§3二元函数的连续性(一)教学目的：掌握二元函数的连续性的定义，以及多元函数的局部性质和它们在有界闭域上的整体性质．(二)教学内容：二元函数的连续性的定义；有界闭域上连续函数的有界性，最大最小值定理，介值性定理和一致连续性．基本要求：(1)掌握二元函数的连续性的定义，了解有界闭域上连续函数的性质．(2)较高要求：掌握有界闭域上连续函数性质的证明要点．(三)教学建议：(1)有界闭域上多元连续函数的性质基本上与一元函数的情况类似，教学中可通过复习一元连续函数的定理引出．对较好学生，可布置一些与有界闭域上多元连续函数的性质有关的习题——————————————————————一．二元函数的连续概念由一元函数连续概念引入定义(用“”定义二元函数连续)设函数f(x,y)为定义在点集DR2上的二元函数，PD(它或者是D000,0000得当PU(P;)D时，都有0If(P)f(P)10则称f(x,y)关于集合D在P点连续，简称0若函数f在D上任何点都连续，则称由连续定义，若P0D0孤立点，则00D000，则f关于集合D在P连续等价于0limf(P)f(P)pp0PD0如果P0D的聚点,而上式不成立，则称0D的孤立0)，若对0,0，使f在P点连续。
0f为D上的连续函数P必定0f关于集合0D的连续0；若P0f关于集合D在P不连续(或间断0)0特P0f的可去间断点0别limf(P)Af(P)时，称pp0PD0二元连续与单元连续的关系:二元连续则对任意单元连续，反之不然■ xyx2y2例f(x,y)■ m■ 1m2yf(x0,y0)f(x0y0定义(用增量定义连续性)设函数f(x,y)为定义在点集DR2上的二元函数，(x,y){(x,y)1ymx,x0}(x,y)(0,0)其中m是固定实数在直线ymx上mlimf(x,y)f(0,0)(x,y)(0,0)1m2因此f在原点沿着任意直线ymx是连续的定义(全增量)设P(x,y),P(x,y)D，则称000zf(x,y)f(x,y)00为函数f在点P的全增量0如果在全增量中取0或ByD0，则称相应的函数增量为偏增量记作f(x,y)f(xx,y)f(x,y)x0000000二元连续与单元连续的关系:二元连续则对任意单元连续，反之不然0二元连续与单元连续的关系:二元连续则对任意单元连续，反之不然PU(P;)D时，都有limz00(x,y)(0则称f(x,y)在P点连续01,0yx2,x,例f(x,y)0,其他.0二元连续与单元连续的关系:二元连续则对任意单元连续，反之不然。
0二元连续与单元连续的关系:二元连续则对任意单元连续，反之不然证明函数f(x,y)在点(0,0)沿任何方向都连续但并不连续极限不存在，所以不连续0二元连续与单元连续的关系:二元连续则对任意单元连续，反之不然y比如函数1,xy0f(x,y)0,xy0.在原点处显然不连续，但f(0,y)f(x,0)0因此在原点处f对x,y分别都连续1.连续函数的性质:和一元函数一样，二元函数也有下面性质：四则运算性质(请仿照一元函数给出叙述)局部有界性局部保号性0二元连续与单元连续的关系:二元连续则对任意单元连续，反之不然0二元连续与单元连续的关系:二元连续则对任意单元连续，反之不然定理16.7(复合函数连续性)设函数u(x,y)和v(x,y)在xy平面上点P(x,y)的某邻域内有定义，并且在000P(x,y)点连续；函数000f(u,v)在uv平面上点Q(u,v)的某邻域内有定义，并且在000Q(u,v)连续，其中000u(x,y)，000v(x,y)，则复合函数000g(x,y)f[・(x,y),(x,y)]在点P0(x0,y0)连续证明由函数f(u,v)在Q(u,v)连续，对任意0000，存在0，当|，IvvI时，有00二元连续与单元连续的关系:二元连续则对任意单元连续，反之不然。
0二元连续与单元连续的关系:二元连续则对任意单元连续，反之不然If(u,v)f(u,v)00又由,在P(x,y)连续，对上述的0存在0,当IxxI,0000IyyI时0IuuII(x,y)(x,y)IIvv000II(x,y)(x,y)I00综合上述两步，当IxxI,IyyI时，有00Ig(x,y)g(x,y)f(u,v)f(u,v)0000因此，复合函数g(x,y)f[・(x,y),(x,y)]在点P0(x0,y0)连续二.有界闭区域上连续函数的性质:有界性与最值性定理16.8若函数f在有界闭区域DR2上连续，则f在D上有界，切能取得最大、最小值定理16.9(一致连续性)若函数f在有界闭区域DR2上连续，则f在D上一致连续定理16.10(介值性)设函数f在区域DR2上连续，若p,p为D中任意12两点，且f(p)f(p)，则对任何满足不等式12f(P)f(P)12的实数，必存在点pD，使得f(p)。