第5章 导数与微分§ 5.1 导数 § 5.2 求导法则与导数公式 § 5.3 隐函数与参数方程求导 § 5.4 微分 § 5.5 高阶导数与高阶微分学习导读学习导读数学分析课程第5章 导数与微分导数与微分是微分学的两个重要概念 数学分析主要任务就是研究函数的各种性态 以及函数值的计算或近似计算，导数与微分 是解决这些问题的普遍的有效的工具本章 将从两个实际问题抽象出导数概念，进而讨 论求导法则和公式在此基础上再给出微分 概念返回首页返回首页数学分析课程数学分析讲义§ 5.1 导数n本节课的目的要求: 1. 掌握导数的定义，2. 弄清可导与连续的关系,本节课的主要内容:1. 两个实例，2. 抽象归纳导数的定义,3. 左、右导数、导函数的定义, 4. 导数的几何与物理意义,5. 可导与连续的关系，6. 导数的计算.3. 学会从特殊到一般具体到抽象的哲学数学思想.数学分析讲义§ 5.1 导数n一. 两个实例 （1）变速直线运动的速度问题取极限得瞬时速度数学分析讲义§ 5.1 导数(2) 切线问题切线：割线的极限播放MNT割线MN 当N沿曲线 趋于M,割线 MN绕点M 旋转而趋向 极限位置 MT,直线MT 就称为曲线 C在点M处 的切线.数学分析讲义(2) 切线问题 切线：割线的极限NTM数学分析讲义(2)切线问题 切线：割线的极限MTN数学分析讲义(2) 切线问题MTNNMT数学分析讲义(2).切线问题 切线：割线的极限MT N数学分析讲义(2) 切线问题切线：割线的极限MTN数学分析讲义2.切线问题切线：割线的极限MTN数学分析讲义(2) 切线问题 切线：割线的极限MTN数学分析讲义(2) 切线问题 切线：割线的极限MTN数学分析讲义(2).切线问题切线：割线的极限MTN数学分析讲义(2) 切线问题 切线：割线的极限MTN数学分析讲义§ 5.1 导数(2) 切线问题数学分析讲义瞬时速度§ 5.1 导数数学分析讲义§ 5.1 导数n二、 导数概念设函数 定义在 的邻域， 自变量在 的改变量是 ，相应有函数的 • 1 导数的定义MNT）P 改变量 若极限则称 函数 在 可导（或存在导数）， 此极限值称为函数 在 的导数。
数（或微商），表为 即否则称函数 在 的不导数 注：数学分析讲义§ 5.1 导数左导数右导数２ 左、右导数的定义３ 左、右导数与导数的关系 数学分析讲义导数的概念n4 导数的物理意义与几何意义n 导数的物理意义是变量的变化“快慢”问题 在数学上就 是所谓函数的变化率问题 导数概念就是函数变化率这一 概念的精确描述 n 导数的几何意义是切线斜率.n 由直线的点斜式方程 可知曲线y=f(x)在点M 处的 切线方程为：法线方程为：MNT）P 数学分析讲义§ 5.1 导数5 可导与连续的关系证明：数学分析讲义§ 5.1 导数6 6 导函数定义导函数定义数学分析讲义§ 5.1 导数n三、. 导数的计算计算导数的步骤计算导数的步骤 步骤:数学分析讲义§ 5.1 导数n解所以数学分析讲义§ 5.1 导数解所以所以数学分析讲义§ 5.1 导数例3解数学分析讲义§ 5.1 导数例4解数学分析讲义本课小结n内容与要求n1. 掌握导数的定义n2. 弄清左右导数与导数的关系,导函数的定义n3. 明确可导与连续的关系n4. 会利用导数的几何意义与物理意义解题n5 会用导数的定义计算数学分析讲义§ 5.2 求导法则与导数公式n导数的四则运算定理1数学分析讲义§ 5.2 求导法则与导数公式证(1)(2)略.数学分析讲义§ 5.2 求导法则与导数公式法则1：例1解数学分析讲义§ 5.2 求导法则与导数公式法则2：注意:定理2数学分析讲义§ 5.2 求导法则与导数公式例2解定理3数学分析讲义§ 5.2 求导法则与导数公式证数学分析讲义§ 5.2 求导法则与导数公式注意:数学分析讲义§ 5.2 求导法则与导数公式例3解同理可得数学分析讲义§ 5.2 求导法则与导数公式例4解同理可得例5分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求.数学分析讲义§ 5.2 求导法则与导数公式解数学分析讲义§ 5.2 求导法则与导数公式n反函数求导法则 定理4数学分析讲义§ 5.2 求导法则与导数公式数学分析讲义§ 5.2 求导法则与导数公式例6解同理可得数学分析讲义§ 5.2 求导法则与导数公式例7解同理可得数学分析讲义§ 5.2 求导法则与导数公式例8解特别地数学分析讲义§ 5.2 求导法则与导数公式n复合函数求导法则 定理5数学分析讲义§ 5.2 求导法则与导数公式数学分析讲义§ 5.2 求导法则与导数公式数学分析讲义§ 5.2 求导法则与导数公式例9解注：熟练以后，可以不写出中间变量，此例可以 这样写：数学分析讲义§ 5.2 求导法则与导数公式例10练习：解数学分析讲义§ 5.2 求导法则与导数公式例11 求 的导数。
