李贤平 《概率论与数理统计 第四章》答案

《概率论》计算与证明题 0第 4 章 数字特征与特征函数2 2、袋中有 k 号的球 k 只，，从中摸出一球，求所得号码的数学期望nk,, 2 , 1L3 3、、随机变量取非负整数值的概率为，已知，试决定 A 与 B0n!/nABpn naE7 7、袋中有 n 张卡片，记号码 1,2,…,n,从中有放回地抽出 k 张卡片来，求所得号码之和的数学期望及方差9 9、、试证：若取非负整数值的随机变量的数学期望存在，则1}{kkPE1111、若随机变量服从拉普拉斯分布，其密度函数为 试求,,21)(||  xexpx 0，ED13、若相互独立，均服从，试证21,),(2aN aE),max(2117、、甲袋中有只白球只黑球，乙袋中装有只白球只黑球，现从甲袋中摸出只球ab()c cab放入乙袋中，求从乙袋中再摸一球而为白球的概率20、现有 n 个袋子，各装有只白球只黑球，先从第一个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入ab第二个袋子中，再从第二个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第三个袋子中，照这样办法依次摸下去，最后从第 n 个袋子中摸出一球并记下颜色，若在这 n 次摸球中所摸得的白球总数为，求。

nSnS21、、在物理实验中，为测量某物体的重量，通常要重复测量多次，最后再把测量记录的平均值作为该体质重量，试说明这样做的道理24、、若的密度函数是偶函数，且，试证与不相关，但它们不相互独立2E 25、、若的密度函数为，试证：与不相关，但它们不独立 22221,1( , ) 0,1xyp x y xy 27、、若与都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立26、、若，试证的相关系数等于的相关系数UaXb VcYd,U V,X Y28、、若是三个随机变量，试讨论（1）两两不相关；123,,  123,,  （2）；（3）之间的关系123123()DDDD1 23123EEEE 《概率论》计算与证明题 129、、若服从二元正态分布，证明：与的相关系数, ,1,,1Ea DEb D，其中cosrq{()()0}qPab30、、设服从二元正态分布，，试证：( , ) 0,1,EEDDrr1)max( , )rE 31、、设与独立，具有相同分布，试求与的相关系数。

2( ,)N apquv34、若服从，试求2( ,)N a||kEa39、、若及分别记二进制信道的输入及输出，已知 {1},{0}1,Pp Pp ，，试{11}Pq{01}1,{10},Pq Pr {00}1Pr 求输出中含有输入的信息量40、、在 12 只金属球中混有一只假球，并且不知道它比真球轻还是重，用没有砝码的天平来称这些球，试问至少需要称多少次才能查出这个假球，并确定它比真球轻或重41、、试用母函数法求巴斯卡分布的数学期望及方差43、、在贝努里试验中，若试验次数是随机变量，试证成功的次数与失败的次数这两个变量独立的充v要条件，是服从普阿松分布v44、、设是一串独立的整值随机变量序列，具有相同概率分布，考虑和，其中{ }k12vL是随机变量，它与相互独立，试用（1）母函数法， （2）直接计算证明v{ }k2,()kkkEEv EDEv DDvE47、、若分布函数成立，则称它是对称的试证分布函数对称的充要条件，是它( )1(0)F xFx  的特征函数是实的偶函数。

48、、试求均匀分布的特征函数[0,1]49、、一般柯西分布的密度函数为证它的特征函数为221( ),0()p xx ，利用这个结果证明柯西分布的再生性exp{| |}i tt50、、若随机变量服从柯西分布，，而，试证关于特征函数成立着0,1，但是与并不独立 )( )( )ftftft 《概率论》计算与证明题 253、、求证：对于任何实值特征函数，以下两个不等式成立：( )f t21(2 )4(1( )), 1(2 )2( ( ))ftf tftf t54、、求证：如果是相应于分布函数的特征函数，则对于任何值恒成立：( )f t( )F xx1lim( )(0)(0)2TitxTTf x edtF xF xT55、、随机变量的特征函数为，且它的阶矩存在，令，称( )f tn01log( ),kkkk tdXf tknidt为随机变量的 k 阶半不变量，试证（是常数）的阶半不变量等于kXbb(1)k k kX56、、试求出半不变量与原点矩之间的关系式58、、设相互独立，具有相同分布试求的分布，并写出它的数学期望及12,,,n L2( ,)N a1n   M协方差阵，再求的分布密度。

