建筑外窗抗风压强度计算公式理论探源王逸超 王桂明 在使用过程中，建筑外窗所承受的荷载，主要是垂直于外窗的横向水平风荷载因此，设计和计算建筑外窗的抗风压强度，是保障外窗在使用过程中的安全性、稳定性及经济性的重要措施之一而搞清抗风压强度计算公式的来龙去脉，对精确设计计算和验算建筑外窗抗风压强度具有重要作用 建筑外窗抗风压强度公式由荷载计算、截面特性确定、弯矩计算、挠度计算四个方面构成下面将分步探源 荷载计算 荷载分步 因建筑外窗在风荷截作用下，承受的是与外窗垂直的横向水平力，外窗各框料间构成的受荷单元，可视为四边铰接的简支板在每个受荷单元的四角各作４５度斜线，使其与平行于长边的中线相交这些线把受荷单元分成４块，每块面积所承受的风荷载传给其相邻的构件，每个构件可近似地简化为简支梁上呈矩形、梯形或三角形的均布荷载这样的近似简化与精确解相比有足够的准确度，满足工程设计计算和使用的需要，简化方法如图１、２、３ 图1 双扇平开窗中竖梃梯形荷载简图图2 条形窗中横梃三角形荷载简图 图中近似的简化关系可用力学中力的平移来描述横向水平风荷载垂直作用于玻璃及窗框，作用于玻璃及窗框上的荷载可视为均布荷载。
如在窗框上作一对大小相等、方向相反的作用力与反作用力，作用力与反作用力的大小等于均布荷载的集中力这样，均布风荷载对受力杆件的作用，则简化为一个推（拉）力与一个力偶的组合（迎风为正压受推，背风为负压受拉）因力偶与门窗的挠曲关系不大，故在研究建筑外窗抗风压强度时可忽略力的平移关系如图４、图５所示： 图3 双扇带上亮平开窗中横梃矩形荷载简图图４ 建筑外窗受横向风荷载剖面图图５ 建筑外窗框（扇）简化受力图 荷载计算 建筑外窗在风荷载作用下，受力构件的总荷载（Ｑ）为该构件所承受的受荷面积（Ａ）与施加在该面积的单位风荷载（Ｗ）之乘积 Ｑ＝ＡＷ 式中：Ｑ—受力构件所承受的总荷载； Ａ—受力构件所承受的受荷面积 Ｗ—施加在受荷面积上有单位风荷载 截面特性的确定 建筑外窗的受力构件在材料、截面积和受荷状态确定的情况下，构件的承载能力主要取决于截面形状，即截面的惯性矩 惯性矩的定义 图６ 任意平面图形的惯性矩 阵任意平面图形如图６，其面积为Ａｙ轴和ｚ轴为图形所在平面的坐标轴在坐标（ｙ、ｚ）处取微面积ｄＡ，Ｚ２ｄＡ和ｙ２ｄＡ分别称为微面积ｄＡ对ｙ轴和ｚ轴的惯性矩；而遍及整个图形面积的积分 Ｉｙ＝∫ＡＺ２ｄＡ ＩＺ＝∫Ａｙ２ｄＡ 则分别定义为图形对ｙ和ｚ轴的惯性矩，也称为图形对ｙ轴和ｚ轴的二次矩。
以ρ表示微面积到坐标原点Ｏ的距离，下列积分 Ｉρ＝∫Ａρ２ｄＡ 定义为图形对坐标原点Ｏ的极惯性矩因ρ２＝ｙ２＋Ｚ２，于是有 Ｉρ＝∫Ａρ２ｄＡ＝∫Ａｙ２ｄＡ＋∫ＡＺ２ｄＡ＝ＩＺ＋Ｉｙ 所以，图形对任意一对互相垂直的轴的惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩 由惯性矩的定义可知，惯性矩的大小与图形形状、面积及坐标的选取有关 惯性矩的用途 惯性矩是用来计算或验算杆件强度、刚度的一个辅助量，量纲为长度的四次方惯性矩与材料本身无关，只与截面几何形状、面积有关，无论是铁、铝，还是木材、塑料，只要截面积及几何形状相同，则它们的惯性矩相等至于相同惯性矩而不同材料间的强度、刚度，则取决于材料的性质，即模量系数惯性矩因与截面几何形状有关，使得惯性矩的计算较为繁琐对于简单的几何图形可以手工算出，复杂的几何断面，手工计算耗时费力，一般采用查《型钢表》得出对于近年来崛起的塑钢门窗型材，目前没有《型钢表》可查，一般采用电脑中的ＡｕｔｏＣＡＤ程序计算，或由型材生产厂家直接提供各种型材断面的惯性矩 简单截面惯性矩的计算 ａ、矩形截面的惯性矩 设矩形高为ｈ，宽为ｂ，坐标轴的中心位于矩形的中心位置（如图７）。
