4.6 偶极子流动显然 z ＝ 0 处是上述函数的奇点4.6 偶极子流动偶极子是一对无限接近的非常强的点源和非常强的点汇上式推导中用到 ,设4.6 偶极子流动流函数令 等于常数，流线是圆心在 y 轴且通过原点的圆族4.6 偶极子流动速度场流场中流线的方向可依据点源、点汇的位置来确定，也可 根据 方向而定上述流动称偶极子流动，处于流场中心的奇点称偶极子强度为μ，位于点 的偶极子的复位势：4.6 偶极子流动4.7 圆柱的无环量绕流 势函数和流函数满足的控制方程是线性的，因此它们的解具有可 叠加性依据这一原理，上面给出的基本流动的复位势函数可以叠 加起来给出较为复杂的流动问题的解叠加原理显见，只要选 ，则在圆表面上 流动图谱见附图 可见看出圆R＝a把流场分为两部分：由于流体不可能穿越一条流线流动，可以 断定偶极子流动被包围在圆内，而均匀来流则被排斥在圆外偶极子向上游的 流动由于受到均匀来流作用，折转方向流向下游，均匀来流流线则发生弯曲， 围绕圆R＝a从圆外流过。
4.7 圆柱的无环量绕流均匀流与偶极子叠加沿x方向的均匀流和在原点的偶 极子叠加给出圆柱绕流的解，圆方程圆表面的流函数圆柱无环量绕流的复势函数取则圆柱无环量绕流的复势函数用一个半径为a的圆柱状薄金属壳垂直于均匀流插入流场并与圆R＝a的流线相重合，将不会对圆内的偶极子流动和圆外的均匀来流形成干扰移去金属壳内的偶极子流体，填充以固体材料形成一个固体圆柱，圆外的流动将保持不变，也就是说速度为U的均匀来流和强度为 的偶极子流动叠加后在的区域形成的流场即是速度为U的均匀来流绕流 R＝a 的圆柱流动4.7 圆柱的无环量绕流叠加流场是绕流圆柱的解前者是和实际情况符合的，而后者则与实际不符， 这就是著名的达朗贝尔佯谬这主要是由于没有考 虑粘性对流动的影响在粘性流动中圆柱将承受由 于存在壁面切应力所产生的摩擦阻力和由于边界层 分离所产生的压差阻力尽管如此圆柱无环量绕流问题仍具有重要的理论意 义4.7 圆柱的无环量绕流达朗贝尔佯谬均匀来流绕流圆柱的速度场对 x 轴和 y 轴都是对称的 ，因此压强分布对 x 轴和 y 轴也是对称的，于是圆柱 所受流体作用力的合力为零，即圆柱不但不承受与气 流垂直的升力，也不承受沿流动方向的阻力。
4.8 有环量圆柱绕流 复势函数无环量圆柱绕流和顺时针旋转的点涡叠加，点涡的流线是同心圆，圆柱表面是一条流线不会因在原点增加点涡而改变令 ，则在圆柱面Ψ＝0 于是，4.8 有环量圆柱绕流速度场在圆柱面上（R＝a）， 即 ，正是理想流体绕流圆柱时在圆柱表面应满足的边界条件4.8 有环量圆柱绕流圆柱面上的驻点寻求在圆柱面上速度为0的点，•无环量流动，•有环量流动，有两个驻点，分别位于3，4象限，且关于y轴对称 顺时针点涡流场与绕流圆柱流场叠加在1，2象限速度方 向相同，速度增加；在3，4象限速度方向相反，速度减 少，于是分别在3，4象限的某个点处速度为零相当于 把θ＝0和π的两个驻点分别移动至3，4象限一个驻点， 相当于3，4象限的两个驻点，当Γ增大时，相互靠近最 终汇合在圆柱面的最低点4.8 有环量圆柱绕流圆柱面外的驻点Γ继续增加， ， 驻点就不可能保持在圆柱面上，而是进入流体中驻点方程由（1）因为在 方向点涡和圆柱绕流流场速度方向相同，合速度不可能为零。