解： 设 由 得数学分析讲义§ 5.2 求导法则与导数公式熟悉了复合函数的求导法则后，中间变量默记在心 ，由外及里、逐层求导 例12 求 的导数解 ： y'= [(3x+2)5] ]' '=5(3x+2)4(3x+2)' =5(3x+2)4(3+0)=15(3x+2)4例13 求 的导数解： y'=[(cosx)2]'=2cosx (cosx) ' =2cosx (-sinx)数学分析讲义§ 5.2 求导法则与导数公式例14 求 的导数 解：解：y'={[sin(x3)]2}'=2sin(x3) [sin(x3)]' =2sin(x3) cos(x3) (x3)' =2sin(x3) cos(x3) 3x2 =6x2sin(x3) cos(x3) 例15 求 的导数解：解：y'={ln[sin(4x)]}'= [sin(4x)] '= cos(4x)(4x) '= cos(4x)数学分析讲义§ 5.2 求导法则与导数公式例16 求 的导数解： 数学分析讲义§ 5.2 求导法则与导数公式n初等函数导数常数和基本初等函数的导数公式数学分析讲义§ 5.2 求导法则与导数公式函数的和、差、积、商的求导法则设)(),(xvvxuu==可导，则（1） vuvu¢¢=¢ )(, （2）uccu¢=¢)(（3）vuvuuv¢+¢=¢)(, （4）)0()(2¹¢-¢=¢vvvuvu vu.( 是常数)数学分析讲义§ 5.2 求导法则与导数公式复合函数的求导法则利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解 决.数学分析讲义§5.3隐函数与参数方程求导法则 n隐函数求导法则 定义 数学分析讲义§5.3隐函数与参数方程求导法则 数学分析讲义§5.3隐函数与参数方程求导法则 数学分析讲义§5.3隐函数与参数方程求导法则 数学分析讲义§5.3隐函数与参数方程求导法则数学分析讲义§5.3隐函数与参数方程求导法则 n参数方程求导法则 数学分析讲义§5.3隐函数与参数方程求导法则 数学分析讲义§5.3隐函数与参数方程求导法则数学分析讲义§5.4 微分 n微分概念1 1、定义：、定义： 数学分析讲义§5.4 微分MNT）2、几何意义(如图)P 数学分析讲义§5.4 微分定理1：数学分析讲义§5.4 微分数学分析讲义§5.4 微分n微分的运算法则和公式先计算函数的导数, 再 乘以自变量的微分.1 基本初等函数的微分公式数学分析讲义§5.4 微分2 函数和、差、积、商的微分法则数学分析讲义§5.4 微分结论：微分形式的不变性数学分析讲义§5.4 微分n微分在近似计算中的应用数学分析讲义§5.4 微分数学分析讲义§5.5 高阶导数与高阶微分n高阶导数定义：定义： 数学分析讲义§5.5 高阶导数与高阶微分二阶和二阶以上的导数，统称为高阶导数。
高阶导数的具体求法：计算函数的n阶导数就是按求导法则和导数公式，逐渐进行下去数学分析讲义§5.5 高阶导数与高阶微分例2解数学分析讲义§5.5 高阶导数与高阶微分例3解同理可得数学分析讲义§5.5 高阶导数与高阶微分n莱布尼茨公式 数学分析讲义§5.5 高阶导数与高阶微分数学分析讲义§5.5 高阶导数与高阶微分例4解数学分析讲义§5.5 高阶导数与高阶微分高阶导数的运算法则公式（3）称为 莱布尼兹公式数学分析讲义§5.5 高阶导数与高阶微分几个初等函数的高阶导数数学分析讲义§5.5 高阶导数与高阶微分例5解数学分析讲义§5.5 高阶导数与高阶微分n高阶微分定义：定义： 数学分析讲义§5.5 高阶导数与高阶微分数学分析讲义§5.5 高阶导数与高阶微分数学分析讲义完完。