概率学习中的直觉规律与错误 张伟华郜舒竹【摘要】在我国小学数学课程中，“概率〞也叫作“可能性〞通过文献梳理，总结出学生在概率学习过程中容易出现的一些常见错误，其原因是这一内容会呈现出反直觉〔CounterIntuitive〕特征，这与学习者所习惯的直觉规律〔IntuitiveRule〕是相悖的教师在了解学生直觉规律的特点后，可以预见学生的判断，亦可利用学生的误解来改善教学关键词】概率;可能性;直觉规律;错误我国小学数学课程中，“概率〞也叫作“可能性〞已有研究说明，学生在概率这一内容的学习过程中容易出现一些常见错误，其原因是这一内容会呈现出反直觉〔CounterIntuitive〕特征，这与学习者所习惯的直觉规律〔IntuitiveRule〕是相悖的一、什么是直觉规律直觉规律是人们在看待问题时所遵循的，具有普遍性的直觉思维方式通过研究学生的直觉规律，可以解释学生在数学学习中发生常见错误的原因斯塔维和帝罗什等人在对学生直觉的研究中，提出了“越—越〞〔More-More〕直觉规律在比较两个事物时，会因为事物在A量上的不同〔A1>A2〕，导致在比较另一个B量时，出现B1>B2的判断1】例如在图1中，比较两条线段的长度时，直觉上会认为上面线段的长度更长，理由是上面线段的总长度看起来更长，所以这条线段也就更长。
皮亚杰在对学生直觉的研究中也对学生做过类似的实验如图2所示，现在有上、下两排小圆圈，问哪排圆圈个数比较多？有学生发现两排圆圈排列长度不一样，就认为长度比较长的圆圈个数多，出现了“长度越长，个数越多〞的误解皮亚杰还发现，4到9岁的儿童在判断时间跨度问题时，会认为更快的事件用的时间更多这说明，当两个动作产生不同的量时，孩子会认为产生更多量的事件用的时间越长比方，有两辆不同速度的玩具车，儿童会认为跑得快的车用的时间多误以为速度越大，花费的时间越多;或误以为距离越长，花费的时间越多皮亚杰对此解释为：当比较两个持续时间时，孩子们常常只根据两个相关因素之一——速度或距离来进行判断，因为幼儿无法协调所涉及的各种变量，通常是根据其中一个变量来确定时间2】类似的还有“同—同〞〔Same-Same〕直觉规律在比较两个事物时，会因为事物在A量上相同〔A1=A2〕，导致在比较另一个B量时，出现B1=B2的判断3】例如，斯塔维等人对学生做过这样一个测试：有两个杯子，其中，一个杯子有半杯水，另一个杯子有一杯水，在这两个杯子中都参加一勺糖，问哪个杯子里的水比较甜？有很多学生都认为两杯水一样甜，原因是学生觉得参加的糖是相同的，所以水的甜度也是相同的。
实际上，水少的那杯会比较甜，学生没有考虑水的多少，只是认为糖一样多就一样甜学生出现这种错误的原因就是遵循了“同—同〞直觉规律，产生了“同样多的糖—同样甜〞的误解斯塔维等人在研究中发现，当学生被问到两个事物中B1和B2的大小或性质时，很容易受到另一个A量的影响，做出错误的答复例如在图3中，有一个长方形甲，将它的长扩大3倍，宽缩短3倍，变成长方形乙当问学生如何判断甲、乙两个长方形的周长大小关系时，多数学生会认为长乘3，宽除以3，都是3倍的关系，所以相互抵消，从而出现甲、乙两个长方形周长相等的错误判断4】学生在解答这个问题时出现错误的原因也是遵循了“同—同〞直觉规律，产生了“同样变化3倍—同样周长〞的误解除此之外，还有“不同—不同〞直觉规律例如抛一枚硬币三次，出现一次正面向上的可能性和两次正面向上的可能性是否相同？有学生会认为不同因为一次和两次不同，所以一次向上和两次向上的可能性也不同实际上，这两种结果的可能性是相同的，学生可以通过分数乘法计算出结果，也可以通过分析正、反面向上的情况来得出结论二、直觉规律的特征斯塔维和帝罗什在研究中发现，直觉规律具有“自信性〔confidence〕〞“顽固性〔perseverance〕〞“整体性〔globality〕〞“强制性〔coerciveness〕〞“可预见性〔predictivepower〕〞等特点。