取 代入(2)，根号前取“一”意味着驻点在圆内，这是不可能的 根号前取“+”号R/a>1, 驻点在圆柱面外正下方由于环量的存在，流场对 x 轴不再对称，在圆柱上表面顺时针 的环流和无环量的绕流方向相同，因此速度增加，而在下表面 则方向相反，速度减少根据伯努利方程上表面压强减小，下 表面压强增大，于是产生向上的合力，称升力4.8 有环量圆柱绕流升力和阻力有环量绕流速度场对 y 轴对称，压强场也对 y 轴对称，因此在 x 轴方向圆柱所受表面力合力为零4.9 布拉修斯公式 求圆柱受力和力矩的方法•压强积分方法 从复位势求出柱体表面速度分布； 再利用伯努利方程求出柱体表面压强分布，作积分求出表面力合 力与合力矩•复变函数方法布拉修斯公式而曲线积分则可利用留数定理求出 4.9 布拉修斯公式柱体受力分析设定常均匀来流绕流任意形 状的柱体，周围流体对柱体 的作用力可简化为作用在柱 体重心的力X、Y 以及力矩 M（取xoy坐标原点在柱体 质心）取任意形状封闭曲面C0 包围柱体，柱体表面为Ci以C0 ，Ci 间 的空间为控制体，控制体内的流体受到C0 外流体的压强p的作 用，同时受到柱体的反作用力 －X，－Y，以及反力矩－M的 作用。
4.9 布拉修斯公式动量定理写成分量形式，4.9 布拉修斯公式应用动量定理于上述控制体，x方向，y方向，Ci 是一条流线，没有流体穿过通过C0上的微分面积的体积流量微元面在x和y方向受到的压力则分别为：－p dy，p dx伯努利方程代入 x 和 y 方向的动量方程，并考虑到 ，得布拉修斯公式4.9 布拉修斯公式上式中X，Y是作用在柱体重心的力，方向分别沿 x 与 y 轴正向；C0 是包围柱体的任意曲面；W为复速度与动量定理求出的柱体受力X，Y的表达式相比得，若已知复速度 ， 则4.9 布拉修斯公式动量矩定理对我们研究的控制体，只需要考虑z方向分量方程，方程左边第一项是柱体对流体的反力矩， 第二项是C0 外的流体作用在C0上的压力对坐标原点（柱体重心）的矩 方程右边则是单位时间净流出控制面的流体动量矩，方括号内两项分别 表示动量 对坐标原点的矩由于没有流体通过柱体 表面Ci，积分只在C0上进行利用伯努利方程 消去上式内的压强项，并考虑到，力矩M可表示为，4.9 布拉修斯公式上式中 Re 表达取复变数的实部。
M是作用在柱体上的力矩，逆时针方向 为正；C0 为围绕柱体的任意曲面；W为复速度与由动量矩定理求出的力矩M的表达式比较可得，以复速度作如下积分式，布拉修斯合力矩公式4.10 作用在圆柱上的力和力矩 如 F(Z) 在环形域 处处解析，该环形域中心在点 ，那么F(z)可用 级数表示为上述级数称罗伦级数罗伦级数如F(z)在曲线C内的区域中除有限个奇点 外解析，则式中 是 F(z) 在点 的留数， 是 F(z) 在点 的留数，等等4.10 作用在圆柱上的力和力矩留数一个函数在 点的留数就是该函数对于 的罗伦级数 项的系数留数定理4.10 作用在圆柱上的力和力矩作用在圆柱上的力 函数 W2 在 Co 内 的奇点只有一个， z = 0点， 即点涡和偶极子的所在点 在 z＝0点的留数为 ，布拉修斯公式,定常均匀来流绕流圆柱，圆柱半径为a，来流速度为U，绕圆柱环量为Γ （顺时针），则由上式可见在 x 方向的阻力为零，升力等于环量Γ与来流速 度 U 和流体密度 ρ 的乘积，Y=ρUΓ上式为正值，即负方向的环量产生向上的升力。
该公式称 为库塔－儒科夫斯基公式显见 Γ＝0 时 Y＝0，无环量绕流无升力4.10 作用在圆柱上的力和力矩作用在圆柱上的力 函数 在 Co 内 的奇点只有 点，该点留数为 作用在圆柱上的力矩布拉修斯合力矩公式，没有力矩作用在圆柱上。