17 版权归作者所有，请勿翻印 第二章第二章 格林函数方法格林函数方法 从前一章的讨论中，我们看到处理多粒子系统中的一个关键问题是如何考虑粒子间的相互作用由于相互作用引起各个粒子运动的相互关联，“牵一发而动全身”如何由粒子间的相互作用出发求出粒子体系的关联函数是多粒子理论的一个核心问题，解决了这个问题就了解了多粒子系统的各种基本性质 本章将介绍一种把粒子间相互作用当作微扰，对多粒子系统作微扰处理的重要理论方法⎯⎯格林函数方法它是由处理单粒子运动的数学物理中的格林函数方法发展而来的，是一种可以有效地分析微扰论级数中任何一项的场论方法 首先介绍单粒子问题中的格林函数方法 §§2. 1 单体问题中的格林函数单体问题中的格林函数 一一 不含时函数不含时函数 描述单粒子运动的力学量通常可以用线性厄米算符来表示设有一个不含时的线性厄米算符ˆ( )L r，它的本征态方程为 ˆ( ) nnnLϕλ ϕ=r ( 2.1.1 ) 对应于算符ˆL，就可定义出它的格林函数( , , ')G z r r， ˆ[( )] ( , , ')(')zLG zδ−≡−rr rrr。
( 2.1.2 ) 显然，G可以用正交完备的本征函数集nϕ来表示 1 ˆnnnnGzzLϕϕλ==−−∑或 *( )( ')( , , ')nnnnG zzϕϕ λ=−∑rrr r ( 2.1.3 ) 如果算符ˆL是哈密顿算符H，nλ就是能量本征值nE如果算符ˆL的所有本征态nϕ已知，则从 ( 2.1.3 ) 式可以得到对应于ˆL的格林函数 厄米算符ˆL的本征值nλ是实数，它的谱有分立的和连续的两种在计算格林函数时，对分立谱可以直接用 ( 2.1.3 ) 式中的求和，而对连续谱则需要将求和过渡到积 分如果是分立谱，则G在nzλ=有孤立奇点；如果是连续谱时，则G在实轴上出现割缝，如图 2.1.1 所示，上(下)岸分别对应着由上(下)半平面趋近于实轴时定义的格林函数±G， 18 版权归作者所有，请勿翻印 *0( )( ')( , , ')liminnSmnGSϕϕλλλ±→≡−±∑rrr r ( 2.1.4 ) 如果算符ˆL是哈密顿算符H，则上下岸之差为 *( , , ')( , , ')2 i( )( ') ()nnn nGEGEEEπϕϕδ+−−= −−∑r rr rrr。
( 2.1.5 ) 当'=rr时，上、下岸的虚部分别为 2Im( , , )( )()nn nGEEEπϕδ±=−∑r rr∓ ( 2.1.6 ) 所以其虚部的对角元之和为 3dIm( , , )() ( )n nrGEEEN Eπδπ±=−=∑∫r r∓∓， ( 2.1.7 ) 其中( )N E是态密度 以上是在坐标表象中的格林函数，在一般的表象中，格林函数可写成算符形式， () ( )zH G zI−=，（I是恒同算符） 1( )G zzH=−， ( 2.1.8 ) Tr[Im(i )]( )G ESN Eπ+= −， ( 2.1.9 ) 其中 Tr 是求秩（对角元之和）的意思 格林函数的用途主要有三处： 1) 描述它所对应的齐次本征态方程的性质我们看到极点的位置对应于本征值，留数对应于本征函数，岸秩虚部对应于态密度因此，求出了格林函数也就得到了对本征态的完整的描述 2) 可以利用对应于齐次方程的格林函数来解非齐次方程 ˆ[( )] ( )( )zLuf−=rrr， 可以把方程的解( )ur用格林函数来表示 ( a ) 本征态分布 ( b ) 谱值示意 图 2.1.1 本征态的连续谱与分立谱示意 19 版权归作者所有，请勿翻印 {}33( , , ') ( ')d', , ( ) ( , , ') ( ')d'( ), ,nG zfrz u GzfrCzλϕλ±⎧≠⎪=⎨ +=⎪⎩∫ ∫r rr r r rrr( 2.1.10 ) 其中, , ( )Gλ ϕr分别是对应于ˆ( )Lr齐次方程的格林函数、本征值和本征函数，C是一个常数。