11ni in59、、若服从二元正态分布，其中，试找出矩阵，使，且要求服从(0, )N4221 AA非退化的正态分布，并求的密度函数60、、证明：在正交变换下，多元正态分布的独立、同方差性不变第四章第四章 解答解答.《概率论》计算与证明题 32、解、解：设表取一球的号码数袋中球的总数为，所以) 1(2121nnnL.nknnknnkkP,, , 2, 1,) 1(2) 1(21}{L . nknnnn nnknnkE1) 12(31 6) 12)(1( ) 1(2 ) 1(23、解：、解：由于是分布，所以应有，即又由已知001!}{nnnnBAnPBBeAAe , 1，即，, anABnEnn!0anBABnn 01)!1(aABeB, aB aBeeA7、解、解：设表示抽出 k 张卡片的号码和，表示第 i 次抽到卡片的号码，则，ikL21因为是放回抽取，所以诸独立由此得，对iki,, 2 , 1L《概率论》计算与证明题 4， njnjinnn njnnjE1121 2) 1(111；) 1(2121nkEEEEkL，) 12)(1(61 6) 12)(1(11122nnnnn nnjEnji，) 1(121) 1(41) 12)(1(612222nnnnEEDiii。

) 1(1212 21nkDDDDnL8.9、证、证： 11}{}{kkjkjPkPLLL}3{3{}2{}3{}2{}1{PPPPP1}{kEkkP10.《概率论》计算与证明题 5.11、解、解：))((21|| xtdxxeEx 中.dtett| | 2dtedtettt| || | 22 0 ))(()(21||2 xtexDx 中 02022222)(dtteetdtetttt.20202022)(22)(2tttedtteet13、证、证：的联合密度为，21 22222)( 2)(exp),(ayaxyxp∴ dxdyyxpyxE),(),max(),max(21《概率论》计算与证明题 6 xxdyyxypdxdyyxxpdx),(),(（利用密度函数的积分值为 1，减 a 再加 a）  xxadyyxpaydxdyyxpaxdx),()(),()(（在前一积分中交换积分次序，在后一积分中交换 x 与 y 的记号）  yyadxyxpaydydxyxpaxdy),()(),()( yaxay dxeaxdyea22222)(2)(2)(212 ))((tay 中.dteat21aa17、、解：令 B 表“从乙袋摸一球为白球” ，表从甲袋所摸个球中白球数，则取值，服从0,1,,cL超几何分布，且，考虑到若，则当时；若，则当()caEabca1,,iac L{}0Picb时；而在条件概率定义中要求 由此得icb{}0Pi(){}0iP APi! ( , )max(0,)( ){} {|}m n a cic bP BPi P Bi 0{}iiPic001{}{}iiiPii Picc.E cc 1ac cab20、解：、解：令，则 中中中中中中中中中中中中中中中中中中 iii, 0, 1，1{1}()aPab。

21{1}11aabaPabababab2()(1)aabaa ab abab由此类推得， 又，1{1}()aPab1,2,,inL12nnSL1nn inaESEab21、解、解：以表第 i 次测量值，由于受测量过程中许多随机因素的影响，测量值和物体真实重量ii《概率论》计算与证明题 7之间有偏差，是独立同分布的随机变量，并有测量记录的平均值记为，则ai2,iiEa D11()nnL， 11ni inaEEann2222 11ni inDDnnn平均值的均值仍为，但方差只有方差的，而方差是描述随机变量对于其数学期望的离散程度，ai1 n所以以作为物体的重量，则更近于真值24、证：、证：设是的密度函数，则由是奇函数可得，从而( )f x()( )fxf x( )xf x0E又由于是奇函数，得|| 0E E||( )x x f x||||( )0||Ex x f x dxE E 故与不相关由于的密度函数是偶函数，故可选使，亦有，0c 0{||}1Pc{}1Pc{} {||}{||}{,||}Pc PcPcPcc其中等式成立是由于。

由此得与不独立{||}{}cc||25、证：、证：，同理2211111( , )0xxExp x y dxdyxdxdy 0E2211111cov( , )0xxEE Exdxydy  即与不相关但与不独立，事实上可求得，，221,|| 1( ) 0,|| 1xxpxx x 221,|| 1( ) 0,|| 1yyypx y 而当且时， 1x || 1y ( , )( )( )p x ypx py26、证：、证：，，2,EUaEXb DUa DX2,EVcEYd D。