5.2 5.2 可逆矩阵可逆矩阵一、教学内容一、教学内容1、可逆矩阵的定义、可逆矩阵的定义2、可逆矩阵的性质、可逆矩阵的性质3、矩阵可逆的条件、矩阵可逆的条件(矩阵乘积的行列式矩阵乘积的行列式)4、逆矩阵的求法、逆矩阵的求法(初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵)5、矩阵乘积的秩、矩阵乘积的秩 二、教学目的二、教学目的 掌握逆矩阵的概念、矩阵可逆的条件及逆掌握逆矩阵的概念、矩阵可逆的条件及逆 矩阵的求法矩阵的求法 了解初等变换与初等矩阵了解初等变换与初等矩阵三、重点难点三、重点难点逆矩阵的求法逆矩阵的求法 那么，在解矩阵方程，AX=B时，是否也存在一个矩阵，用这个矩阵同乘矩阵方程两端，就得所求矩阵方程的解呢？解一元线性方程ax=b，当a≠0时，存在一个数 ，用同乘方程两端，即得方程的解： 注意到对任意n阶矩阵A，都有IA=AI=A，这里I是n阶单位矩阵，从乘法角度看，I类似于1在数域F中的地位 在数域F中，当的倒数时，存在，并且111==--aaaa我们将这种思想应用到矩阵上,引入逆矩阵的概念 一、可逆矩阵的定义一、可逆矩阵的定义1 1、定义、定义1 1 对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得AB=BA=I，则称A为可逆矩阵可逆矩阵(或A可逆可逆)，而B称为A的逆矩阵逆矩阵。
例如对于n阶单位矩阵In，由于的逆矩阵就是所以是可逆矩阵，且 对于n阶零矩阵0，因为对任何同阶方阵B，都有B0=0B=0（B与0是同阶方阵），所以0不是可逆矩阵 问题：问题：若是矩阵A可逆，那么A的逆矩阵是否唯一？ 事实上，若B、C都是A的逆矩阵，则有： AB=BA=I， AC=CA=I 从而 B=我们把矩阵A的唯一的逆矩阵记作A-1 BI= B(AC)= (BA)C= IC=C 2 2、说明、说明( (理解理解) )(1)存在可逆矩阵；(2)一个n阶矩阵未必可逆；(3)若是矩阵A可逆，那么A的逆矩阵由A唯一确定 二、可逆矩阵的性质二、可逆矩阵的性质1、 可逆矩阵A的逆矩阵A-1也可逆，并且这是因为由AA-1=A-1A=I，知A与A-1互为逆矩阵 2、 两个可逆矩阵A和B的乘积AB也可逆，并且这是因为的乘积一般地，n个可逆矩阵也可逆，并且 3、 可逆矩阵A的转置矩阵A′也可逆，并且这是因为由A可逆有各端求转置可得这表明 前面我们已经看到一些可逆矩阵和不可逆矩阵的例子我们想要知道：什么样的矩阵是可逆矩阵？如果A可逆，怎样求A-1？ 三、矩阵可逆的条件三、矩阵可逆的条件1、 矩阵乘积的行列式根据行列式依行展开，有 进一步有 事实上 一般地，利用数学归纳法可以证明：(1)引理1 进一步，还可以证明：(2)引理2 如前所述，对于n阶方阵相应的行列式称为方阵A的行列式，记为 对于两个n阶方阵A和B，其乘积AB也是一个n阶方阵，试问：乘积矩阵的行列式det(AB)与行列式detA和detB有何关系？ 例如： (3)定理1(P197定理5.2.5)设A、B是任意两个n阶方阵，那么这两个方阵的乘积的行列式等于它们的行列式的乘积，即 证明：设 则根据引理1可知2n阶行列式 现在把行列式D的第n+1行乘以a11加到第一行， 再把行列式D的第n+2行乘以a12加到第一行， 继续下去可得其中正好就是乘积矩阵AB的第一行。
继续下去可进一步得根据引理2可得 若n阶矩阵A可逆，则存在n阶矩阵B使得AB=BA=I，从而∣AB∣=∣I∣ ，即∣A∣∣B∣ =1，所以∣A∣≠0 反之，若n阶矩阵A的行列式∣A∣≠0，A是否一定可逆呢？ 回答是肯定的，为了证明这一点，需要引进一个概念 2、、 伴随矩阵伴随矩阵(1)(1)定义定义2 2 对于n阶矩阵 称为矩阵A的伴随矩阵伴随矩阵，记为 例1 设求A的伴随矩阵解：因为 试问：例1中 利用行列式按一行(列)展开的定理可以得到: (2)(2)性质性质 由定义得，A是可逆矩阵，并且 3、、 矩阵可逆的条件矩阵可逆的条件综上可得如下定理：定理定理2矩阵A可逆的充分必要条件是并且当A可逆时，有 定理2给出了判断一个矩阵是否可逆的一种方法，并且也给出了求逆矩阵A-1的一种方法——伴随矩阵法求出其逆矩阵例2 判断矩阵是否可逆，若可逆， ＝2≠0，所以A可逆 解：因为 于是得检验： 利用矩阵求逆可解矩阵方程，对矩阵方程:，如果A是n阶可逆矩阵，B是矩阵，显然是其解 小结小结一、可逆矩阵的定义一、可逆矩阵的定义定义定义1 1 对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得AB=BA=I，则称A为可逆矩阵可逆矩阵(或A可逆可逆)，而B称为A的逆矩阵逆矩阵。
2)一个n阶矩阵未必可逆；(3)若是矩阵A可逆，那么A的逆矩阵由A唯一确定1)存在可逆矩阵；说明说明( (理解理解) ) 二、可逆矩阵的性质二、可逆矩阵的性质1、 可逆矩阵A的逆矩阵A-1也可逆，并且2、 两个可逆矩阵A和B的乘积AB也可逆，并且3、 可逆矩阵A的转置矩阵A′也可逆，并且 三、矩阵可逆的条件三、矩阵可逆的条件1、 矩阵乘积的行列式定理1(P197定理5.2.5)设A、B是任意两个n阶方阵，那么这两个方阵的乘积的行列式等于它们的行列式的乘积，即 2、、 伴随矩阵伴随矩阵(1)(1)定义定义(2)(2)性质性质 3、、 矩阵可逆的条件矩阵可逆的条件定理定理2矩阵A可逆的充分必要条件是并且当A可逆时，有 课堂练习题课堂练习题1、求下列矩阵的逆矩阵: 2、解下列矩阵方程： 第三次作业：P205:3、4、6 。