2010 秋季 初一 用我们全部的爱换取孩子的一点点改变！学习热线： 26400350 1百分数与配比问题百分数与配比问题百分数是分母为 100 的分数，表示某些数量关系非常方便.特别是处理一些有比例关系的问题，在衡量、比较时有很多优点.不仅在数学、物理、化学等自然科学方面，而且在工程技术、社会科学方面都有着非常广泛的应用. 小学高年级的同学都知道百分数，但不一定能算得很好，用得很活.因此我们专门编写一讲，通过许多例题和习题，帮助同学们学习百分数.第一节讲的是“卖买”，实质上是讲（1+ 百分数）与（1-百分数）的一些计算.第二节介绍各种各样常见的百分数.第三节讲的是对小学同学说来较为困难的配比问题.不论哪一节，从计算技巧来说，都是训练分数、比例的计算本领.一、商品的出售一、商品的出售商店出售商品，总是期望获得利润.例如某商品买入价（成本）是 50 元，以 70 元卖出，就获得利润 70-50＝20（元）.通常，利润也可以用百分数来说，20÷50＝0.4＝40％，我们也可以说获得 40％的利润.因此利润的百分数利润的百分数=（卖价（卖价-成本）成本）÷成本成本×100％％.卖价卖价=成本成本×（（1+利润的百分数）利润的百分数）.成本成本=卖价卖价÷（（1+利润的百分数）利润的百分数）.商品的定价按照期望的利润来确定.定价定价=成本成本×（（1+期望利润的百分数）期望利润的百分数）.2010 秋季 初一 用我们全部的爱换取孩子的一点点改变！学习热线： 26400350 2定价高了，商品可能卖不掉，只能降低利润（甚至亏本），减价出售.减价有时也按定价的百分数来算，这就是打折扣.减价 25％，就是按定价的（1-25％）＝ 75％出售，通常就称为 75 折.因此卖价=定价×折扣的百分数.例例 1 某商品按定价的 80％（八折或 80 折）出售，仍能获得 20％的利润，定价时期望的利润百分数是多少？解：解：设定价是“1”，卖价是定价的 80％，就是 0.8.因为获得 20％定价的期望利润的百分数是答：期望利润的百分数是 50％.例例 2 某商店进了一批笔记本，按 30％的利润定价.当售出这批笔记本的 80％后，为了尽早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售.问销完后商店实际获得的利润百分数是多少？解：解：设这批笔记本的成本是“1”.因此定价是 1×（1+ 30％）＝1.3.其中80％的卖价是 1.3×80％，2010 秋季 初一 用我们全部的爱换取孩子的一点点改变！学习热线： 26400350 320％的卖价是 1.3÷2×20％.因此全部卖价是1.3×80％ ＋1.3 ÷ 2×20％＝ 1.17.实际获得利润的百分数是1.17－1＝ 0.17＝17％.答：这批笔记本商店实际获得利润是 17％.例例 3 有一种商品，甲店进货价（成本）比乙店进货价便宜 10％.甲店按 20％的利润来定价，乙店按 15％的利润来定价，甲店的定价比乙店的定价便宜 11.2 元.问甲店的进货价是多少元？解：解：设乙店的进货价是“1”，甲店的进货价就是 0.9.乙店的定价是 1×（1＋ 15％），甲店的定价就是 0.9×（1＋20％）.因此乙店的进货价是11.2÷（1.15- 0.9×1.2）=160（元）.甲店的进货价是160× 0.9= 144（元）.答：甲店的进货价是 144 元.设乙店进货价是 1，比设甲店进货价是 1，计算要方便些.2010 秋季 初一 用我们全部的爱换取孩子的一点点改变！学习热线： 26400350 4例例 4 开明出版社出版的某种书，今年每册书的成本比去年增加 10％，但是仍保持原售价，因此每本利润下降了 40％，那么今年这种书的成本在售价中所占的百分数是多少？解：解：设去年的利润是“1”.利润下降了 40％，转变成去年成本的 10％，因此去年成本是 40％÷10％＝ 4.在售价中，去年成本占因此今年占 80％×（1+10％）＝ 88％.