精品学习资源中学数学 矩形的性质和判定编稿老师 巩建兵 一校 黄楠 二校 杨雪 审核 宋树庆欢迎下载精品学习资源【考点精讲】概念性质矩形判定方法对称性：轴对称图形 对角线相等且相互平分四个角都是直角定义有三个角是直角的四边形对角线相等的平行四边形欢迎下载精品学习资源【典例精析】例题 1 如图，在△ ABC 中， AB ＝6， AC ＝ 8， BC ＝ 10，P 为边 BC 上一动点〔且点 P 不与点 B、C 重合〕， PE⊥ AB 于点 E， PF⊥AC 于点 F， M 为 EF 中点；设 AM 的长为 x， 试求 x 的最小值；思路导航： 依据勾股定理的逆定理求出△ ABC 是直角三角形，得出四边形 AEPF 是矩形，所以 AM ＝1 EF＝ 1 AP，在 Rt△ ABC 中利用 AP 求出 x 的最小值；2 2答案： 解：连接 AP ，∵ AB ＝ 6， AC ＝ 8， BC＝ 10，∴ AB 2＋AC 2＝36＋ 64＝100， BC2＝ 100，∴AB 2＋AC 2＝ BC2，∴∠ BAC ＝90°，∵PE⊥ AB ，PF⊥ AC ，∴∠ AEP＝∠ AFP＝∠ BACEF＝ 90°，∴四边形 AEPF 是矩形，∴ AP＝ EF，∵∠ BAC ＝ 90°，M 为 EF 中点，∴ AM ＝ 12欢迎下载精品学习资源＝ 1AP，当 AP ⊥ BC 时， AP 值最小，此时 S△BAC16×8110×AP ， AP＝ 4.8，即 x 的最欢迎下载精品学习资源2小值为；＝ 2×＝ 2×欢迎下载精品学习资源点评： 此题考查了垂线段最短， 三角形面积， 勾股定理的逆定理， 矩形的判定等的应用， 关键是求出 AP 的最小值和得出 AM 与 AP 的数量关系；例题 2 请看下面小明同学完成的一道证明题的思路：如图 1，已知△ ABC 中， AB ＝ AC ，CD ⊥ AB ，垂足是 D ，P 是 BC 边上任意一点， PE⊥ AB ， PF⊥ AC ，垂足分别是 E、F；求证： PE＋ PF＝ CD ；证明思路：如图 2，过点 P 作 PG∥ AB 交 CD 于点 G，就四边形 PGDE 为矩形， PE＝ GD ；又可证△ PGC≌△ CFP，就 PF＝ CG ；所以 PE＋ PF＝ DG ＋ GC＝DC ；如图 3，假设 P 是 BC 延长线上任意一点， 其他条件不变， 就 PE、PF 与 CD 有何关系？请你写出结论并完成证明过程；思路导航： 采纳与题目相同的思路， 过点 C 作 CG⊥PE，利用矩形的性质和全等三角形的性质确定 PE、PF、CD 之间的关系；答案： 结论： PE－ PF＝ CD ；证明：过点 C 作 CG ⊥PE 于点 G，∵ PE⊥ AB ， CD ⊥AB ，∴∠ CDE ＝∠ DEG ＝∠ EGC＝ 90°；∴四边形 CGED 为矩形；∴ CD ＝ GE， GC∥ AB ；∴∠ GCP＝∠ B；∵ AB ＝ AC，∴∠ B ＝∠ ACB ；∴∠ FCP＝∠ ACB ＝∠ B＝∠ GCP；在△ PFC 和△ PGC 中，∠F＝∠ CGP＝ 90°，∠ FCP＝∠ GCP， CP＝ CP，∴△ PFC≌△ PGC〔 AAS 〕；∴ PF＝ PG；∴ PE－ PF＝ PE－ PG＝ GE＝ CD ；点评： 此题通过构造矩形和三角形全等， 利用矩形和全等三角形的判定和性质求解； 解答这类阅读懂得问题，读懂题目供应的解题思路是解题关键；例题 3 如图， 已知△ ABC 中，AB ＝ AC ，∠ BAD ＝∠ CAD ，F 为 BA 延长线上的一点，欢迎下载精品学习资源AE 平分∠ FAC ， DE∥ AB 交 AE 于点 E；〔1〕求证： AE ∥ BC；〔2〕求证：四边形 AECD 是矩形；〔3〕BC ＝ 6cm， SAECD ＝ 12 cm 2 ，求 AB 的长；思路导航： 〔 1〕先依据已知条件求出 AD ⊥ BC，再依据 AE 平分∠ FAC ，得出∠ EAD＝ 90°，从而证出 AE ∥ BC；〔2〕先判定四边形 AECD 是平行四边形，再依据∠ ADC ＝ 90°，证出四边形 AECD 是矩形；〔 3〕由 BC＝ 6cm，得出 CD ＝ 3cm，再依据 SAECD ＝ 12 cm 2 ， 得出 AD ＝ 4，利用勾股定理求出 AC 的长即可；答案： 〔1〕证明：∵ AB ＝ AC ，∠ BAD ＝∠ CAD ，∴ AD ⊥BC，∴∠ ADB ＝ 90°，∵ AE平分∠ FAC ，∠ FAE ＋∠ EAC ＋∠ CAD ＋∠ BAD ＝ 180°，∴∠ EAC ＋∠ CAD ＝∠ EAD ＝ 90°，∴ AE ∥ BC；〔2〕证明：∵ DE∥ AB ，AE ∥BC，∴四边形 ABDE 是平行四边形，∴ AE ＝BD ，∵ BD＝ CD ，∴ AE ＝CD ，∴四边形 AECD 是平行四边形， ∵∠ ADC ＝ 90°，∴四边形 AECD 是矩形；〔3〕解：∵ BC ＝6cm，∴CD ＝ 3cm，∵ SAEC D＝ 12 cm 2，∴ AD ＝ 4，∴ AB ＝ AC ＝ 32＋ 42＝ 5，∴ AB 的长是 5cm；点评： 此题考查了矩形的判定和性质的综合应用， 用到的学问点是平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理等，这类问题一般要综合利用各种有关性质，是中考命题的热点；【总结提升】1. 