魔靖 123初中数学竞赛资料（初三 16）解三角形甲内容提要甲内容提要 1. 由三角形的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解三角形. 2. 解直角三角形所根据的定理 (在 Rt△ABC 中，∠C=Rt∠). ① 边与边的关系： 勾股定理－－－－――c2=a2+b2. ② 角与角的关系：两个锐角互余－－－－∠A+∠B=Rt∠ ③ 边与角的关系：（锐角三角函数定义）SinA=， CosA=, tanA=, CotA=.ca cb ba ab④ 互余的两个角的三角函数的关系： Sin(90 －A)= CosA， Cos(90 －A)= SinA， ootan(90 －A)= CotA, Cot(90 －A)= tanA.oo⑤ 特殊角的三角函数值： 角 A 的度数030456090SinA 的值02122 231CosA 的值123 2221 0tanA 的值03313不 存 在CotA 的值不 存 在31 330锐角的正弦、正切随着角度的增大而增大（即增函数） ；余弦、余切随着角度的增大 而减小（即减函数）. 3. 解斜三角形所根据的定理 (在△ABC 中)① 正弦定理： =2R. (R 是△ABC 外接圆半径).SinCc SinBb SinAa② 余弦定理： c2=a2+b2－2abCosC； b2=c2+a2－2ca CosB； a2=c2+b2－2cbCosA. ③ 互补的两个角的三角函数的关系：Sin(180 －A)= sinA， Cos(180 －A)= － cosA ， ootan(180 －A)=－cotA， cotA(180 －A)=－tanA.oo④ S△ABC＝absinC=bcsinA=casinB.21 21 214. 与解三角形相关的概念：水平距离，垂直距离，仰角，俯角，坡角，坡度，象限角，水平距离，垂直距离，仰角，俯角，坡角，坡度，象限角， 方位角等方位角等. 乙例题乙例题cbaABC魔靖 123例 1. 已知：四边形 ABCD 中，∠A＝60 ，CB⊥AB，CD⊥AD，CB＝2，CD＝1. o求：AC 的长.解：延长 AD 和 BC 相交于 E，则∠E＝30 .o在 Rt△ECD 中，∵sinE=, CECD∴CE==1÷＝2. EB＝4.o30sin1 21在 Rt△EAB 中， ∵tanE=, EBAB∴AB=EBtan30。
334根据勾股定理 AC＝＝.22 3342）＋（2132又解又解：连结 BD，设 AB 为 x，AD 为 y. 根据勾股定理 AC2＝x2+22=y2+12.根据余弦定理 BD2＝x2+y2－2xyCos60 =22＋12－2×2×1Cos120 .oo得方程组 . 07032222xyyxyx，解这个方程组， 得 x=. (以下同上一解)334例 2. 已知：如图，要测量山 AB 的高，在和 B 同一直线上的 C，D 处,分别测得对 A 的 仰角的度数为 n 和 m，CD=a. 试写出表示 AB 的算式. 解：设 AB 为 x，BD 为 y. 在 Rt△ABD 和 Rt△ABC 中， .cotcot nxaymxy，xCotm=xCotn－a . ∴ x=.CotmCotna 答：山高 AB＝.CotmCotna 例 3. 已知：四边形 ABCD 中，∠ABC＝135 ，∠BCD＝120 ，CD＝6，AB＝，oo6BC＝5－.3求：AD 的长. （（1991 年全国初中数学联赛题）年全国初中数学联赛题） 解：作 AE∥BC 交 CD 于 E， BF⊥AE 于 F， CG⊥AE 于 G..yx6012A BCDEyxanmABCD魔靖 123在 Rt△ABF 中，BF＝Sin45 =, AF＝BF＝.6o33在 Rt△CGE 中，GE＝CGtan30 =×＝1, o333∴CE＝2， ED＝4.∴AE=+5－+1=6， ∠AED＝120 .33o在△AED 中，根据余弦定理，得AD2＝62＋42－2×6×4Cos120 =76.o∴AD＝2.19例 4. 如图，要测量河对岸 C，D 两个目标之间的距离，在 A，B 两个测站，测得平面角∠CAB＝30 ，∠CAD＝45 ，∠DBC＝75 ，∠DBA＝45 ，AB＝.oooo3试求 C，D 的距离. 解：在△ABC 中，∵∠ACB＝∠CAB＝30 ，o∴BC＝AB＝, 3∴AC＝2cos30 =3.3o在△ABD 中，∠ADB＝60o由正弦定理， ＝， o45sinADo60sinABAD＝×sin45 =÷×＝.o60sinABo323 222在△ACD 中，由余弦定理，得CD2＝32＋（）2－2×3×Cos45 =522o∴CD＝.5例 5. 