13.3.2 等边三角形,第十三章 轴对称,第2课时 含30°角的直角三角形的性质,1．探索含30°角的直角三角形的性质．（重点） 2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证 明和计算．（难点）,导入新课,问题引入,问题1 如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？,分离,拼接,A,C,B,,问题2 将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？,,,,,,,,,,,,,,,,,讲授新课,性质：,在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.,如图，△ADC是△ABC的轴对称图形，,因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°，,从而△ABD是一个等边三角形.,再由AC⊥BD,,可得BC=CD= AB.,证法1,证明：在△ABC 中，∵ ∠C =90°，∠A =30°, ∴ ∠B =60°． 延长BC 到D，使BD =AB，连接AD， 则△ABD 是等边三角形． 又∵AC⊥BD,,已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°. 求证：BC = AB．,∴ BC = AB．,∴ BC = BD．,证明： 在BA上截取BE=BC，连接EC. ∵ ∠B= 60° ，BE=BC. ∴ △BCE是等边三角形， ∴ ∠BEC= 60°，BE=EC. ∵ ∠A= 30°， ∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°. ∴ AE=EC， ∴ AE=BE=BC， ∴ AB=AE+BE=2BC.,∴ BC = AB．,证法2,知识要点,含30°角的直角三角形的性质,在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.,应用格式： ∵ 在Rt△ABC 中， ∠C =90°，∠A =30°，,∴ BC = AB．,√,判断下列说法是否正确： 1）直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半． 2）三角形中30°角所对的边等于最长边的一半。
3）直角三角形中较短的直角边是斜边的一半 4）直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．,例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是( ) A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm,典例精析,注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．,D,解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.故选D.,例2 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于( ) A．3 B．2 C.1.5 D．1,解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故选C.,E,C,方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．,例3 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．,解：,理由如下：∵DE⊥AB， ∴∠AED＝∠BED＝90°.,∵DE是∠ADB的平分线， ∴∠ADE＝∠BDE.,又∵DE＝DE， ∴△AED≌△BED(ASA)，,在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，,∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.,∵∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC，,∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.,∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，,∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.,∴CD＝ AD＝ BD，即CD＝ DB.,方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．,想一想： 图中BC、DE 分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？,例4 如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多长？,解：∵DE⊥AC,BC ⊥AC, ∠A=30 °，,∴BC= AB, DE= AD.,∴BC= AB= ×7.4=3.7(m).,又AD= AB,,∴DE= AD= ×3.7=1.85 (m).,答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.,例5 已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰上的高.,A,C,B,D,15 °,,15 °,,20,解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.,∵∠B=∠ACB=15° (已知), ∴∠DAC= ∠B+ ∠ACB= 15°+15°=30°，,),),∴CD= AC= ×20=10.,方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30°角的直角三角形来解决．本题的关键是作高，而后利用等腰三角形及外角的性质，得出30°角，利用含30°角的直角三角形的性质解决问题.,当堂练习,1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( ) A．6米 B．9米 C．12米 D．15米,2.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( ) A．300a元 B．150a元 C．450a元 D．225a元,B,B,4.在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,若AB=10,则BC = .,5,5.如图，Rt△ABC中，∠A= 30°，AB+BC=12cm，则AB=______.,8,3.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°，AB =4．则BD = .,1,第3题图,第5题图,6.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则求AC的长．,解：连接AE， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴BE=AE， ∴∠EAB=∠B=15°， ∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°． ∵∠C=90°，,∴AC= AE= BE=2.5．,7.在 △ABC中 ，AB=AC，∠BAC=120° ，D是BC的中点，DE⊥AB于E点，求证：BE=3EA.,证明：∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°. ∵ D是BC的中点，∴AD⊥BC ∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°. ∴AB=2AD. ∵DE⊥AB，∴∠AED=90°， ∴∠ADE=30°，∴AD=2AE. ∴AB=4AE，∴BE=3AE.,8.如图，已知△ABC是等边三角形，D,E分别为BC、AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q,求证:BP=2PQ.,拓展提升,∴△ADC≌△BEA.,证明：∵△ABC为等边三角形，,∴ AC=BC=AB ,∠C=∠BAC=60°，,∵CD=AE，,∴∠CAD=∠ABE. ∵∠BAP+∠CAD=60°，∴∠ABE+∠BAP=60°. ∴∠BPQ=60°. 又∵ BQ⊥AD，,∴BP=2PQ.,∴∠PBQ=30°，,∴∠BQP=90°，,课堂小结,内容,,在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半,使用要点,,含30°角的直角三角形的性质,找准30 °的角所对的直角边，点明斜边,,注意,,前提条件：直角三角形中,。