单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第9章 虚位移原理,建立平衡方程求解系统静力学问题，属于,矢量力学,的方法矢量力学的方法，直观、物理意义明确、计算规范，在许多问题中得到广泛应用；但是它具有一定的局限性虚位移原理引入,虚位移,的概念，通过作用在质点系上的所有力在虚位移上的虚功关系给出一个普遍适用的平衡的充分必要条件它是研究任意受约束质点系平衡的十分有效的普遍方法虚位移原理与达朗贝尔原理是,分析力学,的两个基本原理分析力学是继牛顿矢量力学后，针对受约束质点系创立的一种,采用标量分析的力学体系假想一个约束允许的位移“虚位移”,x,（水平向右），则,F,与,P,在此虚位移上就作了“虚功”，它们的虚功之和：,F xP,x,=,，,而由于假想的虚位移,x,是任意的，所以有：,F,P,=,，即：,F,=,P,虚位移原理为解决受约束质点系（非自由质点系）的平衡问题提供了一种新的方法另外，虚位移原理更重要的意义还在于它为分析力学的形成和发展奠定了基础第9章 虚位移原理,9.1 约束 虚位移虚功,9.1.1 约束及其分类,限制物体位置或运动的条件称为,约束,。
限制条件的数学方程称为,约束方程,限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为,几何约束1.,几何约束和运动约束,如,x,y,限制质点系运动情况的运动学条件称,运动约束2.定常约束和非定常约束,约束方程中显含时间,t,的约束称为,非定常约束,约束方程中不显含时间,t,的约束称为,定常约束x,y,3.其它分类,约束方程中包含坐标对时间的导数,且不可能积分为有限形式的约束称,非完整约束,约束方程是等式的，称,双面约束,约束方程为不等式的，称,单面约束,n,为质点数，,S,为约束方程数.,约束方程中不包含坐标对时间的导数，或者约束方程中的积分项可以积分为有限形式的约束为,完整约束,本章只讨论,定常的双面、完整、几何约束9.1.2 自由度与广义坐标,非自由质点系的,自由度,（,确定位置的独立参数数目,）,对于具有完整约束的系统,自由度,r=,3,nl,n,质点数,l,完整约束数广义坐标,非自由质点系的3,n,个物理坐标并不独立,故取,r,=(3,nl,),个独立参数来描述质点系的位置，这些独立参数叫“,广义坐标,”物理坐标可以表示成广义坐标的函数例：,物理坐标,：,x,1,y,1,z,1,;,x,2,y,2,z,2,；,约束方程,：,x,1,2,+y,1,2,=a,2,z,1,=0,z,2,=0,(x,2,x,1,),2,+(y,2,y,1,),2,=b,2,广义坐标：,a,b,坐标变换：,x,1,=a,sin,a ,y,1,=a,cos,b,x,2,=a,sin,a,+b,sin,b,y,2,=a,cos,a,+b,cos,b,自由度：,2，（,n=,2,l=,4,r=,3,nl,=2,）,9.2.1,虚位移,在某瞬时,质点系在约束允许的条件下,可能实现的任何无限小的位移称为,虚位移,。
只与约束条件有关虚位移,等,实位移,等,实位移,是质点系真实实现的位移，它与约束条件、时间、主动力以及运动的初始条件有关,1.,虚位移的概念,（1）,几何法（虚速度法）,按系统必须满足的几何关系或运动关系计算对于定常约束，常用“虚速度”来分析“虚位移”之间的关系如下例：,2.建立虚位移关系的方法,看作：,d,r,A,=v,A，,d,r,B,=v,B,则A、B的“虚速度”关系有,：,v,A,=v,B,cos60,故有,：,d,r,A,=,d,r,B,cos60,即,：,2,d,r,A,=,d,r,B,此即所求的虚位移关系式2）解析法,通过对各有关点的坐标关系式进行变分运算，找出各变分之间的关系即各虚位移之间的关系如右例：,求：机构平衡时,F,2,与,F,1,的对应的虚,位移之间的关系设,j,为广义坐标（系统是一个自由度），有：,对各式变分；变分后的以下三式给出虚位移关系(以,dj,为“自变量”)：,虚功,9.2.3,理想约束,如果在质点系的任何虚位移中，所有约束力所作虚功的和等于零，称这种约束为,理想约束,力在虚位移中作的功称虚功光滑固定面约束、光滑铰链、无重刚杆，不可伸长,的柔索、固定端、轮子只滚不滑等约束为理想约束。
即,设质点系处于平衡,有,或记为,此方程称,虚功方程,其表达的原理称,虚位移原理或虚功原理.,9.3 虚位移原理及应用,对于具有理想约束的质点系,其平衡的充分必要条件是：,作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零,解析式为,已知：如图所示,在螺旋压榨机的手柄,AB,上作用一在水平,面内的力偶(),其力矩 ,螺杆,的导程为螺杆与螺母间的摩擦忽略不计求：机构平衡时加在被压物体上的力.,例题1,解:,1、以手柄、螺杆和压板组成的系统为研究对象，受力如图力偶M对应的虚位移,力,F,N,对应的虚位移,2、由虚位移原理,3、虚位移关系分析,代入上式得,已知：,图中所示结构,各杆自重不计,在,点作用一铅直向上的,力,.,求：支座,的水平约束力.,例题2,解:解除,B,端水平约束,以力 代替,如图(b).,代入虚功方程,解得,如图在,CG,间加一弹簧,刚度,k,且已有伸长量,仍求 在弹簧处也代之以力,如图虚位移关系分析,已知：,如图所示机构，不计各构件自重与各处摩擦求：机构在图示位置平衡时，主动力偶矩,与主动力,之间的关系,例题3,解:虚位移,由图中关系有,代入虚功方程得,求:,支座,的约束力 .,已知：如图所示无重组合梁.,例题4,解：解除,A,处约束，代之 ，给虚位移，如图,（b）,代入虚功方程,得,例题5,已知：平面结构，杆重和摩擦不计。
求：支座,B,和,A,处的约束力解：1.支座B处约束力.,虚功方程,虚位移之间的关系,2.支座,A,处水平约束力,虚功方程,虚位移之间的关系,支座,A,处铅直约束力,虚功方程,虚位移之间的关系,。