指数与对数专题初步一.指数与指数运算1、 指数式：形如ab = N , a叫做底数,b叫做指数,N叫做幂.12、 0指数幕与分数指数幕：(1)ao = 1(a丰0)； (2) a -« = 一 (a 丰 0).a, n为奇数I a I, n为偶数an3、根式性质：(1)(na)n = a ； (2) n；an 4、 分数指数幂：(1) 正分数指数:an =灵a (a > 0), an = nam (a〉0, m、n g N*,巴为既约分数). nm 1 m(2) 负分数指数幕：a-n = (a > 0,m、n g N*,-为既约分数).m nan5、指数幕运算法则：(1) am . an = am+n ； (2) = am-n ； (3) (flm )n = Qm-n ； (4) (flb)n = Qn • bn .an二•对数与对数运算1•对数定义：若恥=N(a > 0,且a工1)，则b叫做以a为底N的对数，记作b = log N，a叫做底，N a叫做真数.log N(2)对数恒等式：a|°gaN = N(a > 0,且a工1, N > 0) (3)对数换底公式：log N = a— b log ba(4)对数的性质：①负数与零没有对数；②log a = 1，log 1 = 0 ；③log b -log a = 1 a a a b (5)常用对数：以10为底的对数log10 N叫做常用对数，简记作lgN ；自然对数：以e为底的对数log N叫做自然对数，简记作lnN。
e 2. 对数的运算性质若a > 0,且a丰1， M > 0, N > 0 ；贝【」M⑴ log (MN) = log M + log N ；⑵ log = log M - log N ； a a a a N aa(3)log Mn =nlog M；a a(4)logamMn =— logM.ma例：计算lg 0.01 = ； log 9 =3【变式1】已知log 2 = m,log 3 = n，求a2m+n.aa三.指数函数y=ax与对数函数y=log °-的比较:yo=los23 一y=i 吕定义图象定义域值域性质奇偶性单调性过定点值的分布最值y=ax(a>0 且 a^1) 叫指数函数X a>1 Ry>0无增(0, 1)a0—1x>0 时 y>1；00 时 01logy— a(a>0 且 aM 1)叫对数函数a>1-x>0R无增(1, 0) log 1—0x>1 时 y>0； 01 时 y<0；00对称性函数y=ax与y=ap (a>0且aM1)关于y轴对称；函数y—ax与y=log x关于y=x对称a函数y=logx与y— log1 x (a>0且aM1)关于x轴对称a■a2. 记住常见指数函数的图形及相互关系以及常见对数函数的图形及相互关系3. 几个注意点(1) 函数y=ax与对数函数y=logax (a>0, aH1)互为反函数，从概念、图象、性质去理解它们的区别和联系；(2) 比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型。
在具体比较时，可以首先将它们与零比较， 分出正负；正数通常可再与1 比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较；(3) 在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的 应用研究指数、对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制随堂练习1. 已知函数f(x) =log X (a〉0且aH 1)的反函数为y = f-i(x)，且有反函数值f-i(2)〈l,则下列图象中是a函数f(x)的图象的序号是 .2. 将函数y=log2x的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数f(x)的图象，则f(x)的解析式是 3. 若定义在区间(一1,0)上的函数f(x)=log (x+1)满足f(x)>0,则a的取值范围是 .2a4. 已知 0〈a〈1,x = log 2 + log 3, 寸21 —logpl,则x、y、z的大小关系为 .a a a a a5. 若 a=log3n b = log76, c = log20.8,则 a、b、c 的大小关系是 .6. 已知函数f(x) =1 + log x(a〉0，且aH1), f-i(x)是f(x)的反函数.若f-i(x)的图象过点(3,4),则aa7. 设a>1,函数f(x)=logx在区间［a,2a］上的最大值与最小值之差为2则a等于 .a28. 设 a>1,且 m=log(a2+1), n=log(a—1), p = log (2a)，则 m、n、p 的大小关系是 .a a a9. 在同一平面直角坐标系中，函数y = g(x)的图象与y = ex的图象关于直线y=x对称，而函数y=f(x)的图象与y = g(x)的图象关于y轴对称.若f(m)= —1,则m= .2x 110. 已知 f(x) —lga+bx， f(1) —0，且当 x>0 时，恒有 f(x) — fQ =lgx.(1)求常数a、b的值； (2)求f(x)的定义域.11. 已知函数f(x) — log x(a>0，且aH1),如果对于任意xe［3,+^)都有|f(x)|21成立，求a的取值a范围．课后作业：81 3】、•(才lg25 + lg2 • lg50 + (lg2) 2 = 2、当a > 0且a丰1时，函数f (x) = ax-2 — 3必过定点 3、设a > 1，且m 二g( 42 + , n 二 log (a +1), p = log (2a)，则 m, n , 的大小关系为 a a a4、函数y二log,x2 — 5x + 6)的单调增区间为 27、若奇函数 f (x)满足 f (x + 2) = -f (x),且当 x e(01)时，f (x)二 2x，则 f (log] 18)二 29、⑵求值：3log72 - log79 + 2log7410、已知函数 f (x)二 log (4x +1) + kx (k g R)是偶函数.(1)求k 的值；(2)设 g(x)二 log (a • 2x — a),4 4 3若函数f (x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围.。