第五章第五章 二次型二次型§§5.15.1 二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示§§5.25.2 标准形标准形§§5.35.3 唯一性唯一性§§5. 5.4 4 正定二次型正定二次型章小结与习题章小结与习题*数学与计算科学学院一、二次型的标准形一、二次型的标准形二、合同的变换法二、合同的变换法三三、、小结小结§§5.25.2 标准形标准形DateDate数学与计算科学学院二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型它的矩阵是对角阵 平方和的形式？若能，如何作非退化线性替换？ 任意二次型能否经过适当非退化线性替换化成?DateDate数学与计算科学学院证明： 对二次型变量个数n作归纳法.假定对n－1元二次型结论成立. 一、二次型的标准形一、二次型的标准形过非退化线性替换化成平方和的形式.1、（定理1）数域P上任一二次型都可经n=1时， 结论成立.下面考虑n元二次型DateDate数学与计算科学学院DateDate数学与计算科学学院这里， 是一个.的n－1元二次型.配方 法DateDate数学与计算科学学院它是非退化的，且使DateDate数学与计算科学学院使它变成平方和 于是，非退化线性替换 由归纳假设，对 有非退化线性替换DateDate数学与计算科学学院就使 变成2） 但至少有一个 不妨设 作非退化线性替换： DateDate数学与计算科学学院不为零.由情形1）知，结论成立.则 这是一个 的二次型，且 的系数 DateDate数学与计算科学学院这是一个n－1元二次型，由归纳假设，结论成立. 总之，数域P上任一二次型都可经过非退化线性替换化成平方和的形式.即3） 由对称性， DateDate数学与计算科学学院2、二次型的标准形的定义所变成的平方和形式注：1）由定理1任一二次型的标准形是存在的. 2）可应用配方法得到二次型的标准形.二次型 经过非退化线性替换 的一个标准形. 称为 DateDate数学与计算科学学院则 解：作非退化线性替换 例1、求的标准形.DateDate数学与计算科学学院或 最后令 则 或 再令 DateDate数学与计算科学学院所作的非退化线性替换是 即 则 DateDate数学与计算科学学院3、（定理2）数域P上任一对称矩阵合同于证：对A的级数作归纳法.假定对n－1级对称矩阵结论成立，考虑n级矩阵A，分四种情形讨论： 使C´AC为对角矩阵． 即 若 A´＝A ，则存在可逆矩阵n＝1时，为对角阵,结论成立.设一个对角矩阵.DateDate数学与计算科学学院这里这里A1为n－1级对称矩阵.DateDate数学与计算科学学院则 这里 是n－1级对称矩阵，DateDate数学与计算科学学院为对角矩阵.由归纳假设，存在可逆矩阵G，使 为对角矩阵.令 则令 则C可逆，且 为对角矩阵.DateDate数学与计算科学学院其中 归结为情形1，结论成立.令 ，则 3) 但有一个 则 令 显然 2) 但有一个 DateDate数学与计算科学学院归结为情形1）.则 4) 由对称性, 有于是 为n－1级对称矩阵.DateDate数学与计算科学学院为对角矩阵.为对角矩阵. 由归纳假设，有n－1级可逆矩阵G，使 令 则DateDate数学与计算科学学院例2 根据定理2，求例1中二次型的标准形.情形3)情形1)令解：的矩阵为DateDate数学与计算科学学院情形1)令令DateDate数学与计算科学学院为对角矩阵.DateDate数学与计算科学学院作非退化线性替换X＝CY，则即得 的标准形DateDate数学与计算科学学院二、合同的变换法二、合同的变换法（1）互换矩阵的 两行，再互 换矩阵的 两列;1. 定义：合同变换是指下列三种变换 （2）以数 k（ ) 乘矩阵的第 i 行；再以数 k 乘（3）将矩阵的第i行的k倍加 到第 行，再将第 列的k倍加到第 列（ ). 矩阵的第 i 列.DateDate数学与计算科学学院2. 合同变换法化二次型为标准形又，设对称矩阵A与对角矩阵D合同，则存在可逆矩阵基本原理：C, 使Ｄ＝Ｃ´ＡＣ. 若 为初等阵，则 DateDate数学与计算科学学院对E施行同样的初等列变换便可求得可逆矩阵C满足就相当于对A作s次合同变换化为D.所以，在合同变换化矩阵A为对角阵D的同时，又注意到所以，DateDate数学与计算科学学院基本步骤：②对A作合同变换化为对角矩阵D对E仅作上述合同变换中的 初等列变换得C③ 作非退化线性替换X=CY，则即① 写出二次型的矩阵A为标准形.D为对角阵, 且DateDate数学与计算科学学院注意注意：：i）若a11≠0，作合同变换：将A的第一行的 倍加到第 j 行，再将所得矩阵的第一列的 倍加到第 j 列,j=2,3,….n则合同变换化对称矩阵 为对角阵D时DateDate数学与计算科学学院ii) 若a11=0，而有某个aii ≠0，作合同变换：互换1, i 两行，再互换1, i 两列，所得矩阵的第1行第1列处元素为aii ≠0，转为情形i)，即DateDate数学与计算科学学院iii) 若aii=0, i=1,2,…n.则必有某个aij≠0(i ≠j)，作合同变换：iv) 对 i）中A1重复上述做法.将第 j 行加到第 i 行，再将第 j 列加到第 i 列，所得矩阵第 i 行第 i 列处元素为2aij ≠0. 转为情形ii).DateDate数学与计算科学学院例3 用合同变换求下面二次型的标准形r1+r2 c1+c2（同例1）解：的矩阵为DateDate数学与计算科学学院r3+r1r2－ r1c3+c1c2－ c1－2r2－2c2c3+2c2r3+2r2DateDate数学与计算科学学院作非退化线线性替换换X=CY, 则则二次型化为标为标 准形 令则DateDate数学与计算科学学院①对A每施行一次合同变换后所得矩阵必仍为对称矩阵.（因为合同变换保持矩阵的对 称性－－可利用这一点检查计算是否正确.）②对对A作合同变换时变换时 ，无论论先作行变换还变换还是先作列变换变换 ，结结果是一致的.③可连续作n次初等行（列）变换后，再依次作n次相应的初等列（行）变换.说明：DateDate数学与计算科学学院作非退化线线性替换换f 的标标准形为为练习：练习：求下面二次型的标准形，并求出所作的非退化线替性换.答案：DateDate数学与计算科学学院的矩阵为阵为详解：DateDate数学与计算科学学院DateDate数学与计算科学学院DateDate数学与计算科学学院令则则作非退化线线性替换换X=CY ，则则 f 的标标准形为为DateDate数学与计算科学学院三、小结1、二次型的标准形基本概念基本结论定理2、数域P上任一对称矩阵合同于一 个对角矩阵.定理1、任一数域P上的二次型 f (x1,x2,…,xn) 都可经过一适当的非退化线性变换X＝CY化为标准形2、合同变换DateDate数学与计算科学学院。