1.设是数域P上线性空间 V的线性变换且 A 2A，证明:（D求det A的直X AX0 ，求w的维数及W的一组基.(D的特征值为 1或0; （2）1(0)A( ) V ；(3)19.设R3的线性变换1A (0) A (V).(x, y, z)3R ,T ((x y,z, z x)2.已知 是n维欧氏空间的正交变换，证明: 的不变子空间.的不变子空间 w的正交补W 也是(0,1,1) ,(1,0,1),(1,1, 0)下的矩阵.20.设 是n维线性空间V上的线性变换,2,L ,是V的一组基.3.已知复系数矩阵 A °(1)求矩阵A的行列式因子、不变因子如果是单射，则A,A ,L1 2,A 也是一组基.n0和初等因子；（2）若当标准形.(15 分)21二次型 f(X1,x2,x3)2x x1 22x x 2x x , 1)1 3 2 3写出二次型 f的矩阵A；22x123x223x32axx (a 0)通过某2 32）求出A的特征值与特征向量;3）求一正交变换，将f化为标准形.个正交变换可化为标准形2f y12 y2 5y写出二次型对应的矩阵 a及22.求方阵a的不变因子、初等因子和若当标准形A的特征多项式，并确定a的宜（2）求出作用的正交变换6.设 A 为| Ax23.空间，n3,给定非零向量nR I (AE）x 0证明a为幕等矩阵，则W2.）- 证明：是正交变换；（2）7.若设W=f(x) f(1) 0, f (x) R[x],3,L ,证明：W是R[x]n的子空间，并求出 w的一组基及维数.交基，则存零实数k1,k2,L kn是V上的恒等变换.8.设V是一个n维欧氏空间,,L , 为V中的正交向量组,2 m24.V1,V2 是 x1Xn 0 和 X xi 10,1,2,L ,n1的解空间，i)0,V,i1,2, L ,m则 Pn V1V225.设 和 是线性空间P[x]中依据如下方式定义的两个线性变换:（1）证明：W的一个子空间;（2）证明：W2,L,(f(x)) f (x) ， (f(x))xf (x),求26.设欧氏空间中有W1L(2,L , n)9.试求矩阵的特征多项式、最小多项式.W2 L(2,L ,10.性空间Pn中定义变换(x1, x2,L ,xn)(0, x2 ,L , x（1）证明:是Pn的线性变换.(2)求值域（Pn）及核1(0)的基和维数.11.证明二次型f ( x1 , L , xn)2)是半正定的.12.求f ( 5 , X2 使x3,x4)(XiX22X3 )是正定二次型.(12 分)13.设 adimW( dimW2.27.求实二次型 f （X1,X2, X3 ,X4）符号差.（15分）2X，24XiX42x x的规范形及八2八328.设A是一个8阶方阵，它的8个不变因子为2(1)(29.设V为数域P证明:1,1,1,1,2X1X2 2X2X3 2（1）求A的不变因子.（2）X1X3X4在基求A的若当标准形.30.2)(上的V在基｛{ 1, 1三维空1,1,1),3）3,求a的所有的初等因子及维线性空间，且 V L（…2,L , 12,L ,,L ,(1,0,1),,L的若当标准形.n)下的坐标为(0,1,1)｝是v的一组基;(n, n 1,L｝下的坐标. n线性变下的矩阵是,21),(14 分)T 在基14.设 R4的线性变换1在标准基下白矩阵为 A1(1)求的特征值和特征向量,(2)求R4的一组标准正交基，使15.设是四维线性空间4在此基下的矩阵为对角矩阵V的一组基，线性变换 在这组基下的矩阵为在基31.（1）(1,(%,0, 0),x?),y证明：（x, y）是(0, 1,0), e(0, 0, 1)下的矩阵.Rn(x,y)(y1, V2)R2 ,其中R2的内积，因而 R2按此内积构成一个欧氏空间,（1）求线性变换的秩,（2）求线性变换核与值域.(2)求R2的一组标准正交基，（3）求矩阵 P ,使得 A32.设 R4的两个子空间为： Vx1x2X3x4 0 ,16.求正交变换使二次型2x14x x1 24xx化为标准形，并判定该二次型是否正定.17.设 e,1e2,L ,e5R5的一组标准正交基，V L(1,,)，其中1 2 3e2e3,e4, 3,求V的一组1标准正交基18.设 A(aij)是n n矩阵,其中4e,5e2e5(X,X2,X3,X4)|XiV I V2的基与维数.33.