《微分几何简介》笔记Ch.1 矢量代数及其在解析几何中的简单应用§1 矢量代数定义：矢量即既有大小，又有方向的量（数学量、物理量等）1.1 直角坐标系-点的坐标与矢的分量在三维空间中，取任意一点O和任意彼此垂直的三个右旋的（即构成右手系的）单位矢量，，，构成一个直角坐标系（或标架）用表示；O称为的原点，，，称为的基矢(或底矢)若P为空间任意一点，以O为始点，P为终点的矢量称为P点在标架里的径矢P点在里的坐标，，就是径矢在里的分量：若P、Q为空间两点，它们在里的径矢依次为，则矢量其中就是该矢量在里的分量各分量均为0的矢量称为零矢在同一标架里，两个矢量相等的充要条件是它们的分量依次相等矢量的长为若，为单位矢量（幺矢）则叫做在里的方向余弦，它们是和间的角之间的余弦零矢没有方向余弦1.2 矢量的基本代数运算现有矢量和，则1） 矢量和：矢量加法按照平行四边形（或三角形）法则2） 矢量差：矢量减法同样按照平行四边形（或三角形）法则，为加法的逆运算3） 纯量（或数量）乘矢量：若为纯量，则4） 数积（点乘）：矢量，的数积是纯量其中是，之间的角矢量，相互垂直的充要条件是它们的数积等于零零矢与任意矢量垂直。
矢量和单位矢量 的数积等于在的方向的垂直投影5） 矢积（叉乘）：矢量，的矢积是矢量其中为，不平行时，同时垂直于，的幺矢，且，，按此次序构成右手系矢量，相互平行的充要条件是它们的矢积等于零零矢与任意矢量平行运算规律一览若，，是任意矢量，，是任意纯量，则1） 结合律：2） 交换律：必须注意：3） 分配律：1.3 混合积、三矢矢积、拉格朗日恒等式1） 混合积：已给三个矢量，，，则是矢量，是纯量若，，依此是，，的分量，则其混合积为根据行列式性质，有混合积的绝对值表示以，，为棱的平行六面体的体积三个矢量，，共面的充要调价是它们的混合积等于零若三个矢量，，共面，且，不平行，则是，的线性组合：2） 三矢矢积： 若，，是矢量，则三矢矢积为3) 拉格朗日（Lagrange）恒等式：特殊地 可以证明：只有零矢量同时垂直于三个不共面的矢量1.4 对于空间的点、直线和平面的简单应用不妨在标架中来考察空间的点、直线和平面显然，空间的任意一点P可用其径矢来表示1) 令空间任意一直线经过某固定点，它与一单位矢量平行，为直线上任意点，则该直线可表示为其中t是纯量以上方程称为直线的矢方程，其中t是参数，因而也叫做参数矢方程。
2) 令空间任意一平面经过某固定点，它与一单位矢量垂直，为平面上任意点，则该平面的矢方程为注意：通常平面具有方向性，与同向的一侧称为正侧另外，两点确定一条直线，三个不共线的点、两条相交直线、两条平行直线也可以确定一个平面3) 过点，作直线的垂线，其垂足点到直线的距离4) 点到平面的距离点到平面的垂足5) 两相错直线与的公垂线单位矢量它们间的最短距离§2 坐标变换2.1 基矢变换 在研究齿轮啮合运动时，我们通常取三个标架，一个固定在空间，称为基础标架，另两个分别和运动中的两个齿轮相固连因此，有必要考察两个标架或坐标之间的相互关系设，为任意两个直角坐标系考察基矢和之间的关系，设在坐标系里，标架的基矢为即则是在坐标系里的分量，也是方向余弦，即依次和之间的角的余弦：而在在坐标系里，标架的基矢为或若引进方阵的概念和符号，令，则，互为转置方阵，且，其中I表示三阶单位方阵和都是正常正交方阵表明：从一个坐标系的基矢到另一个坐标系的基矢的变换是具有正常正交方阵的线性变换，称为正常正交变换若从到的基矢的变换方阵是，则从到的基矢的变换方阵是设有三个坐标系，和，若从到的基矢的变换方阵是，从到的基矢的变换方阵是，则从到的基矢的变换方阵为 2.2 矢量的分量变换设，，是任意矢量在坐标系里的分量，则在坐标系里的分量为或 2.3 点的坐标变换设任意点P在坐标系里的坐标是，在坐标系里的坐标是，再设O点在里的坐标是，则§3 刚体变换 刚体是指在运动中，其上任意两点的距离始终保持不变的物体。
通常我们假定齿轮是刚体，齿轮运动是刚体运动 设为基础标架，为与齿轮相固连的标架，那么，研究齿轮运动的过程即可归结为的运动的研究标架的原点和基矢在里都是时间t的函数，这样位置的变化，就叫做刚体位置变换或简称刚体变换。