2 2.2 2.4 4点到直线的距离1.掌握点到直线的距离公式,会求点到直线的距离和两平行线间的距离.2.会利用距离公式解决点关于线对称和线关于线对称的问题.1231.点到直线的距离公式已知点P(x1,y1),直线l的方程:Ax+By+C=0,则点P到l的距离归纳总结 1.点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离(这是从运动的观点来看).2.点到直线的距离公式只与直线一般式方程的系数有关,所以公式适用于全部的直线.使用点到直线的距离公式的前提条件是:把直线方程化为一般式方程.123【做一做1-1】点P(2,-3)到直线l:x-2y-1=0的距离为.【做一做1-2】若点P(m,3)到直线4x-3y+1=0的距离为4,则m=.答案:7或-3 1232.点到几种特殊直线的距离(1)点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|;(2)点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|;(3)点P(x0,y0)到与x轴平行的直线y=a的距离d=|y0-a|;(4)点P(x0,y0)到与y轴平行的直线x=B的距离d=|x0-B|.【做一做2】点P(2,-6)到直线y=-5的距离为,到x=9的距离为.答案:171233.两平行直线间的距离公式设直线l1,l2的方程分别为Ax+By+C1=0,Ax+By+C2=0,其中【做一做3】直线x-y-2=0与直线x-y+1=0的距离是()答案:D 题型一题型二题型三题型四【例1】求下列各点到相应各直线的距离:(1)点A(-1,2),直线l1:2x+y-10=0;(2)点B(2,3),直线l2:3y=-4;(5)点E(4,-2),直线l5:3x-4y-20=0.分析:可将直线方程化为一般式,套用点到直线的距离公式求解,对于(2)、(3)等特殊直线,也可用简化的距离公式计算.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思 求点到直线的距离时,注意以下几点:(1)若直线方程不是一般式,应先将其化为一般式;(2)如果所给直线是与坐标轴平行或垂直的直线,这时可套用点到直线的距离公式求解,也可利用简化的公式求解;(3)点在直线上时,也可套用公式求点到直线的距离,当然距离肯定等于0.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】若点(-2,2)到直线3x+4y+m=0的距离为4,求m的值.分析:直接依据点到直线的距离公式列方程求解.解:由点(-2,2)到直线3x+4y+m=0的距离为4,解得m=18或-22.因此,m的值为18或-22.题型一题型二题型三题型四分析:由l1与l2平行设出l1的方程后依据平行线间的距离公式求解.解:由于l1l2,所以可设l1的方程为x+y+c=0.所以c=1或c=-3.从而l1的方程为x+y+1=0或x+y-3=0.题型一题型二题型三题型四反思 求平行线之间的距离时,肯定注意把两直线方程中x,y项的相应系数化为相同值,否则,会使结果出错.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】(1)求直线l1:24x-10y+5=0与l2:12x-5y-4=0之间的距离;(2)求与直线3x-4y-20=0平行且距离为3的直线的方程.题型一题型二题型三题型四【例3】直线4x+3y-12=0与x轴、y轴分别交于点A,B.(1)求BAO的平分线所在的直线的方程;(2)求点O到BAO的平分线的距离.分析:(1)利用角平分线上的点到角两边的距离相等列方程;(2)利用点到直线的距离公式直接求解.题型一题型二题型三题型四解:(1)由于直线4x+3y-12=0与x轴,y轴分别交于A,B两点,所以令x=0得y=4,令y=0,得x=3,即A(3,0),B(0,4).由题图可知BAO为锐角,所以BAO的平分线所在直线的倾斜角为钝角,其斜率为负值.设点P(x,y)为BAO的平分线上任意一点,则点P到直线OA的距离为|y|,点P到直线AB的距离为整理,得2x-y-6=0或x+2y-3=0.由于BAO的平分线所在直线的斜率为负值,所以BAO的平分线所在直线的方程为x+2y-3=0.题型一题型二题型三题型四反思 要注意结合图示对第(1)小题的结果进行检验,不然会消灭增解现象.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】两条直线l1:x+y-2=0与l2:7x-y+4=0相交成四个角,则这些角的平分线所在的直线的方程为.答案:6x+2y-3=0,x-3y+7=0 题型一题型二题型三题型四【例4】已知正方形的中心为G(-1,0),一边所在直线的方程为x+3y-5=0,求其他三边所在直线的方程.分析:可从另外三条边与已知边的位置关系以及中心G到另外三边的距离等于其到已知边的距离这两个方面入手求解另外三边所在直线的方程.即|C1-1|=6,解得C1=-5(舍去)或C1=7.故与已知边平行的直线方程为x+3y+7=0.题型一题型二题型三题型四即|C2-3|=6,解得C2=9或C2=-3.所以正方形另两边所在直线的方程为3x-y+9=0和3x-y-3=0.综上所述,正方形其他三边所在直线的方程分别为x+3y+7=0,3x-y+9=0,3x-y-3=0.反思 在正方形中肯定要注意对称性及平行、垂直的利用,另外,要注意总结设直线方程形式的技巧.题型一题型二题型三题型四【变式训练4】直线2x+3y-6=0关于点P(1,-1)对称的直线方程为()A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0C.3x-2y-12=0D.2x+3y+8=0解析:设直线2x+3y-6=0关于点P对称的直线为l,则l与2x+3y-6=0平行,且点P到这两条直线的距离相等.解得d=-6或d=8(d=-6舍去),故l的方程为2x+3y+8=0.答案:D 题型一题型二题型三题型四易错点:忽视斜率不存在的直线致错【例5】求经过点P(-3,5),且与原点距离等于3的直线方程.错解:设所求直线方程为y-5=k(x+3),整理,得kx-y+3k+5=0.题型一题型二题型三题型四错因分析:没有考虑斜率不存在时的情况,用点斜式设直线方程时,必须先弄清斜率是否存在,否则可能丢解.正解:当直线的斜率存在时,设所求直线方程为y-5=k(x+3),整理,得kx-y+3k+5=0.1234561.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是()答案:C 1234562.点P(x,y)在直线x+y-4=0上,O为坐标原点,则点O与点P之间的距离的最小值为()答案:B 1234563.过点(1,3)且与原点的距离为1的直线共有()A.3条B.2条 C.1条D.0条答案:B 1234564.直线2x-y-1=0与直线6x-3y+10=0的距离是.1234561234566.过点B(3,4)作直线l,使之与点A(1,1)之间的距离等于2,求直线l的方程.解:当所求直线与x轴垂直时,直线方程为x=3,点A(1,1)到它的距离为2,满意题意.当所求直线与x轴不垂直时,由题意可设直线的方程为。