教育部课题双曲线与其标准方程 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程2012220122月月 我们知道历史上是古希腊人最早研究圆锥曲线，公元前我们知道历史上是古希腊人最早研究圆锥曲线，公元前262到到公元前公元前192阿波罗尼写出阿波罗尼写出《《圆锥曲线圆锥曲线》》进行系统的研究进行系统的研究 在当时的社会，生活生产实践中有双曲线的存在吗？古希腊人在当时的社会，生活生产实践中有双曲线的存在吗？古希腊人是如何发现双曲线的？是如何发现双曲线的？ 对于圆锥曲线的最早发现，众说纷纭有人说，古希腊数学家对于圆锥曲线的最早发现，众说纷纭有人说，古希腊数学家在求解在求解“立方倍积立方倍积”问题时，发现了圆锥曲线：设问题时，发现了圆锥曲线：设x、、y为为a和和2a的的比例中项，即比例中项，即a：：x=x：：y=y：：2a，则，则x2=ay,y2=2ax，，xy=2a2，从，从而求得而求得x3=2a3又有人说，古希腊数学家在研究平面与圆锥面相截又有人说，古希腊数学家在研究平面与圆锥面相截时发现了与时发现了与“立方倍积立方倍积”问题中一致的结果还有认为，古代天文问题中一致的结果。
还有认为，古代天文学家在制作日晷学家在制作日晷（（gui））时发现了圆锥曲线日晷是一个倾斜放置的时发现了圆锥曲线日晷是一个倾斜放置的圆盘，中央垂直于圆盘面立一杆当太阳光照在日晷上，杆影的移圆盘，中央垂直于圆盘面立一杆当太阳光照在日晷上，杆影的移动可以计时而在不同纬度的地方，杆顶尖绘成不同的圆锥曲线动可以计时而在不同纬度的地方，杆顶尖绘成不同的圆锥曲线然而，日晷的发明在古代就已失传日晷按照日影测定时刻的仪器然而，日晷的发明在古代就已失传日晷按照日影测定时刻的仪器 但从近代开始，生活中出现了有双曲线的物体即建筑物它们但从近代开始，生活中出现了有双曲线的物体即建筑物它们是人类研究了双曲线的性质后根据双曲线的性质建造的不知道双是人类研究了双曲线的性质后根据双曲线的性质建造的不知道双曲线的性质，建筑物是造不出来的曲线的性质，建筑物是造不出来的 在古希腊虽然知道双曲线，但古希腊人不知道知识就在古希腊虽然知道双曲线，但古希腊人不知道知识就是力量，知识就是生产力在古希腊知识是有钱人的消遣是力量，知识就是生产力在古希腊知识是有钱人的消遣,是人本身具有的探索大自然奥秘的好奇心才追求知识。
到是人本身具有的探索大自然奥秘的好奇心才追求知识到了近代，培根（了近代，培根（（1561-1626），英国文艺复兴时期最重要的散作家、哲学家才提出来知识就是力量才提出来知识就是力量 生活中的生活中的双曲线双曲线双曲线型自然通风冷却塔双曲线型自然通风冷却塔 生活中的生活中的双曲线双曲线正在建设中金沙江上的正在建设中金沙江上的溪落渡水电站溪落渡水电站: :双曲拱坝双曲拱坝可口可乐的下半部可口可乐的下半部可口可乐的下半部可口可乐的下半部玉枕的形状玉枕的形状玉枕的形状玉枕的形状 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 椭圆的定义？椭圆的定义？探索研究平面内与两个定点平面内与两个定点F1、、F2的的距离的和等于常数（大于距离的和等于常数（大于｜｜F1F2｜）的点轨迹叫做椭圆｜）的点轨迹叫做椭圆思考思考：如果把椭圆定义中的如果把椭圆定义中的“距离之和距离之和”改为改为“距距离之差离之差”，那么点的轨迹是怎样的曲线？，那么点的轨迹是怎样的曲线？即“平面内与两个定点平面内与两个定点F1、、F2的距离的差等于常数的距离的差等于常数的点的轨迹的点的轨迹 ”是什么？ ①①①①如图如图如图如图(A)(A)，，，， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a②②②②如图如图如图如图(B)(B)，，，，|MF2|- -|MF1|=2a由由由由①②①②①②①②可得：可得：可得：可得： | |MF1|- -|MF2| | = 2a （（（（差的绝对值）差的绝对值）上面上面上面上面 两条曲线合起来叫做两条曲线合起来叫做两条曲线合起来叫做两条曲线合起来叫做双曲线双曲线双曲线双曲线, ,每一条叫做双曲线每一条叫做双曲线每一条叫做双曲线每一条叫做双曲线的一支。