关于矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②对角线相等的平行四边形是矩形； ③有三个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且相互平分的四边形是矩形；说明：长方形和正方形都是矩形；2. 关于矩形的性质：①矩形的 4 个内角都是直角； ②矩形的对角线相等且相互平分； ③矩形既是轴对称图形， 也是中心对称图形〔对称轴是任何一组对边中点的连线〕 ，它至少有两条对称轴；④矩形具 有平行四边形的全部性质；3. 矩形的对角线把自身分成假设干个直角三角形和等腰三角形，因此许多矩形问题都可以转化成直角三角形或等腰三角形的问题加以解决；直角三角形的重要性质主要有：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②直角三角形两锐角互余；③勾股定理；④直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的一半；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源一、挑选题〔答题时间： 20 分钟〕欢迎下载精品学习资源1. 以下关于矩形的说法，正确的选项是〔 〕A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线相互平分的四边形是矩形C. 矩形的对角线相互垂直且平分D. 矩形的对角线相等且相互平分*2. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ 8，BC ＝ 6，AC＝ 10，D 为边 AC 上一动点， DE⊥ AB 于点E， DF ⊥ BC 于点 F，就 EF 的最小值为〔 〕A. B. 3 C. D. 5**3. △ ABC 中， AB ＝AC ＝ 5，BC ＝ 6，点 D 是 BC 上的一点，那么点 D 到 AB 与 AC 的距离的和为〔 〕A. 5 B. 6 C. 4 D. 245二、填空题4. 如图，在△ ABC 中， AB ＝AC ， AD ⊥BC，垂足为 D ，E 是 AC 的中点；假设 DE＝ 5， 就 AB 的长为 ；*5. 如下图，△ ABC 中， AC 的垂直平分线分别交 AC 、AB 于点 D 、F， BE ⊥ DF 交 DF的延长线于点 E，已知∠ A＝ 30°，BC ＝ 2，AF＝ BF，就四边形 BCDE 的面积是 ；三、解答题*6. 已知：如下图， D 是△ ABC 中 AB 边上的中点，△ ACE 和△ BCF 分别是以 AC 、BC为斜边的等腰直角三角形，连接 DE、DF ；求证： DE ＝ DF ；欢迎下载精品学习资源EC FA D B**7. 如图， O 为△ ABC 内一点，把 AB 、OB 、OC、AC 的中点 D、E、F、G 依次连接形成四边形 DEFG ；〔1〕四边形 DEFG 是什么四边形，请说明理由；〔2〕假设四边形 DEFG 是矩形，点 O 所在位置应满意什么条件？说明理由；欢迎下载精品学习资源1. D 解析：对角线相互平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形；2. C 解析：如图，连接 BD ；∵在△ ABC 中， AB ＝ 8， BC＝ 6， AC ＝10，∴ AB 2＋ BC 2＝ AC 2，即∠ ABC ＝ 90°；又∵ DE ⊥ AB 于点 E，DF ⊥ BC 于点 F，∴四边形 EDFB 是矩形，欢迎下载精品学习资源AC ·BD ＝∴ EF＝ BD ；∵ BD 的最小值为直角三角形 ABC 斜边上的高， 1212AB ·AC ，∴ BD欢迎下载精品学习资源＝，∴ EF 的最小值为，应选 C；3. D 解析：作△ ABC 的高 CQ， AH ，过 C 作 CZ ⊥ DE ，交 ED 的延长线于点 Z，∵ AB＝ AC ＝ 5，BC＝ 6，AH ⊥ BC ，∴ BH ＝ CH ＝ 3，依据勾股定理得： AH ＝ 4，依据三角形的面积公式得： 1BC.AH ＝ 1AB.CQ，即： 6×4＝ 5CQ，解得： CQ＝24，∵ CQ⊥ AB ， DE ⊥ AB ，2 2 5CZ ⊥ DE ，∴∠ CQE ＝∠ QEZ ＝∠ Z＝ 90°，∴四边形 QEZC 是矩形，∴ CQ＝ ZE ；再证明△ ZCD ≌△ FCD，得 DF＝ DZ ，∴ DE ＋ DF＝ CQ＝24；5AQEFB CH DZ的中点；∴ DE ＝4. 10 解析：∵在△ ABC 中， AD ⊥ BC ，垂足为 D ，∴△ ADC 是直角三角形；∵ E 是 AC 12AC 〔直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半〕；又∵ DE ＝ 5，AB ＝AC ，∴ AB ＝10；5. 2 3 解析： ∵AF ＝ BF，即 F 为 AB 的中点， 又 DE 垂直平分 AC ，即 D 为 AC 的中点，BC ，又∠ ADF ＝ 90°，∴∠ C＝∠ ADF∴ DF 为三角形 ABC 的中位线，∴ DE∥ BC ， DF＝ 12BC ＝ 1，在＝ 90°，又 BE⊥ DE ，∴∠ E＝ 90°，∴四边形 BCDE 为矩形，∵ BC＝2，∴ DF＝ 12Rt△ ADF 中，∠ A ＝30°，DF ＝ 1，∴ AD ＝ 3，∴ CD ＝AD ＝ 3，就矩形 BCDE 的面积 S＝ CD.BC ＝ 2 3；6. 证明：分别取 AC 、BC 中点 M、N 。