对于很多问题，学生只是根据事物的外表特征来判断，他们会对自己看到的事物深信不疑，这种自信往往会造成他们在判断问题时产生误解5】而且在一些问题中，即使学生知道了正确答案，还会坚持自己的想法直觉规律的强制性表达于学生在日常的生活和学习中，会根据已有的生活、学习经验不断认可自己的直觉规律，面对新的学习任务时，习惯性地使用这种规律，就很容易出现错误直觉规律的整体性是指学生对任务的认知方式，学生关注任务本身的整体特征，通过直接感知事物特征得出结论，而不是通过逻辑分析来进行判断此外，直觉规律还具有很强的预测能力教师在了解学生直觉规律的特点后，能够从学生的思维层面了解他们在数学学习中的误解，可以预见学生的判断教师可以在学生产生类似的误解前，通過适宜的教学方式来预防学生出现同样的错误，从而能够利用学生的误解来改善教学三、直觉规律与概率学习中误解的关系分析在对学生的测试中，菲茨拜因发现，学生常常因为遵循直觉来判断问题导致出现误解因此，他在研究中设计了很多有关概率内容的测试，目的是调查学生在概率问题中出现的直觉思维比方在经典的摸球实验中，他给学生出示甲、乙两个盒子，其中，甲盒子中有1个白色弹球和3个黑色弹球，乙盒子中有2个白色弹球和6个黑色弹球，问学生哪个盒子更容易摸到黑球？调查发现大多数学生选择了乙盒子，因为乙盒子中有更多的黑球。
学生会认为在黑色弹球更多的盒子中拿到黑球的时机更大，而没有考虑白球的影响这说明对于小学生而言，绝对的“量〞的多少对于偶然事件的概率是决定性的学生出现这种思维符合直觉规律中的“越—越〞规律，认为黑色弹球越多的盒子，从中摸到黑色弹球的可能性越大皮亚杰和伊勒海德对学生的概率理解做过全面的研究儿童对概率的认识主要经历三个阶段一是前运算阶段〔7～8岁之前〕，儿童不能区分因果事件和随机事件，他们认为没发生的事件更有可能发生二是具体运算阶段〔7、8岁～12岁左右〕，儿童能区分必然事件、可能事件和不可能事件，开始明白概率是有大小的，但还不能具体计算出来对于不放回的实验，儿童经常忽略整体的变化，没有考虑到整体与个体的比例是变化的最后是形式运算阶段〔12岁左右开始〕，儿童能将逻辑和随机概念统合起来，对一些复杂概率问题能做出判断，并能准确计算一些问题的可能性大小6】皮亚杰和伊勒海德做过一个摸球实验：有两个一样的袋子，里面分别放着数目不等的黑球和白球，现要从中取出黑球，问选择哪个袋子更容易摸到经过测试他们发现：处于具体运算阶段的儿童往往只是考虑颜色球的数量，而无视了所有颜色球的总数例如，大多数儿童只是考虑哪个袋子中的黑球比较多，而没有考虑到总的球数有多少，也就是没有考虑其他因素的影响。
处于形式运算阶段的儿童能明白局部和整体的关系，这是理解概率知识的根底，他们能够计算一些简单随机事件的概率并用分数表示，例如他们能用分数表示出黑球占总球数的几分之几，再进行比较格林在对学生比较概率大小的研究中做过类似的摸球实验：从两个袋子中取出某一种颜色的球，问选择哪个袋子更有利通过改变两袋中不同颜色球的比例，来了解学生的想法通过实验，他总结了学生常见的几种选择策略：一是选择小球总数多的那个袋子;二是选择目标颜色球数量多的袋子;三是选择不同颜色球数量差大的袋子;四是选择不同颜色球数量之比大的袋子7】这四种策略表达了学生四种不同的想法，而且都可以用直觉规律中的“越—越〞规律来解释以色列学者斯塔维、帝罗什等人重点研究了学生在数学问题中遵循的直觉规律为了了解学生在概率中的错误原因，他们同样设计了摸球实验，经过调查发现大多数学生选择了目标颜色球更多的箱子对此，他们的解释为学生遵循了“越—越〞直觉规律，误以为黑球越多摸到的可能性越大[8]在此实验的根底上，斯塔维、帝罗什和鲁文〔ReuvenBabai〕又设计了两组摸球实验其中一组实验与上述的摸球实验类似，在黑球多的盒子中摸到黑球的可能性并不高，学生同样容易出现“越—越〞直觉的错误;另一组实验与之相反，在黑球多的盒子中摸到黑球的可能性大。