先求图形对ｙ轴的惯性矩取平行于ｙ轴的狭长条作为微面积ｄＡ则ｄＡ＝ｂｄｚ 用相同的方法可以求得 ｂ、方管截面的惯性矩 当一个平面图形由若干个简单图形组成时，根据惯性矩的定义，可先算出每一个简单图形的惯性矩，然后求其总和，即等于整个图形对于同一轴的惯性矩用公式表示为 图８ 方管截面于是可得方管惯性矩 ｃ、等厚槽形钢的惯性矩 ａ例中的矩形截面和ｂ例中的方管截面，其坐标轴建在对称图形的中点，坐标原点就是图形形状的中心即形心在进行受弯杆件的强度和刚度计算时，一般都要确定杆件横截面的形心主惯性轴的位置，并计算形心主惯性矩的数值，因截面的形心就是截面的重心，而力学中力的研究是以重心为基础的事实上，人们常说的对某某轴的矩就是指杆件横截面形心轴的主惯性矩遇到图形不对称或形心不能直观的确定时，必须通过形心计算公式，确定出形心位置，然后求出形心轴的主惯性矩 当一个平面图形由若干个简单图形（例如矩形、圆形、三角形等）组成时，组合图形的形心坐标，等于各简单图形的面积与简单图形的形心坐标的乘积的代数和除以各简单图形面积的代数和这就是组合图形形心坐标的计算公式，用代数式表示为 ｙ：组合图形ｙ轴方向形心坐标；Ｚ：组合图形ｚ轴方向形心坐标； ｙｉ：各单一简单图形ｙ轴方向形心坐标；Ｚｉ：各单一简单图形式ｙ轴方向形心坐标； Ａｉ：各单一简单图形的面积。
图９ 等厚槽钢 根据组合图形求形心的代数式，等厚槽钢的形心坐标可采用将其分割成三个矩形（如图９），各矩形的形心坐标就位于各图形中心，各矩形图形的面积也容易求得算式如下 如设定ａ＝ｂ＝２０，ｔ＝２，则ＡⅠ＝ＡⅡ＝４０，ＡⅢ＝３２；ｙⅠ＝１，ｙⅡ＝１９，ｙⅢ＝１０；ＺⅠ＝ＺⅡ＝１０，ＺⅢ＝１； 则等厚槽形钢形心轴的坐标为： 通过上式计算可以看到，等厚槽形钢的形心并不在图形的正中心，而是在ｚ轴方向上向下偏移了一个２．６的距离等厚槽形钢的形心位置确定后，如用惯性矩的定义来计算等厚槽形钢的惯性矩，则比较繁锁工程计算上，常用平移轴公式来进行计算，平移轴公式的定义为：形心轴的惯性矩等于图形中任一点与形心轴平行的坐标轴的惯性矩，加上两轴间距离的平方乘所求图形的面积若是若干个简单图形组合时，则分别算出每一个简单图形对形心轴的惯性矩，然后求和，则为整个图形对形心轴的惯性矩用代数式表示为： Ｉｙ＝Ｉｙｃ＋ａ２Ａ Ｉｚ＝Ｉｚｃ＋ｂ２Ａ Ｉｙ：形心轴在ｙ方向的惯性矩；Ｉｙｃ：各单一简单图形形心ｃ点在ｙ轴方向的惯性矩； ａ：各单一简单图形形心轴ｙｃ与组合图形形心轴ｙ之间的距离； Ａ：各单一简单图形的面积； Ｉｚ：形心轴在ｚ方向的惯性矩；Ｉｚｃ：各单一简单图形形心ｃ点在ｚ轴方向的惯性矩； ｂ：各单一简单图形形心轴ｚｃ与组合图形形心轴ｚ之间的距离。
等厚槽形钢惯性矩的计算方法如下： 整个图形对ｙ和ｚ轴的惯性矩为： 通过本例可直观看到，图形对ｙ轴、ｚ轴的惯性矩相差达４．９倍之多，在图示槽形钢的使用中，如让ｙ轴垂直于截荷，则可较大增加杆件的承载能力 弯矩的计算 弯矩的定义 生产实践中经常遇到，作用于杆件上的外力垂直于杆件轴线，使变形前原为直线的轴线，变形后成为曲线，这种形式的变形为弯曲变形凡是以弯曲变形为主的杆件，习惯上称为梁 建筑外窗受风荷载时，不同部位的杆件，在某一载荷作用下，可以简化为静定梁，杆件的支承方式可简化为铰支座通常将杆件简化为简支梁或外伸梁 图10 静定梁 如图１０所示的静定梁，在已知集中荷载Ｐ１、Ｐ２、Ｐ３作用下发生弯曲，ＲＡ、ＲＢ为两端的支座反力为了显示横截面上的内力，沿截面ｍｍ假想的把梁分成两部份，并以左段为研究对象由于原来的梁处于平衡状态作用于左段的力，除外力ＲＡ和Ｐ１外，在截面ｍｍ上还有右段对它作用的内力把这些内力和外力投影于ｙ轴，其总和应等于零一般说，这就要求ｍｍ截面上有一个与横截面相切的内力Ｑ，且由∑Ｙ＝０，得 ＲＡ－Ｐ１－Ｑ＝０ Ｑ＝ＲＡ－Ｐ１ Ｑ称为横截面ｍｍ上的剪力。