答：今年书的成本在售价中占 88％.因为是利润的变化，所以设去年利润是 1，便于衡量，使计算较简捷.例例 5 一批商品，按期望获得 50％的利润来定价.结果只销掉 70％的商品.为尽早销掉剩下的商品，商店决定按定价打折扣销售.这样所获得的全部利润，是原来的期望利润的 82％，问：打了多少折扣？解：解：设商品的成本是“1”.原来希望获得利润 0.5.现在出售 70％商品已获得利润0.5×70％＝ 0.35.剩下的 30％商品将要获得利润2010 秋季 初一 用我们全部的爱换取孩子的一点点改变！学习热线： 26400350 50.5×82％-0.35＝0.06.因此这剩下 30％商品的售价是1×30％＋ 0.06＝ 0.36.原来定价是 1×30％×（1+50％）＝0.45.因此所打的折扣百分数是0.36÷0.45＝80％.答：剩下商品打 8 折出售.从例 1 至例 5，解题开始都设“1”，这是基本技巧.设什么是“1”，很有讲究.希望读者从中能有所体会.例例 6 某商品按定价出售，每个可以获得 45 元钱的利润.现在按定价打 85 折出售 8 个，所能获得的利润，与按定价每个减价 35 元出售 12 个所能获得的利润一样.问这一商品每个定价是多少元？解：解：按定价每个可以获得利润 45 元，现每个减价 35 元出售 12 个，共可获得利润（45-35）×12＝120（元）.出售 8 个也能获得同样利润，每个要获得利润120÷8＝15（元）.不打折扣每个可以获得利润 45 元，打 85 折每个可以获得利润 15 元，因此每个商品的定价是2010 秋季 初一 用我们全部的爱换取孩子的一点点改变！学习热线： 26400350 6（45-15）÷（1-85％）＝200（元）.答：每个商品的定价是 200 元.例例 7 张先生向商店订购某一商品，共订购 60 件，每件定价 100 元.张先生对商店经理说：“如果你肯减价，每件商品每减价 1 元，我就多订购 3 件.”商店经理算了一下，如果差价 4％，由于张先生多订购，仍可获得原来一样多的总利润.问这种商品的成本是多少？解：解：减价 4％，按照定价来说，每件商品售价下降了 100×4％＝4（元）.因此张先生要多订购 4×3＝12（件）.由于 60 件每件减价 4 元，就少获得利润4×60＝ 240（元）.这要由多订购的 12 件所获得的利润来弥补，因此多订购的 12 件，每件要获得利润240÷12＝20（元）.这种商品每件成本是100-4-20＝76 （元）.答：这种商品每件成本 76 元.二、各种各样的问题二、各种各样的问题百分数有着十分广泛的应用.这一节我们列举出有关百分数的各种各样的问题.2010 秋季 初一 用我们全部的爱换取孩子的一点点改变！学习热线： 26400350 7例例 8 小明训练 3000 米赛跑，如果速度提高 5％，那么时间缩短百分之几？（百分数保留一位小数.）解：解：设原来的速度是“1”.时间缩短的百分数是也就是答：时间缩短了 4.8％.从后一算式可以看出，无论是多少米赛跑，速度提高 5％，时间就缩短了 4.8％.换一句话说，考虑这一问题，与距离无关.例例 9 采了 10 千克蘑菇，它们的含水量为 99％，稍经晾晒后，含水量下降到 98％.晾晒后的蘑菇重多少千克？解：解：晾晒前后蘑菇里的干物质（除了水分以外的其他成分）的重量是不变的.干物质的重量是10×（1- 99％）= 0.1（千克）.晾晒后，干物质将占总重量的（1-98％）.此时蘑菇重0.1÷（1-98％）＝5（千克）.2010 秋季 初一 用我们全部的爱换取孩子的一点点改变！学习热线： 26400350 8答：晾晒后蘑菇重 5 千克.这一例题的答案是否使你感到意外？下一例题可以说是例 9 的补充.例例 10 有盐水若干升，加入一定量水后，盐水浓度降到 3％，又加入同样多的水后，盐水浓度又降到 2％，再加入同样多的水，此时盐水浓度是多少呢？又问未加水时盐水浓度是多少？