3) 由已知的对应于0ˆ( )L r的格林函数0G，求出对应于01ˆˆˆ( )( )( )LLL=+rrr的格林函数G，从而给出关于ˆ( )Lr问题的解的性质(详见下节) 二二 含时函数含时函数 对于含有时间微商的方程，我们可以定义相应的含时格林函数例如，一级含时格林函数的定义是 [i] ( , ; ', ')(') (')H Gtttttδδ∂−≡−−∂rrrr? ( 2.1.11 ) 它与不含时的格林函数 (2.1.3 ) 式有密切的关系为了书写简化，引进 ( )(')( , ; ', '),gg ttGttτ≡−≡rr ( 2.1.12 ) 并做傅氏展开 id( )e( )2πggωτωτω∞−−∞=∫， ( 2.1.13 ) 代入 ( 2.1.11 ) 式就得到 [] ( )('),H gωωδ−=−rr? ( 2.1.14 ) 把它与 ( 2.1.2 ) 式对比，就可看出含时格林函数的傅氏系数( )gω就是不含时的格林函数( , , ')G Er r，其中Eω= ?所以把不含时的格林函数( , , ')G Er r代回 ( 2.1.13 ) 式就可推出含时的格林函数. )(τg 但是应该注意的是，由于)(ωg在ω的实轴上有奇点或割缝，所以 ( 2.1.13 ) 式中对ω的积分只能沿着“岸”进行，这样视积分路径沿上岸或下岸之不同，就可以得到两个含时的格林函数 i' 1d( )(, , ')e2gGω τωτωπ∞±±−−∞=∫r r?， ( 2.1.15 ) 从中还可以定义 ggg+−≡−?。
( 2.1.16 ) +g有时写作Rg，−g有时写作Ag，分别称为推迟的或趋前的格林函数，它们的积分路径如图 2.1.2 所示 图 2.1.2 含时格林函数的积分路径 20 版权归作者所有，请勿翻印 显然，它们的表达式分别是 *i(')R( )( ')1( )de( ) ( )2iEt tnnnnggEgEESϕϕτθ ττπ−−+≡==−+∑∫rr???， *i(')A( )( ')1( )de() ( )2iEt tnnnnggEgEESϕϕτθττπ−−+≡== −−−−∑∫rr???， i(')*i( )( )( ') e,nEt tnn ngτϕϕ−−= −∑rr???( 2.1.17 ) 其中( )xθ是阶梯函数，当0x>时( )1xθ≡，当0xτ时只能用下半平面的无穷半圆积分连接∞∞ - ,；而0⎪≡⎨−的情况描写的是在't时刻在'x处放入的一个粒子，在t时刻传播到x的几率振幅；而'tt情况，由定义式 ( 2.3.1 ) 式格林函数可表示为 i(')/*( , ; ', ')i( )( ')emt t mm mG x t x tfx fxε−−= −∑?， ( 2.3.3 ) 24 版权归作者所有，请勿翻印 这里0(1)()mmENENε≡+−，0()EN为有N个粒子的系统基态N0φ的能量，而 1)( ˆ)(0+≡NxNxfmmφψφ。
如果1mNφ+是激发态，则显然有με>m，μ是系统在0=T时的化学势 与此相似，用1'−Nmφ表示有1−N个粒子的系统本征态，) 1('−NEm为其能量记) 1()('0'−−≡NENEmmε，则对激发态1'−Nmφ有με=−τtt时， i (')/( , ; ', ')d( , , ')eE t tG x t x tEG E x x−−=∫?i(')/*i( )( ')e()mt t mmm mfx fxεθ εμ−−= −−∑?