的一支看图分析动点看图分析动点M满足的条件：满足的条件：等于等于2a或或-2a需要死记硬需要死记硬背吗？背吗？答：根据答：根据图像知道图像知道哪长哪短哪长哪短 ①① 两个定点两个定点F1、、F2——双曲线的双曲线的焦点焦点;②② |F1F2|=2c ——焦距焦距.0<2a<2c ；； 平面内平面内与两个定点与两个定点F1，，F2的距离的差的距离的差的绝对值的绝对值等于常数（小于等于常数（小于︱︱F1F2︱︱)的点的轨迹叫做双曲线的点的轨迹叫做双曲线.一、一、 双曲线定义（类比椭圆）双曲线定义（类比椭圆）思考：思考：说明：说明： | |MF1| - |MF2| | = 2a( (1) )两条射线两条射线( (2) )不表示任何轨迹不表示任何轨迹(3)(3)(3)(3)线段线段线段线段F F F F1 1 1 1F F F F2 2 2 2的垂直平分线的垂直平分线的垂直平分线的垂直平分线（（3）若）若2a=0,则轨迹是什么？则轨迹是什么？（（1）若）若2a=2c,则轨迹是什么？则轨迹是什么？（（2）若）若2a>2c,则轨迹是什么？则轨迹是什么？yoF2F1Mx 古希腊人只在几何角度对圆锥曲线做出研究，到古希腊人只在几何角度对圆锥曲线做出研究，到17世纪，笛卡世纪，笛卡尔横空出世，给数学带来新方法那就是用代数角度研究几何。
尔横空出世，给数学带来新方法那就是用代数角度研究几何 F2F1MxOy求曲线方程的步骤：求曲线方程的步骤：二、二、 双曲线的标准方程双曲线的标准方程1. 1. 建系建系. .以以F1,F2所在的直线为所在的直线为x轴，线段轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系的中点为原点建立直角坐标系2.2.设点．设点．设设M（（x , y））,则则F1(-c,0),F2(c,0)3.3.列式列式|MF1| - |MF2|=±2a4.4.化简化简 此即为此即为焦点在焦点在x轴上的轴上的双曲线双曲线的标准的标准方程方程 F2F1MxOyOMF2F1xy思考：若建系时思考：若建系时,焦点在焦点在y轴上呢轴上呢? 看看 前的系数，哪一个为正，则前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上在哪一个轴上2 2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系别与联系别与联系别与联系? ?1 1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？讨论：讨论： 定定 义义 方方 程程 焦焦 点点a.b.ca.b.c的关的关系系F（（±c，，0））F（（±c，，0））a>0，，b>0，但，但a不一不一定大于定大于b，，c2=a2+b2a>b>0，，a2=b2+c2双曲线与椭圆之间的区别与联系双曲线与椭圆之间的区别与联系双曲线与椭圆之间的区别与联系双曲线与椭圆之间的区别与联系||MF1|－－|MF2||=2a |MF1|+|MF2|=2a 椭椭 圆圆双曲线双曲线F（（0，，±c））F（（0，，±c）） 对于椭圆、双曲线到底是对于椭圆、双曲线到底是a大大 b大还是才大还是才c大？是啊大？是啊a2 =b2 +c2 还是还是c2 =a2 +b2 ?需要死记硬背吗？需要死记硬背吗？ 答：只要一画出椭圆、双曲线的图像从图像上看一目了然。
对答：只要一画出椭圆、双曲线的图像从图像上看一目了然对于双曲线图像上是看不出来于双曲线图像上是看不出来a大还是大还是b大，所以就没有大，所以就没有a大还是大还是b大 讨论：讨论： 当 取何值时，方程 表示椭圆，双曲线，圆 解：由各种方程的标准方程知，当 时方程表示的曲线是椭圆当 时方程表示的曲线是圆当 时方程表示的曲线是双曲线 三、例题选讲三、例题选讲例例1 已知两定点已知两定点 ,动点动点 满足满足 ,求动点求动点 的轨迹方程的轨迹方程例例1 已知两定点已知两定点 ,动点动点 满足满足 ,求动点求动点 的轨迹方程的轨迹方程 变式训练：已知两定点变式训练：已知两定点 ,动点动点 满满足足 ,求动点求动点 的轨迹方程的轨迹方程变式训练：已知两定点变式训练：已知两定点 ,动点动点 满满足足 ,求动点求动点 的轨迹方程的轨迹方程 例例2 2 已知方程已知方程 表示双曲线，表示双曲线，求求 的取值范围。
