）= =归n -1 df其中，分子为离均差平方和，简称平方和，记为SS；分母为自由度，记为#，所以总 变异及各变异源记为MS = MSb + MS总变异的数学意义是每一原始分数（X）与总平均数（X）的离差，记为xx t _组间变异的数学意义是每一组的平均数（Xi）与总平均数的离差，记为 i t组内变异的数学意义是每一组内部的原始分数与其组平均数（又i）的离差，记为i（二）总变异的分解及各部分的计算1.平方和的分解与计算根据变异的可加性，/任何一个原始分数都有 i1）平方和的定义式对容量为n+ 'X t言:？)+(X - X)]为了使平方和不为0，须做代数的'处理，即有_,£(x - X)= £hi - x)+(x - X」】对k组页言，贝I有££ (x - X > = ££ ^(X - X)+(x - X』=££ (x - X)+ 2££ (x - x)X - x)+ ££ (x - x)/ \ i t i t i i..££X -x)X-x 史0.££(X - x)=££ G - x)+££ (x - x)或2)t i t总平方和=组间平方和+组内平方和SS = SS + SS平方和的计算式 W但X）SSt总平方和：X 2 W ( _\ VV 但£ X)=乙乙VX - X力=乙乙X 2 - £— n ^T~= ZZ（X -X）ss = ZZ（X —X > = SS — SSi w I t bss =EE（X 一 又）=£但 X）一空 X ）b组间平方和：组内平方和：SSw例9-1：要探讨噪音对解决数学问题的影响。
噪音是自变量，划分为三个强度水平：强、 中、无因变量是解决数学问题时产生的错误频数随机抽取12名被试，分到三个组中每组被试在接受数学测验时戴上耳机强噪音组的被试通过耳机接受100分贝的噪音，中度 噪音组接受50分贝的噪音，无噪音组则没有任何噪音数学测验完毕后，计算每位被试的 错误频数如表9-3所示噪音强度表9-3 不同学习方法的方差分析计算表错误频数（X ） '总平方和:SS =SE X 2 ^-^X802=715 = 282.6712组间平方和:522 + 62 + 8 802SS = 一 上-空_ = 25&67 b 4 12SS = SS - SSb = 282.67 — 258.67 = 24组内平方和：2. 自由度的分解总自由度为总容量减去1本例有12个数据，所以df = 12 -1 = 11组间自由度为组数（k）减1，本例有3个组，所以df = 3 — 1 = 2组内自由度为总容量减组数或用总自由度减去组间自由度，即有df = 11 — 2 = 93. 变异的分解变异同样分解为总变异、组间变异和组内变异X — Xt（或V,或MS ）= t t 乙 n 一 1£ （x — x）（或V ,或MS）= —w w 乙 n — k_ SS=~dftSS本例各变异为MS =曳=^5867 = 129.34b叽 2MSwSS 24 ° 〃 —=2.67 91614121052696455620102122381780715三、变异率与F分布 （一）变异率 根据方差分析的原理，比较组间变异和组内变异，其比值称变异率。
寿巳南rm组间变异变异率（F） =组内变异F检验是就F值中分子大于分母的一种检验方法，属于单尾检验方式因此只要计算出的F值小于1，无需再查表，可直接做出差异不显著的结论MS 129 34.F = b = = 48.44MS 2.67F值需查F临界值表根据组间自由度（即分子自由度）和组内自由度（即分母自由度）及选定的显著性水平确定，记为F （妈，df w）a或侦分子，df分母E因为在实际研究中，研究者对许多研究的方向并不确定，因此常采用双尾检验的方法若采用双侧检验则需查附表5,记为F g，dfw S本例，F）O1G9）= 8.02因为 F = 48.44 >8.02, PV0.01 差异极显著方差分析后，，需将分析步骤和结果列一方差分析表表9-4 三种学习方法的方差分析表平方和自由度均方F值变异来源SSdfMSP组间300215080.210.01组内28151.87总的32817三、方差分析的基本假设 （一）总体正态分布 （二）变异的相互独立性 （三）各实验处理内方差要一致 四、方差分析中的方差齐性检验方差齐性检验就是检验各总体方差是否一致的统计方法其虚无假设是假设各个总体的 方差相等（即无显著差异）或是各个样本方差来自相同的总体，其表达方式记为Ho b 2 = b 2 = b 2 = =b 2二、方差齐性检验的方法一一哈特莱（Hartley ）检验法。
哈特莱检验法借助于F最大值来检验S •）F = ―（.-1）maxmaxdf = n -1max对例9-1的数据进行方差齐性检验的过程与方法如下1.建立假设Ho： ^ 1 =气=气，即三个总体的个体差异无显著差异Ha :至少有两个总体的方差存在显著差异2.1)计算统计量求各样本的力差:、S 2 =S X 2 -\L102-202/4 =0.66n 一 1 696 - 522/4 uS 2 == 5A 4 -118 - 82/4S 2 = = 0.66C 4 -12)求F最大值F = — = 7.53.比较与决策当组数k = 3，自由度df = 4 -1 = 3时，F0.66max(0.05)= 15-5 Fmax(0.05)，" X"5, 差异不显著，接受虚无假设，拒绝研究假设，说明三个总体的方差一致第二节完全随机设计的方差分析一、 完全随机设计完全随机设计(Complete randomized design):把被试随机分成若干组，每个组分别接受一种实 验处理完全随机分组后，各实验组的被试之间是相互独立的，因而这种设计又称“独立组设计” 或被试间设计该设计的不足之处：误差项既包括实验本身的误差又包括个体差异引起的误差，因而它的检 验效率往往不高。
二、 完全随机设计的方差分析(一)样本容量相等的方差分析各个样本容量相等时意味着对于每一种实验处理它们的被重复次数相同，如例9-1，每一种 学习方法均重复了 4次例：9-1解：原始数据与计算的中间结果如下表：积极反馈组消极反馈组控制组XX 2XX 2XX 286452524749636416981749525101004163963639636£403302513520901600625400(EX )2解：设虚无假设和备择假设分别如下:H : 口 = 口 =口 （P、N、C分别表示积极反馈组、消极反馈组和控制反馈组）1 PNC££X 2 = 330 +135 + 90 = 555ZZ X = 40 + 25 + 20 = 85(日)2 852——=481.67 15NYZ X 2 1600 + 625 + 400J = = 525.00n①计算平方和SS =ZZ X 2 - " =555 — 481.67(X )(派 X )SS =Z@-^2 = 525.00 - 481.67 = 43.33y( nX)SS =ZZ X 2-乙 £ =555 - 525.00 = 30w n或者 SS = SS - SS =73.33 - 43.33 - 30②计算自由度df = N -1 = 15 -1df = k -1 = 3 -1 = 2df = k (n -1) = 3 x (5 -1) = 12 w③计算均方SS 43.33=21.67SS 些=2.5012④ 计算F比值，进行F检验，做出决断MS 21 67—67 = 8.672.50F = MS =查F表，F = 3.88，算得的F值大于临界值，p<0.05，可以拒绝虚无假设，下结论0.05(2,12)认为在反馈类型与自尊之间存在着某种关系。
⑤列出方差分析表总结上面的计算结果，列出下面的方差分析表变异来源平方和自由度均方FP组间效应43.332。