第三章 流体动力学基础 本章是流体动力学的基础主要阐述了流体运动的两种描述方法,运动流体的基本类别与基本概念，用欧拉法解决运动流体的连续性微分方程、欧拉运动微分方程及N-S方程此外，还阐述了无旋流与有旋流的判别，引出了流函数与势函数的概念，并且说明利用流网与势流叠加原理可解决流体的诸多复杂问题第一节 流体流动的基本概念 1.流线 （1）流线的定义 流线（stream line）是表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线，曲线上任一点的切线方向与该点的流速方向重合图3-1为流线谱中显示的流线形状 （2）流线的作法： 在流场中任取一点（如图3-2），绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量u1，再画出距1点很近的2点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量u2…，如此继续下去，得一折线1234 …，若各点无限接近，其极限就是某时刻的流线 流线是欧拉法分析流动的重要概念 图3-1 图3-2（3）流线的性质（图3-3） a.同一时刻的不同流线，不能相交。
图3-3 因为根据流线定义，在交点的液体质点的流速向量应同时与这两条流线相切，即一个质点不可能同时有两个速度向量 b.流线不能是折线，而是一条光滑的曲线 因为流体是连续介质，各运动要素是空间的连续函数 c.流线簇的疏密反映了速度的大小（流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小） 因为对不可压缩流体，元流的流速与其过水断面面积成反比 （4）流线的方程（图3-4） 根据流线的定义，可以求得流线的微分方程： 图3-4 设ds为流线上A处的一微元弧长: u为流体质点在A点的流速: 因为流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速分量，u和ds重合 所以即 展开后得到：——流线方程 （3-1）（或用它们余弦相等推得) 2.迹线(1)迹线的定义 迹线(path line)某一质点在某一时段内的运动轨迹线 图3-5中烟火的轨迹为迹线 (2)迹线的微分方程 （3-2） 式中，ux,uy,uz 均为时空t,x,y,z的函数，且t是自变量。
图3-5 注意：流线和迹线微分方程的异同点 ——流线方程 3.色线（colouring line) 又称脉线，是源于一点的很多流体质点在同一瞬时的连线 例如：为显示流动在同一点投放示踪染色体的线，以及香烟线都是色线图3-6 考考你：在恒定流中，流线、迹线与色线重合 流线、 迹线、 色线的比较： 概念名流线是表示流体流动趋势的一条曲线，在同一瞬时线上各质点的速度向量都与其相切，它描述了流场中不同质点在同一时刻的运动情况 流线方程为：式中时间t为参变量 迹 线 迹线是指某一质点在某一时刻内的运动轨迹，它描述流场中同一质点在不同时刻的运动情况 迹线方程为：式中时间t为自变量 脉 线 脉线（色线）是指源于一点的很多流体质点在同一瞬时的连线 例1 如图3-7，已知流速场为，其中C为常数，求流线方程 解：由式得 积分得： 则： 此外，由得： 图3-7 因此，流线为Oxy平面上的一簇通过原点的直线，这种流动称为平面点源流动（C＞0时）或平面点汇流动（C＜0时） 例2 已知平面流动 试求：（1）t=0时，过点M（-1，-1）的流线。
2）求在t=0时刻位于x=-1，y=-1点处流体质点的迹线解：（1）由式 （2）由式 得 得 得： 由t=0时，x=-1，y=-1得C1=0, C2=0，则有： 将：t=0，x=-1，y=-1 代入得瞬时流线 xy=1 最后可得迹线为： 即流线是双曲线 例3 已知流动速度场为 试求：（1）在t= t0 瞬间，过A（ x0，y0，z0 ）点的流线方程； （2）在t= t0 瞬间，位于A（ x0，y0，z0 ）点的迹线方程 解：（1）流线方程的一般表达式为 将本题已知条件代入，则有： 积分得：（1+t）lnx = lny + lnC ' 当t= t0时，x=x0，y=y0 ，则有 故过A（ x0，y0，z0 ）点的流线方程为 （2）求迹线方程 迹线一般表达式为 代入本题已知条件有： 由(1)式得： 当t= t0时，x=x0代入上式得 由(2)式得： 当t= t0时，y= y0代入上式得 故迹线方程为 t是自变量，消t后得到的轨迹方程为迹线方程： 二、流体流动的分类 1.层流与紊流 （1）层流的定义 层流（laminar flow）（图3-8） 图3-8 亦称片流，是指流体质点不互相混杂，流体质点作有条不紊的有序的直线运动。