已知：O 是凸五边形 ABCDE 内的一点且∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8. 求证：∠9 和∠10 相等或互补 (1985 年全国初中数学联赛题年全国初中数学联赛题) 证明：根据正弦定理，得5sin4sin3sin2sin1sin10sinOAODOCOCOBOB=.9sin8sin7sin6sinOAOEOEOD3¡¡ºÓÁ÷75453045 ABCD10987654312ABCDEO5£366120135ABCDEFG魔靖 123∴sin10=sin9 ∴∠9 和∠10 相等或互补.例 6. 已知：二次方程 mx2－(m－2)x+(m－1)=0 两个不相等的实数根，恰好是直角三41角形两个锐角的正弦值. 求：这个直角三角形的斜边与斜边上的高的比. 解：作 Rt△ABC 斜边上的高 CD.则 sinA=, sinB=.ACCD BCCD∵sinA 和 sinB 是方程的两根， 根据韦达定理，得sinA+ sinB=； (1) mm2sinA sinB= . (2) mm 41即=. （3）ACCD BCCD mm 41(1)2－2(2)得： (sinA)2+(sinB)2=()2－.mm2 mm 21∵sinB=cosA, 且 (sinA)2+( cosA)2=1，∴()2－=1， mm2 mm 21m2+7m－8=0, ∴m=1， m=－8.由（3）＝＝.ACCD BCCD ABCD ABCDCD2 ＝mm 41∴＝.CDAB 14 mm当 m=1 时，没有意义； 当 m=-8 时，=. CDAB 932即直角三角形斜边与斜边上的高的比是 32∶9.丙练习丙练习 1. 填空：① 如果从点 A 对着点 B 测得仰角是 60 ，那么从点 B 对着点 A 测得的俯角是＿＿度.o② 点 C 在点 D 的南偏东 25 ，那么点 D 在 C 的方向是＿＿＿＿＿＿.o③ 斜坡 AB 的坡角是 30 ，那么 AB 的坡度 i=1∶＿＿＿.o④ 锐角 A＞45 ，那么下列函数的取值范围是：oSinA_____， CosA_____， tanA_______，cotA________.⑤ 已知：30 ＜∠A＜60 ，那么如下的函数的取值范围是oo∠A 的余弦＿＿＿＿＿＿＿＿，∠A 的正切＿＿＿＿＿＿＿.ABCD魔靖 1232. 已知：△ABC 中，∠B＝45 ，AC＝7，点 D 在 BC 上，CD＝3， D＝5.o求 AB 的长. 3. 如图观测塔 AB 的高为 a 米，从塔顶 A 测得地面上同一方向上的两个目标 C，D 的俯角分别是 30 和 45 ，oo求 CD 的距离. 4. 船 A 在船 B 的正北，它们同时向东航行，时速分别是 15 和 20 海里，3 小时后，船 B 在船 A 的东南，问这时两船相距多远？5. 一只船向南航行，出发前在灯塔 A 的北偏东 30 ，相距 15 海里，2 小时后，灯塔在船o的北偏西 60 ，求船的航行速度.o6. 如图要测量建筑物 AB 的高，先在楼下 C 测得对顶端 A 的仰角为 45 ，然后在楼上 D 测得对 A 的仰角为 30 ，已知oo楼高 CD=m 米，求 AB. 7. 已知：△ABC 中，a=21, b=17, c=10.求：S△ABC. 8. 已知：△ABC 中，SinA∶ SinB∶SinC=3∶5∶7. 求：△ABC 的最大角的度数.9. 船 B 在艇 A 的方位角 120 ，相距 24 海里处，发出呼救，报告说：它沿着方位角 240o的方向前进，速度是每小时 9 海里. A 艇以最快的时速 21 海里赶去营救，问应沿什么o方向，要经过几小时才能靠近船 B？ 10. 已知：锐角三角形 ABC 的外接圆直径 AE 交 BC 于 D.求证：tanB×tanC=AD∶DE提示：作 BC 边的高 AF(h)并延长交圆于 G,连结 GE11. 已知：△ABC 中，∠A=45 ，AB=，BC=2，不用正弦定理能解答这个三角形吗？o6如不能，说明理由；如能请解这个三角形. (1981 年福建省初中数学联赛题年福建省初中数学联赛题) 12. 如图已知：ABCD 为圆内接四边形，过 AB 上一点 M 引 MP，MQ，MR 分别垂直于 BC，CD，AD，连结 PR 和 MQ 交于 N.求证：.MABM NRPN(1983 年福建省初中数学联赛题年福建省初中数学联赛题) 13. 如图已知：锐角△ABC 中，AC=1，AB=c，△ABC 的外接圆半径 R≤1.求证： Cos0②……233。