设 V 是3维线性空间,求（D 在基1, 2,34.设V是实数域上所有定义(A, B)X2 X3 X4V1 V2 与3为它的一个基.线性变换3下的矩阵;:V（2）求核ker和值域Imn阶对称阵所构成的线性空间，对任意trAB ,其中trAB表示ab的迹.（1）证明：V构成一欧氏空间;a..ija,i1,i（2）求使trA0的子空间 S的维数；（3）求s的正交补 s的维数.35.试找出全体实2级矩阵 M 2 （R）所构成的线性空间到 R4的一个线性同构.36.求由(1, 2,1, 0), 2（i,i,i,i）生成的子空间V1与由向量证明：a为暮等矩阵当且仅当Rn W1 W2 .(2,1,0,1),（1, 1,3,7）生成的子空间V2的交的基和维数.57.设A是数域P上线性空间V的线性变换， 1 , 2是 A的特征值，且37.设 A6 ，求（1） A的不变因子、行列式因子、初等因子.(2) a 的V ,V分别是对应于1 2的特征子空间，试证： V2 1V 是直和.2Jordan标准形.38.设pn n是数域定义变换 （A）58.设1,2,3,4是4维空间 V 的一组基，已知线性变换A在这组基下的矩阵为上n n矩阵关于矩阵加法和数乘作成的线性空间,A V . (1)证明:即 是满足 2। （恒等变换）的线性变换;(2)n n上的对合线性变换,的特征值和特征向量f39.已知实二次型(5 ,X2,X3)4X214 X224X234X1X2 4X1X3负定二次型，求t的值；（2）当t形并写出所用的线性变换的矩阵 .4 tx2X31时，试用(1 )假设 f(X1, X2, X3)是非退化线性变换化此二次型为标准40.设13维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵为(1)令,证明 是个单位向量；（2）正交,求k.41.已知W1b|a,b R ，皿 0a1子空间，求| a ,G2 2的两个W,W W的一个基和维数.42. V为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令证明：W1、W2皆为V的子空间，且 V W W .1 243.由三个函数1, cost ,sin t生成的实线性空间记为求线性变换T： V a V , f（t） a f （t -）的迹，行列式和特征多项式44.求-矩阵的初等因子和不变因子45.设为n维欧氏空间V中一个单位向量，定义V的线性变换如下:2(V.证明:为第二类的正交变换47.性空间P2"中，（1）求 L（A1,A2）I L（B1,B2）的维数与一组基； 与一组基.47'.设a 为n维线性空间V 的一个线性变换，且(2)求 L(A1,4) L(B「B2)的维数证明:(1) A的特征值只能是1 或-1；(2)V48.已知二次型f (Xi,X2,X3)22X123x2AV123X3?（恒等变换）， V1.2ax2X3(20）通过正变变换化为标准形V、 2 y2 5y的值及所作的正交变换.49. p3中,线性变换关于基(1,1,1)(1,0,1), 3(0,1,1)的矩阵为(D关于标准基3的矩阵;(2)3,求（），（）关于基50.设（1）求值域3 ｝的坐标.R3的线性变换，Im（）的一个基和维数;（2）求核Ker()的一个基和维数.51. (1)(2)实数域上3阶对称矩阵按合同关系可分为几类；某四元二次型有标准形 2 y12 3y； y2 4 y2,求其规范形.52.设 A（1）求A的最小多项式；（2）求A的初等因子；（3）求A的若当标准形53.设 1(1,1,1, 1),(1, 1, 1,1), 3(1, 1,1, 1)在R4中求与1, 2 ,同时正交的单位向量（内积按通常的定义）54.已知pnn的两个子空间V1A A A Pn n , V2A A A Pn证明：Pn n V1 V255 .求下面矩阵A的列空间在56 .设a为n阶方阵，W1R4中的正交补的一个标准正交基 .（15分）X Rn | Ax 0 , W2 X Rn|（A E）x 011120222215113 , , 一3 ,求A的核和值域.5259.已知向量1,2,4,34,2,4,a基；（2）求a的值，使得. . --T,2 1, 1, 6,6 , 3(1)求线性子空间 W2, 1,2,L(4 1,1, 2,7 T,4）的维数与一个1）所选基下的坐标。