多元函数微积分在经济分析中的应用,一、利用偏导数对经济增量进行解释,含义: (1)自变量y保持不变（y=y0）,x改变一个单位，所引起的因变量z的改变量的近似值2)自变量x保持不变（x=x0）,y改变一个单位，所引起的因变量z的改变量的近似值例1 设Cobb-Douglas生产函数为 P(K, L) = 20K0.3L0.7求,解：,P’K(1,1) 及 P’L(1,1) ，并解释其含义P’K(1, 1)= 6(1)-0.7(1)0.7 = 6,P’K =6K-0.7L0.7,含义: P’K= 6 表示当资本在1个单位时，每增加一单位，产量约增加 6 单位称为资本的边际生产量P’L=14K0.3L-0.3,P’L(1, 1)=14(1)0.3(1)-0.3 = 14,含义: P’L = 14 表示当劳动在1个单位时，每增加一单位，产量约增加 14 单位称为劳动的边际生产量例2 已知某企业雇佣熟练工x人，非熟练工y人，日产量由二元函数 决定已知该企业雇佣熟练工20人，非熟练工50人，若增加熟练工1人，试估计对产量的影响。
解：,根据题意，必须求得,因为,,所以,,日产大约会增加1800单位实际上，日产量增加的真实值为,偏导数可用来描述两种商品彼此为替代型还是互补型替代型：一种商品的需求增加时伴随的结果是另一种商品需求的减少如国产汽车与进口汽车、猪肉和鸡蛋等互补型：一种商品的需求增加时，另一种商品的需求也跟着增加例如高尔夫球杆与高尔夫球鞋、CD机和光盘等假设有两种商品 A 与 Bx 与 y 分别表示商品 A 与 B 每单位的价格函数 f（x, y） 表示商品 A 的需求函数，函数 g（x, y）表示商品 B 的需求函数则函数恒有下列关系：,即： 商品 A 的价格 x 上升，则商品 A 的需求量会下降商品 B的价格 y 上升，则商品 B的需求量会下降二、利用偏导数对两种商品之间性质进行解释,两商品在价格 (x0, y0) 处为互补型 表示当商品 B 的价格上升时，商品 A 的需求量减少；当 A 的价格上升时，商品 B 的需求量减少即一种商品需求的减少导致另一种商品需求的减少两商品在价格 (x0, y0) 处为替代型 表示当商品 B 的价格上升时，商品 A 的需求量增加；当 A 的价格上升时，商品 B 的需求量增加。
即一种商品需求的减少导致另一种商品需求的增加例3 两种商品 A 与 B，当其价格分别为 x 与 y 时的需求函数为f(x, y) = 300 - 6x2 + 10y2 (A的需求函数)g(x, y) = 600 + 6x - 2y2 (B的需求函数)试问这两种商品为替代型还是互补型？,解：,所以，两种商品为替代型关系三、利用全微分在经济分析中进行近似计算,利用全微分公式可以进行两种情况的近似计算：,例4 已知一工厂的日产量是由有熟练工的工作时数x与非熟练工的工作时数y所决定的，且 现在, x=8小时，y=16小时，若工厂计划增加熟练工的工作时数1小时,试估计需减少非熟练工的工作时数几小时，才能使日产量不变解：因为,，且,所以,由于,即需减少非熟练工的工作时数4小时，才能使日产量维持不变所以,在保持效用水平不变的前提下，增加一种商品的数量所带来的效用增加量等于减少另一种商品所带来的效用减少量则有：,假设效用函数U=U（ ）则 U=U（ ） =C（常数）代表一条无差异曲线的方程在等式的两边取全微分，有：,四、利用全微分推导边际替代率公式,即：,即：,解：,五、高阶导数的应用,1.可以利用二阶导数的符号判断曲线的凹凸性。
二阶导数大于零，曲线下凸;二阶导数小于零，曲线上凸2.高阶导数和高阶微分在判断极值情况时的应用边际替代递减规律下无差异曲线应该是凸向原点的，但现实并不能对这一假定做出保证在两种商品（ 和 ）的情况下，想要保证无差异曲线应该是凸向原点必须满足下列条件：,例5 推导无差异曲线凸向原点的条件,式中：U1和U2分别为X1和X2的边际效用；U11和U22分别为X1和X2的边际效用的增量；U12为X1和X2的“交叉”边际效用的增量，即消费X1后再消费X2后的总效用的增量证明：假设效用函数U=U（ ， ） 则无差异曲线的方程为U（ ， ）=C（常数） （1）,利用隐函数求导法则得:,如果无差异曲线应该是凸向原点，则:,（效用最大化的二阶条件）,六、求经济变量的最大值和最小值,条件极值问题：对自变量有附加条件的极值．,可用全微分 的符号来确定取何种极值,例6 假设刘先生拥有一口矿泉，使用自有的泉源生产矿泉水且为小镇的唯一供货商，因为生产成本极低，此处不予计算如果他的价格函数为 p = 60 - 0.01x，x≦6000，其中 p 表示每日可以卖出 x 公升的价格。
求其最大收入解：刘先生的收入函数为 R(x) = (60 - 0.01x)x = 60x - 0.01x2要使收入最大，求 R'(x) 并令其等于0：,因此，刘先生每日售出3000公升（饱和需求量的一半），售价则为 p = 60 - 0.01( 3000) = 30 (元/公升) 最大收入为(因为二阶导数为负) R(3000) = 60．3000 - 0.01(3000)2 = 90000刘先生的邻居陈先生也开了一口泉井生产矿泉水，这样就和刘先生展开了竞争，两人争夺同一市场设陈先生每日售出 y 公升求两人的收入最大各为多少？,分析：这时两人的价格函数为 p = 60 - 0.01(x + y) = 60 - 0.01x - 0.01y,各自的收入函数分别为：RL = p.x = (60 - 0.01x - 0.01y)x = 60x - 0.01x2 - 0.01xy RC = p.y = (60 - 0.01x - 0.01y)y = 60y - 0.01xy - 0.01y2,两人都想追求最大收入，故分别取导数并令其为0：,此时，二阶导数小于零所以每人每日都卖出2000公升, （饱和需求量的1/3） 。
售价为 p = 60 - 0.01(2000 + 2000) = 20 (元/公升) 每个人的收入分别为40000元列表比较独家经营与共同经营情况下的差异,由上表可知共同经营的情况会生产较多的矿泉水，且售价也降低了 古 诺下结论:竞争的状态较独占的状态对消费者更有利但是，聪明的商人最后会了解其收入40000元小于90000元的一半，这会促使经营者走向合作，共享市场，最后变成独占的状态这种状态称为联合垄断 例7 某工厂预估其生产函数为 P(K, L) = 100K1/4 L3/4，其中 K 与 L 分别代表资本和劳动力的单位数量每单位的资本成本为200元，每单位的劳动力成本为100元若每日所能使用的资本及劳动力成本限制为8000元，求日产量达到最大时资本与劳动力的配置数量解：问题转化成,令其偏导数为0：,,例8 用数学方法分析消费者预算约束下的效用最大化问题,效用最大化的必要条件：两商品的边际替代率等于两种商品的价格之比消费者花在各种商品上的最后一元钱所带来的边际效用相等，且等于货币的边际效用或:,设消费者效用函数U=U(X1,X2),,预算约束为I=P1X1+P2X2效用最大化问题可转化成条件极值问题。
解下列方程组:,,利用二阶全微分d2L的验证过程略。