§ 1.7静电场的散度和旋度现在，让我们来考虑静电场两个基本的微分方程一一散度方程和旋度方程i=j1.矢量场的散度和高斯定理(参见教材P848)在连续可微的矢量场A中，对于包含某一点(x,y,z)的小体积△▼,其闭合曲面为S,定义矢量场 A通过S的净通量与△V之比赤hm- = V』的极限 顷(1.7-1)为矢量场A在该点的散度(divergence of A )它是一个标量.显然中=£乂 • dS 工 0若 则该点散度▽-A云0，该点就是矢量场A的一个源点若 $ 则该点散度▽- A = 0，该点不是矢量场A的源点 若所有点上均有▽- A = 0，A就称为无散场.在直角坐标系中矿 A=(逻=绶)3/+ Ay + Asz) dx 方 dz P=也竺+性(1.7-2)dx dy▽ •A在球坐标和柱坐标系的表达式，见教材P850.高斯定理(Gauss, Theorem )对任意闭合曲面S及其包围的体积V,下述积分变换成立:(1.7-3)即，矢量场A通过任意闭合曲面S的净通量，等于它在S所包围的体积V内各点散度的积分.由此可知，若A场通过任何闭合曲面的净通量均为零，它就是无散场，即处处有▽ ・A = 0.这意味着，无散场的场线必定是连续而闭合的曲线.2. 电场的散度方程大家已经知道，电场的高斯定理是个积分方程廖亦=—pdV(1.7-4)其中r表示电荷密度分布函数.由高斯积分变换定理(1.7-3) )，(1.7-4)的左边可化为V内E的 散度之体积分，因此有• EdV =设想体积V缩小成包含某点P (x,y,z )的无限小体积元dV，便得V-玖W孩)=P(勺&)/%(1.7-5)这就是电场高斯定理的微分形式一一电场的散度方程.它表示电荷分布点，即r丰0的点上 ▽・E尹0,这些点就是电场的源点.i=j3. 矢量场的旋度和斯托克斯定理(参见教材P853 )AS在连续可微的矢量场A中，我们设想将A绕着某个很小的闭合路径L积分，△，= A^ 是L 围成的面积元矢量，并且约定：面积元△，的法向"，与路径积分绕行方向符合右旋规则.当△，缩小成某点P （x,y,z ）的无限小邻域，定义如下极限lim —房T。
占sA-dl=(V x ^4) = (V X(1.7-6)为矢量场 A 的旋度▽' A (curl of A , rotation of A )按上述约定若（VXA）若（VXA）若（VXA）在改方向的投影为正值，则A的场线在该点周围形成右手涡旋 为负值，则A的场线在该点周围形成左手涡旋 =0，A线在该点不形成涡旋如果在所有点上均有VX A =0，则A场就称为无旋场 在直角坐标系中，A的旋度为“=（璀+眉+璀）心混侦+相=（霸告）"夺峥E（孕一普），dz ax ax qy（1.7-7）VXA在球坐标和柱坐标系中的表达式，见教材P855.斯托克斯定理（Stokes, Theorem ）对任意闭合路径L及其围成的曲面S,下述积分变换成立:\A-di = L (Vx A)- dS(1.7-8)即，矢量场A沿任意闭合路径L的环量，等于它在L所围的任意曲面S上各点旋度的面积分. 由此可知，若矢量场A沿任意闭合路径L的环量恒为零一一保守场，它就是无旋场，即处处有V XA = 0.4. 静电场的旋度方程我们知道，静电场是一个保守场，即对任意闭合路径L，E的环量均为零(1.7-9)据斯托克斯定理(1.7-8)，我们可得到(1.7-9)的微分形式▽ X E = 0 (1.7-10)这表示，静电场是无旋场.如大家所知，静电场的E线始发于正电荷，终止于负电荷，E线无涡 旋状的结构磁场线(B线)则是围绕电流构成闭合的、涡旋状的结构.(1.7-5)和(1.7-10)是静 电场两个基本的微分方程.静电场的两个基本的微分方程至此，我们已经得到静电场的两个基本的微分方程:(1.7-5)▽ X E = 0 (1.7-10)(1) 这两个方程分别是静电场的高斯定理抨航=:L pdV和环路定理f卢,成=0的微分形式(2) 这两个方程描述了静电场的有源无旋性质: 电荷分布点是电场的源点 静电场的场线无涡旋状结构。