它是与横截面相切的分布力系的合力若把左段所有外力和内力对截面ｍｍ的形心Ｏ取矩，其力矩总和应等于零一般说，这就要求在截面ｍｍ上有一个内力偶矩Ｍ，由∑Ｍ０＝０，得 Ｍ＋Ｐ１（ｘ－ａ）－ＲＡＸ＝０ Ｍ＝ＲＡＸ－Ｐ１（ｘ－ａ） Ｍ称为横截面ｍｍ上的弯矩它是与横截面垂直的分布力系的合力偶矩 建筑外窗杆件在不同荷载作用下的弯矩方程及最大弯矩 ａ、矩形荷载 ｑ为均布荷载集度因载荷及垂直支反力都对跨度中点对称，故ＲＡ、ＲＢ为 ＲＡ＝ＲＢ＝q1/2 以梁左段为坐标原点，选取坐标系如图１１ 图11 矩形荷载 距原点为ｘ的任意横截面上的弯矩为 Ｍ（ｘ）＝ＲＡｘ－ｑｘ（X/2）＝(q1/2)ｘ－(q/2)ｘ２ 当ｘ＝１／２时，即跨度中点弯矩最大 Ｍ（１／２）ｍａｘ＝q12/8＝Q1/8 式中：ｑ１＝Ｑ，即荷载集度乘荷载分布范围等于总荷载 ｂ、三角形荷载 图12 三角形荷开车 三角形荷载如图１２，Ｑ为总荷载即三角形面积Ｃ点为跨度中点，利用三角形面积关系，可求得Ｃ点坐标为Ｃ（１／２，２Ｑ／１）利用两点式坐标方程可求得斜线ＡＣ和ＣＢ的直线方程为： ｙＡＣ＝（４ＱＸ／１２）ｊｙＣＢ＝－４ＱＸ／１２ 因为载荷及垂直反力都对跨度中点对称，所以有 ＲＡ＝ＲＢ＝Ｑ／２ 也可以用对Ａ及Ｂ点取矩的办法求出ＲＡ、ＲＢ其结果与上同。
图中所示荷载ＡＣ段、ＣＢ段，因变化方式不同，所以要分段计算其弯矩又因荷载以Ｃ点对称，且最大弯矩发生于Ｃ处，故下面只给出ＡＣ段弯矩，并由此可得到最大弯矩 当ｘ＝１／２时，跨度中点弯矩最大 Ｍ（１／２）ｍａｘ＝Ｑ１／６ 式中： (yAC/2)ｘ：ｘ截面范围内三角形荷载，即面积； （1/3）ｘ：ｘ截面至三角形形心距离 ｃ、梯形荷载 梯形荷载如图１３： 图13 梯形荷载 Ｑ１、Ｑ３为三角形面积的荷载且Ｑ１＝Ｑ３ Ｑ２为矩形面积的荷载 Ｑ为梯形面积荷载且Ｑ＝Ｑ１＋Ｑ２＋Ｑ３ Ｌ为杆长（或梁的跨度） ａ为三角形荷载下底长 Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点坐标可据图示位置及梯形面积求得其值为 Ａ（０·０）Ｃ（ａ·（Q（1-a））Ｄ(１－ａ·(Q(1-a))Ｂ（１·０） 斜线ＡＣ（即ｙＡＣ）、ＤＢ（即ｙＤＢ）的直线方程可据两点式求得如下式 ｙＡＣ＝Qx/a(1-a) （０≤ｘ≤ａ）ｊ ｙＤＢ＝(Q(1-A))/a(1-a)[(１－ａ)≤ｘ≤ａ] ＲＡ、ＲＢ由于载荷及垂直直座反力都对跨度中点对称故有 ＲＡ＝ＲＢ＝Ｑ／２ Ｋ00.10.20.30.40.5MmaxQL/8QL/7.3QL/6.76QL/6.36QL/6.1QL/6 ＡＣ段弯矩方程 ＣＤ段弯矩方程［a≤x≤(1-a)] 式中： (1/2)ｘｙAC(ｘ)：Ｘ截面内的荷载，即三角形面积； (1/3)ｘ：三角形形心至截面长； ｘ－(2/3)ａ：荷载三角形的形心至ｘ截面长； q2/(1-2a)：矩形荷载集度； (1/2)(ｘ－ａ)：Ｘ截面范围内，矩形荷载形心至截面长。
从以上两段弯矩方程可看出，ＡＣ段，即为三角形弯矩方程，当令ｘ＝ａ，且１＝ａ。