这个比照实验的目的是既解释了学生容易出现的直觉规律误解，还研究了反应的准确性与反应时间的关系当直觉规律与实验结果相符时，学生的反应准确率高，反应时间更短[9]英国学者彼得布莱恩特和努涅斯在“儿童对概率的理解〞文章中针对15岁的学生设计了类似的摸球实验，目的是研究高年级学生对概率的理解结果发现多数15岁的学生都做出了错误的选择研究者认为孩子出现错误是因为忽略了白球与黑球比例的关系，如果能考虑到比例的问题，就会更好地理解概率[10]由此可见，摸球问题不仅在低年级学生中容易出现错误，在较高年级的学生中也会出现错误这说明，学生在概率问题中容易无视比例的影响，依据直觉选择了目标球数量多的袋子，从而出现了符合“越—越〞直觉规律思维的错误学生在概率问题中除了出现上述的直觉规律外，“等可能性〞偏见也是概率中的主要错误之一等可能性在掷骰子、抛硬币等游戏中很常见，表示一次试验中每一种结果发生的可能性都相等，儿童就会自然地认为类似的随机事件可能性都是相等的勒库特等人在研究中设计了一个掷骰子问题：同时抛两颗标准的骰子，出现一个5和一个6的可能性大，还是出现两个6的可能性大？他们发现，多数学生认为两种结果的可能性一样大。
有些学生给出的理由是：假设一颗骰子已经掷出了6，那么另一颗骰子出现5和6的时机是一样大的，所以掷出一个5一个6和两个6的可能性相同有些学生直接认为掷一颗骰子出现5和6的可能性一样，都是六分之一，在两颗一样的骰子中出现5和6的时机都是一样的还有些学生认为这类随机事件的可能性是相等的，出现哪种结果完全靠运气[11]这几种学生所出现的思维都符合“同—同〞直觉规律，即点数5和6的可能性相同—出现一个5一个6和两个6的可能性相同，或同样是随机事件—发生的可能性是相同的关于学生错误理解概率的研究中，克诺德发现：有些学生会将可能性很大看作必然发生，可能性很小看作必然不发生，50%可能性看作不知道或不能确定他将这种错误现象定义为“预言结果法〞[12]这种错误的特点是，学生将概率看作一种预测，在每次试验结束后会判断说某一概率是对了还是錯了比方，某些学生会认为80%的时机下雨的意思就是将要下雨出现“预言结果法〞错误理解的学生会因为日常生活中出现的现象是确定的，比方某一天能确定到底下没下雨，如果下雨，那么下雨的可能性就很大;如果没下雨，下雨的可能性就很小，而把已经确定的现象和概率联系在一起，但如果把这种“经验〞用到还没发生的事情上，也就必然会出现对问题的误解。
除了“越—越〞直觉规律，学生是否会出现其他的直觉规律呢？如图4所示，在一个摸球游戏中，一个箱子中有两个白球、三个黑球，现在向箱子中再放入两个白球和两个黑球，问：现在从箱子中摸到黑球的可能性相对之前怎么变化？通过对学生直觉规律的研究，可以做出这样的推测：学生可能会认为可能性不变，因为放入的白球个数和黑球个数相同，根据“同—同〞直觉规律，放入同样多的球，摸球的可能性不变可能还有局部学生认为摸到黑球的可能性变大，因为黑球的数量增加了，根据“越—越〞直觉规律，黑球越多，摸到黑球的可能性越大参考文献：【1】Stavy，R.&Tirosh，D.Intuitiverulesinscienceandmathematics：Thecaseof“MoreofA-MoreofB〞.[J].InternationaljournalofScienceEducation，1996，18：653-667.【2】Stavy，R.&Tirosh，D.HowStudentsMisunderstandScienceandMathematics：IntuitiveRules.[M].NewYork：TeacherCollegePress，2000.【3】纪宗秀.从直观法那。