特点： （1）有序性 （2）水头损失与流速的一次方成正比 （3）在流速较小且雷诺数Re较小时发生 图3-9 层流遵循牛顿内摩擦定律，粘性抑制或约束质点作横向运动 紊流 紊流（turbulent flow)（图3-10） 亦称湍流，是指随流速增大，流层逐渐不稳定，质点相互混掺，流体质点沿很不规则的路径运动 特点： （1）无序性、随机性、有旋性、混合性 （2）水头损失与流速的1.75~2次方成正比 （3）在流速较大且雷诺数较大时发生 图3-10 紊流是工程实践中最常见的一种流动，如图3-9，紊流微团不仅有横向脉动，而且有相对于流体总运动的反向运动，紊流中质点运动要素具有随机性，流速的大小方向随机变化，没有两个流体质点可以沿着同样的、甚至相似的路径运动紊流就是压力表指针不断摆动的原因 想一想：城市污水管网中的出水口（淹没出流）附近的流体流动属于 （层流 ，紊流） 2.恒定流与非恒定流 （1）恒定流定义 恒定流（steady flow）：又称定常流，是指流场中的流体流动，空间点上各水力运动要素均不随时间而变化。
图3-11） 即： 图3-11 三者都等于0 （2）注意 严格的恒定流只可能发生在层流，在紊流中，由于流动的无序，其流速或压强总有脉动，但若取时间平均流速（时均流速），若其不随时间变化，则认为该紊流为恒定流 非恒定流 （1）定义 非恒定流（unsteady flow）：又称非定常流，是指流场中的流体流动空间点上各水力运动要素中，只要有任何一个随时间的变化而变化的流动图3-12） 即： 三者中至少一个不等于0 图3-12 （2）注意 在非恒定流情况下，流线的位置随时间而变；流线与迹线不重合 在恒定流情况下，流线的位置不随时间而变，且与迹线重合 问题：恒定流是：窗体顶端 A、流动随时间按一定规律变化； B、流场中任意空间点的运动要素不随时间变化； C、各过流断面的速度分布相同； D、各过流断面的压强相同 窗体底端问题： 非恒定流是：窗体顶端A、 ； B、 ； C、 ； D、 窗体底端3.均匀流与非均匀流 按质点运动要素是否随流程变化分为: 均匀流——流线是平行直线的流动， 。
图3-13） 均匀流中各过水断面上的流速分布图沿程不变，过水断面是平面，沿程各过水断面的形状和大小都保持一样例：等直径直管中的液流或者断面形状和水深不变的长直渠道中的水流都是均匀流 图3-13 非均匀流——流线不是平行直线的流动， 非均匀流中流场中相应点的流速大小或方向或同时二者沿程改变，即沿流程方向速度分布不均例：流体在收缩管、扩散管或弯管中的流动非均匀流又可分为急变流和渐变流） 想一想：何谓均匀流及非均匀流？以上分类与过流断面上流速分布是否均匀有无关系？ 答案：均匀流是指流线是平行直线的流动， 非均匀流是流线不是平行直线的流动， 这个分类与过流断面上流速分布是否均匀没有关系 4.渐变流与急变流 非均匀流中如流动变化缓慢，流线的曲率很小接近平行，过流断面上的压力基本上是静压分布者为渐变流(gradually varied flow)，否则为急变流 渐变流——沿程逐渐改变的流动图3-14） 图3-14 特征：流线之间的夹角很小即流线几乎是平行的，同时流线的曲率半径又很大（即流线几乎是直线），其极限是均匀流，过水断面可看作是平面。
渐变流的加速度很小，惯性力也很小，可以忽略不计 急变流——沿程急剧改变的流动 特征：流线间夹角很大或曲率半径较小或二者兼而有之，流线是曲线，过水断面不是一个平面急变流的加速度较大，因而惯性力不可忽略 想一想：何谓渐变流，渐变流有哪些重要性质？ 答案：渐变流是指沿程逐渐改变的流动渐变流的性质：流线之间的夹角很小即流线几乎是平行的，同时流线的曲率半径又很大（即流线几乎是直线），其极限是均匀流，过水断面可看作是平面渐变流的加速度很小，惯性力也很小，可以忽略不计 按液流运动要素所含空间坐标变量的个数分： 一元流 一元流(one-dimensional flow):流体在一个方向流动最为显著，其余两个方向的流动可忽略不计，即流动流体的运动要素是一个空间坐标的函数若考虑流道（管道或渠道）中实际液体运动要素的断面平均值，则运动要素只是曲线坐标s的函数，这种流动属于一元流动图3-15） 图3-15二元流 二元流(two-dimensional flow):流体主要表现在两个方向的流动，而第三个方向的流动可忽略不计，即流动流体的运动要素是二个空间坐标（不限于直角坐标）函数图3-16） 图3-16 图3-17 如实际液体在圆截面（轴对称）管道中的流动，如图3-17，运动要素只是柱坐标中r, x的函数而与q角无关，这是二元流动。
又如在x方向很长的滚水坝的溢流流动，可以认为沿x轴方向没有流动，仅在Oyz一系列平行的平面上流动，而且这些平面上各点的流动状态相同，其运动要素只与两个位置坐标(y,z) 有关，因而只需研究平行平。