的取值范围分析：由双曲线的标准方程知该双曲线焦点可能在分析：由双曲线的标准方程知该双曲线焦点可能在 轴也可能在轴也可能在 轴，故而只要让轴，故而只要让 的系数异号即可的系数异号即可 例例3、已知、已知 两地相距两地相距 ，在，在 地听到地听到炮弹爆炸声比在炮弹爆炸声比在 地晚地晚 ，且声速为，且声速为 ，，求炮弹爆炸点的轨迹求炮弹爆炸点的轨迹.分析：依题意有，爆炸地点距分析：依题意有，爆炸地点距 两地的距离差值为两地的距离差值为一个定值，故而可知，爆炸点在以一个定值，故而可知，爆炸点在以 为焦点的双曲线为焦点的双曲线上，又在上，又在 地听到的晚，所以爆炸点离地听到的晚，所以爆炸点离 较远，应是靠较远，应是靠近近 的一支 答答: :再增设一个观测点再增设一个观测点C，利用，利用B、、C（或（或A、、C）两）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置的准确位置. .这是双曲线的一个重要应用这是双曲线的一个重要应用. . 随堂练习随堂练习变式变式变式变式: : 上述方程表示双曲线，则上述方程表示双曲线，则上述方程表示双曲线，则上述方程表示双曲线，则mm的取值范围是的取值范围是的取值范围是的取值范围是 ____________________________________m＜－＜－2或或m＞－＞－1求适合下列条件的双曲线的标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程①①a=4,b=3，焦点在，焦点在x轴上；轴上；②②焦点为焦点为(0,－－6),(0,6)，经过点，经过点(2,－－5)已知方程 已知方程 表示焦点在表示焦点在y轴的轴的双曲线，则实数双曲线，则实数m的取值范围是的取值范围是______________m＜－＜－2 我们知道除了根据双曲线的定义这种运动方式产生的轨迹是双我们知道除了根据双曲线的定义这种运动方式产生的轨迹是双曲线，那还有没有其他的运动方式产生的轨迹是双曲线。
这些实验曲线，那还有没有其他的运动方式产生的轨迹是双曲线这些实验会受到当时社会生产力即科技水平的限制吗？即不管在古代、近代、会受到当时社会生产力即科技水平的限制吗？即不管在古代、近代、现代、当代都可以实验现代、当代都可以实验 双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质》》P52例例5点点M(x，，y)到定点到定点F(5，，0)的距离和的距离和它到定直线它到定直线l:x=16/5的距离的比是常数的距离的比是常数5/4，求点，求点M的轨迹 与椭圆的简单几何性质与椭圆的简单几何性质》》P41例例6类比类比 P54习题习题2.2A组组5与与P42 习题习题2.1A组组7类比 这是圆锥曲线的第二定义，在开普勒（这是圆锥曲线的第二定义，在开普勒（1571—1630）的发现焦）的发现焦点和离心率下才成为可能点和离心率下才成为可能 1、设动圆、设动圆M恒过定点恒过定点A(-3,0),且与定圆且与定圆C:（（x-3 ））2 + y2 =4外外切切,求动圆圆心求动圆圆心M的轨迹方程的轨迹方程 P54 习题习题2.2B组组3 应用：应用：1）已知）已知x轴上的一定点轴上的一定点A（（1，，0），），Q为椭圆为椭圆 上的上的动点，求动点，求AQ中点中点M轨迹方程。
轨迹方程答案答案：2）已知定圆）已知定圆C1：： ，，圆圆C2：： ，动圆，动圆M和定圆和定圆C1外切和圆外切和圆C2内切，内切，求动圆圆心求动圆圆心M的轨迹方程的轨迹方程答案：分析：分析：|MC1|=2+R |MC2|=8 -R|MC1|+|MC2|=10古代可以实验，但用近古代可以实验，但用近代语言表达从此题看代语言表达从此题看出为什么那形式称标准出为什么那形式称标准方程古代还好判断，方程古代还好判断，近代很难判断近代很难判断古代可以实古代可以实验且古代的验且古代的几何法也比几何法也比较好判断较好判断。