严谨规范求真铸魂1-7 两个重要极限练习题教学过程：引入：考察极限limsin xx 0 x问题 1：观察当 x 0 时函数的变化趋势：0.500.100.050.040.030.02...0.95850.99830.99960.99970.99980.9999...x( 弧度)sin x x当 x 取正值趋近于 0 时，sin x1，即limsin x=1 ；x x 0 x当 x 取负值趋近于 0 时， -x 0, - x >0, sin(- x )>0 ．于是limsin xlimsin(x) ．x 0 xx 0 ( x )综上所述，得一． limsin x 1．xlim0 xsin x1的特点：x 0 x(1) 0 ”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是 0 ；它是“0 0(2) 在分式中同时出现三角函数和 x 的幂．推广 如果 lim (x )=0,( a 可以是有限数 x 0, 或 )，x a则 limsinx = limsinx =1．x a x x 0 x例1 求 limtanx ．x 0 xsin x解 limtan x= limcosxlimsin x 1limsinxlim 11 1 1．x 0 xx 0 xx 0 xcosxx 0 xx 0 cosx例2 求 limsin 3x ．x 0 x解 limsin 3x= lim3sin 3x(令3xt ) 3limsin t 3．x 0 xx 0 3xt 0 t例3 求 lim 1cosx ．2x 0 x2sin 2 xsin 2 xsin xsin x1解 limcosx= lim2 lim2 lim 1 22 1 ．x 0 x 2x 0 x 2x 0 2( x ) 22x 0 2 x x 22 2例4 求 limarcsinx ．x 0 x解 令 arcsinx =t，则 x =sint 且 x 0 时 t 0．所以 limarcsin x = lim t 1．x 0 xt 0 sint例5 求 limtanxsin x ．x 0 x 3sin xsin xsin x 1cosx解 limtan x sin x= limcosxlimcosxx 0 x 3x 0 x 3x 0 x 3= limsin xlim 1lim 1cosx 1 ．2考察极限lim (1xx 0 x1) x e xx 0 cosx x 0 x 2问题 2：观察当 x + 时函数的变化趋势：1210100010000100000100000...22.252.5942.7172.71812.71822.71828...x(1 1) xx当 x 取正值并无限增大时，(1 1 ) xx是逐渐增大的，但是不论 x 如何大， (11) x 的值x总不会超过 3．实际上如果继续增大 x．即当 x + 时，可以验证 (1定的无理数 e＝ 2.718281828... ．1 ) x 是趋近于一个确x当 x - 时，函数 (1综上所述，得1 ) xx有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于 e．二． lim (11 ) x =e．lim (1x x1 ) x =e 的特点：x x（１） lim(1+ 无穷小 ) 无穷大案 ；（２）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数．推广 （１）若 lim (x )= ,(a 可以是有限数 x 0, 或 )，则x alim (11 ) ( x)lim 1 1( x)=e；x a ( x) x( x)（２）若lim (x )=0,( a 可以是有限数 x 0, 或 )，则x alim 11x ( x)lim 11x ( x ) =e．x a x 01 1变形 令=t，则 x 时 t 0，代入后得到lim 1 t t e ．x t 0如果在形式上分别对底和幂求极限，得到的是不确定的结果 1 ，因此通常称之为 1 不定型．例6求 lim (1x2 ) x ．x解令－ x =t ，则 x =－ t22 ．当 x时 t 0，于是lim (1x2 )x = lim (12txt 0t )[ lim (1t 01t ) t ]2 =e –2．例7求 lim ( 3x2x ) x ．x解令 32x =1+ u ，则 x =2－ 1 ．