解：解：关键是先算出每次加多少水.浓度为 3％，也就是盐 3 份，水 97 份，共 100 份.浓度下降为 2％，原来 3 份，就成为 2％，加水后总共是3÷2％=150（份）.因此加入的水是 150-100＝50（份）.第三次加水后，浓度是未加入水时的浓度是答：三次加水后浓度是 1.5％，未加水时浓度是 6％.2010 秋季 初一 用我们全部的爱换取孩子的一点点改变！学习热线： 26400350 9例例 11 把一个正方形的一边减少 20％，另一边增加 2 米，得到一个长方形.它与原来的正方形面积相等.问正方形的面积是多少？解：解：设正方形的边长是“1”.因为长方形与原来的正方形面积相等，一边减少了 20％，另一边将增加所以正方形的边长是2÷25％＝8（米）.正方形的面积是8×8＝ 64（平方米）.答：正方形面积是 64 平方米.例例 12 有一堆糖果，其中奶糖占 45％，再放入 16 块水果糖后，奶糖就只占 25％.问这堆糖中奶糖有多少块？解：解：奶糖占 25％，其他糖果就是奶糖的（100-25％）÷25％＝3（倍）.原来其他糖果只有1-45％＝55％.放入 16 块水果糖后是2010 秋季 初一 用我们全部的爱换取孩子的一点点改变！学习热线： 26400350 1045％×3＝135％.因此奶糖的块数是16÷（135％- 55％）× 45％＝ 9（块）.答：这堆糖中，奶糖有 9 块.例例 13 有两包糖果，第一包的粒数与第二包粒数之比是 2∶5.在第一包中奶糖占 30％，在第二包中其他糖占 42％，如果把两包糖合在一起，奶糖所占的百分数是多少？解：解：设第一包为 2 份，第二包为 5 份.第一包中奶糖是 2×30％＝0.6（份）.第二包中奶糖是 5×（1-42％）＝ 2.9（份）.合起来后，奶糖占（0.6＋2.9）÷（2＋ 5）＝ 50％.答：合在一起，奶糖占 50％.这是一个典型问题，与第五讲第二节中求平均数，做法是一致的.例例 14 早上水缸注满了水，白天用去了其中的 20％，傍晚又用去 27升，晚上用去剩下水的 10％，最后剩下的水是半水缸多 1 升.问早上注入多少升水？解：解：白天和傍晚用去水后剩下2010 秋季 初一 用我们全部的爱换取孩子的一点点改变！学习热线： 26400350 111-20％＝80％少 27（升）晚上用去水是80％×10％＝8％少 27×10％＝ 2.7（升）.白天、傍晚、晚上总共用去水20％＋8％再加（27-2.7）升，它应该是 50％少 1 升.因此 50％-（20％＋8％）是（27- 2.7）＋ 1 升.早上水缸的水是（27-2.7＋1）÷（50％- 20％- 8％）＝ 115（升）.答：早上注入水缸中的水是 115 升.三、浓度和配比三、浓度和配比一碗糖水中有多少糖，这就要用百分比浓度来衡量.放多少水和放多少糖能配成某一浓度的糖水，这就是配比问题.在考虑浓度和配比时，百分数的计算扮演了重要的角色，并产生形形色色的计算问题，这是小学数学应用题中的一个重要内容.从一些基本问题开始讨论.例例 15 基本问题一基本问题一2010 秋季 初一 用我们全部的爱换取孩子的一点点改变！学习热线： 26400350 12（1）浓度为 10％，重量为 80 克的糖水中，加入多少克水就能得到浓度为 8％的糖水？（2）浓度为 20％的糖水 40 克，要把它变成浓度为 40％的糖水，需加多少克糖？解：解：（1）浓度 10％，含糖 80×10％＝ 8（克），有水 80-8＝72（克）.如果要变成浓度为 8％，含糖 8 克，糖和水的总重量是 8÷8％＝100（克），其中有水100-8＝92（克）.还要加入水 92- 72＝ 20（克）.（2）浓度为 20％，含糖 40×20％＝8（克），有水 40- 8＝ 32（克）.如果要变成浓度为 40％，32 克水中，要加糖 x 克，就有x∶32＝40％∶（1-40％），2010 秋季 初一 用我们全部的爱换取孩子的一点点改。