； ( 2.3.21a ) 当0'⎧ ⎨>⎩( 2.3.23 ) 这就是我们前面的 ( 2.3.7 ) 式 对于有相互作用的系统，一般的结果是)(EG有奇点mε但它的虚部不一定是无穷小现在来具体地分析一个的奇点的模型，并考察它的物理意义假设在第四象限有一个奇点，它对格林函数的贡献是 ( ,)( )/[( )]cgEzEε=−kkk?， ( 2.3.24 ) 27 版权归作者所有，请勿翻印 其中1icεε=− Γ，0Γ >，1εμ>利用时间和频率空间格林函数的关系 +i ' / 00d '( , )iT{( )(0)}e( ,')2πE tEgtNa t aNgEφφ∞ −−∞≡ −=∫kkkk? ?， ( 2.3.25 ) 把 ( 2.3.24 ) 式代入可以得到这个奇点对( , )gtk贡献，当0t>时有 1i( , )i exp()ttgtzεΓ= −−−k??。
( 2.3.26 ) 它相当于一个激发能量为1ε，而衰减寿命为Γ/?的粒子作为练习，读者可以自己推导με>∞s，所以, 1)(0 FF>∞s的中间情况从 ( 2.3.26 ) 式可知准粒子能量的虚部kΓ越小则寿命越长在一般情况下，如图 2.3.2 所示，当Fkk=时kΓ的绝对值最小，这表示在费米面附近的准粒子态有很长的寿命，所以把它看作准粒子并用单电子近似来描述是基本符合实际的 §§2. 4 多粒子格林函数与线性响应理论多粒子格林函数与线性响应理论 一一 多粒子格林函数与运动方程多粒子格林函数与运动方程 与上节中单粒子格林函数的定义相似，可以定义一个多体系统中的双粒子格林函数 2 200ˆˆˆˆ(1,2;1',2')( i)T{ (1) (2)(2')(1')}GNNφψψψψφ++++≡ −≡ −， ( 2.4.1 ) 这里用 1 和 2 作为111( ,, )tξr和222( ,, )tξr的缩写如果把单粒子格林函数1(1,1')G理解为在 1’ 处产生的一个电子（或消灭的一个空穴）传播到 1 处的概率幅度， 则 双粒子格林函数2G可以理解为在 1’ 和 2’ 处产生的两个电子（或消灭的空穴）分别传播到 1 和 2 的概率幅 度。
1G和2G可以形象地表示，如图 2.4.1 所示 任何一个单体或二体算符在基态上的平均值都可以用单粒子格林函数1G和双粒子图 2.4.1 格林函数示意 29 版权归作者所有，请勿翻印 格林函数2G来表示，例如哈密顿的平均值在二次量子化表示下哈密顿的一般形式为 1ˆˆˆˆˆˆ( ) ( ) ( )dd d '( )( ') ( , ') ( ') ( )2Hq h q V q qψψψψψψ++++++=+=+∫∫∫∫∫∫， ( 2.4.2 ) 其中q表示( , )ξr，单粒子哈密顿包括动能和外势能，2 ( )( )2Ph qU qm=+=+H在基态的平均值即基态能可写为 0000i d( ) ( , ; ,)EN HNqh q G q t q tφφ+ +== −== −∫ ∫2001d d ' ( , ')(, ' ;, ')2q q V q q G qt q t qtq t++++− −∫∫ ∫∫ ( 2.4.3 ) 由场算符的反对易性可见有普遍关系式 2222(1,2;1',2')(2,1;1',2')(1,2;2',1')(2,1;2',1')GGGG= −= −== −= −=。
( 2.4.4 ) 对于无相互作用的系统，从定义可见 (0)(0)(0)(0)(0) 2(1,2;1',2')(1,1')(2,2')(1,2')(2,1')GGGGG=−=− ( 2.4.5 ) 对于有相互作用的系统则可写为 2(1,2;1',2')(1,1') (2,2')(1,2') (2,1')(1,2;1',2')GGGGGK=−+=−+ ， ( 2.4.6 ) 其中K是一个修正项，一般比较小，它反映了更复杂的高阶关联作用 在海森堡表象中，场算符的演化由它的运动方程决定， ˆˆi( , )[ (。