xu当 x于是时 u 0，lim ( 3x2x )x = lim (1 u ) 2 u11uxu 0lim [(1u 0u )(1 u ) 2 ]1=[ lim (1 u ) u ]1u 0[ lim (1u 0u ) 2 ] =e -1．例8求 lim (1x 0tanx )cot x ．解 设 t=tanx，则 1 ＝ cotx．t当 x 0 时 t 0，1于是 lim (1 tanx )cot x = lim (1t ) t=e．x 0 t 0小结：两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用，特别要注意其变式。
作业：见首页t (s )s (m)s (m/ s )t0.11.02910.290.010.098499.8490.0010.00980499.80490.00010.0009800499.800490.000010.000098000499.800049上表看出，平均速度s 随着tt 变化而变化，当t 越小时， s 越接近于一个定值—t9.8m/ s．考察下列各式：s = 1 g2(1+t) 2－ 1 g 12= 1 g[2t+(t)2]，2- 1 导数的概念教学过程：引入：一、两个实例实例 1 瞬时速度考察质点的自由落体运动．真空中，质点在时刻t=0 到时刻 t 这一时间段内下落的路程s 由公式s = 1 gt2 来确定．现在来求t=1 秒这一时刻质点的速度．2当 t 很小时，从 1 秒到 1+ t 秒这段时间内，质点运动的速度变化不大，可以这段时间内的平均速度作为质点在 t=1 时速度的近似．22s 12 tt 2= g2( t ) =t12g(2+ t)，思考： 当 t 越来越接近于 0 时，s 越来越接近于t1 秒时的 “速度 ”．现在取 t 0 的极限，得lim0stlim 1 g 20 2tg=9.8(m/ s )．为质点在 t =1 秒时速度为 瞬时速度 ．一般地，设质点的位移规律是s =f( t+ t)- f( t)，在时间段s=f (t)，在时刻 t 时时间有改变量t 内的平均速度为t， s 相应的改变量为v =stf tt 到 t+t tf t ，对平均速度取 t 0 的极限，得v(t)= lim slimf ttf t ，t 0 t t 0 t称 v(t)为时刻 t 的瞬时速。
研究类似的例子实例 2 曲线的切线设方程为 y =f(x)曲线为 L ．其上一点 A 的坐标为 (x 0,f (x 0))．在曲线上点 A 附近另取一点B ，它的坐标是 (x 0+ x, f (x 0+ x ))．直线 AB 是曲线的割线，它的倾斜角记作 ．由图中的严谨规范求真铸魂Rt ACB ，可知割线 AB 的斜率xxtan = CBACy f x 0xx f x 0 ．x在数量上，它表示当自变量从 x 变到 x + x 时函数 f(x )关于变量 x 的平均变化率 (增长率或减小率 )．现在让点 B 沿着曲线 L 趋向于点 A ，此时 x 0， 过点 A 的割线 AB 如果也能趋向于一个极限位置——直线 AT ，我们就称 L 在点 A 处存在 切线 AT ．记 AT的倾斜角为 ，则 为 的极限，若 90 ，得切线 ATyf (x 0+ x) BTAf (x 0) Cx的斜率为tan =limtan =lim ylimf ( x0Ox) f ( x 0 ) ．x 0 x 0+ xx 0 x 0 x x 0 x在数量上，它表示函数 f (x)在 x 处的变化率．上述两个实例， 虽然表达问题的函数形式 y =f(x )和自变量 x 具体内容不同， 但本质都是要求函数 y 关于自变量 x 在某一点 x 处的变化率．1. 自变量 x 作微小变化 x，求出函数在自变量这个段内的平均变化率 y =x 处变化率的近似；y ，作为点x2. 对 y 求 x 0 的极限二、导数的定义limx 0y ，若它存在，这个极限即为点 x 处变化率的的精确值．x1. 函数在一点处可导的概念定义 设函数 y=f( x)在 x 0 的某个邻域内有定义．对应于自变量 x 在 x0 处有改变量 x ， 函数 y =f (x )相应的改变量为 y=f(x0+ x )-f (x 0) ，若这两个改变量的比y f x 0xx f x 0xxx当 x 0 时存在极限，我们就称函数 y =f (x )在点 x 0 处可导 ，并把这一极限称为函数 y =f(x)在点 x 0 处的。