目 录第一讲有理数的巧算第二讲绝对值第三讲求代数式的值第四讲一元一次方程第五讲方程组的解法第六讲一次不等式（ 不等式组） 的解法第七讲含绝对值的方程及不等式第八讲不等式的应用第 九 讲 “ 设而不求”的未知数第十讲整式的乘法与除法第十一讲线段与角第十二讲平行线问题第十三讲从三角形内角和谈起第十四讲面积问题第十五讲奇数与偶数第十六讲质数与合数第十七讲二元一次不定方程的解法第十八讲加法原理与乘法原理第十九讲几何图形的计数问题第二十讲应用问题的算术解法与代数解法第二十一讲应用问题解题技巧第二十二讲生活中的数学（ 一） 储蓄、保险与纳税第二十三讲生活中的数学（ 二） 地板砖上的数学第一讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础. 它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的 基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算. 不仅如此，还要善于根据题目条件，将推 理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的筒捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的 敏捷性与灵活性.1 . 括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序， 使复杂的问题变得较简单.例 1 计算：/ 、 r 8) 61( 1 ) 4 7 - 1 8 . 7 5 - H x 2 + 0 . 4 6 ;(-2)3X(-1)1S98-|-12|+(-D +1 3、 弓分 析 中学数学中，由于负数的引入，符 号 “ + ”与 具 有 了 双 重 涵 义 ，它既是表示加法与 减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号. 因此进行有理数运算时; 一定要正确运用有 理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化.0 4 6(2)原式=4 6 5 0一x 5 2 32 0 .( - 8 ) + 1 2 x 4 5 5 x 4 44 02 52 5 1 6=4 0 + =4 0 x 1 6 2 53 255 ,1 6注 意 在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算.例 2 计算下式的值：211X 555+445 X 789+555 X 789+211 X445.分析 直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单. 本题可将第 一 、第四项和第二、第三项分别结合起来计算.解 原式=(211 义 555+211 X 445)+(445X789+555X789)=211 X (555+445)+(445+555) X 789=211 X1000+1000X789=1000X(211+789)=1 000 000.说 明 加括号的 般思想方法是“ 分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧.例 3 计算：S=1-2+3-4+-+(-1)n+1 n.分 析 不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“ 1” 或 为 “ -1” . 如果按照将第一、 第二项，第三、第四项，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“ -1” ，于是一改“ 去括 号”的习惯，而 取 “ 添括号”之法.解 S=(1-2)+(3-4)+-+(-1)n+1 n.下面需对n 的奇偶性进行讨论：当 n 为偶数时，上式是n / 2 个卜1)的和，所以有S = (-1) x + nn + 12当 n 为奇数时，上式是(n -1 )/ 2 个(-1)的和，再加上最后一项(-1)向 n = n ,所以有S = (-1) x + nn + 12例 4 在 数 1, 2, 3 , ，1998前添符号“ + ”和，并依次运算，所得可能的最小非负数 是多少？分 析 与 解 因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1, 2, 3, 1998之前任意添加符号“ + ”或，不会改变和的奇偶性. 在1, 2, 3, 1998中有1998 2 个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“ + ”或之后，所得的代数和总为奇数，故最小 非负数不小于1.现考虑在自然数n, n+1, n+2, n+3之间添加符号“ + ”或,显然 n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0.这启发我们将1, 2, 3, 1998每连续四个数分为组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+-+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1.所以，所求最小非负数是1.说 明 本例中，添括号是为了造出系列的“ 零”，这种方法可使计算大大简化.2 . 用字母表示数我们先来计算(100+2) X (100-2)的值：(100+2) X (100-2)=100 X 100-2 X 100+2 X 100-4=1002-22.这是一个对具体数的运算，若用字母a 代 换 1 0 0 ,用字母b 代换2 , 上述运算过程变为 (a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2,这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用 该公式计算.例 5 计 算 3001X2999的值.解 3001 X 2999=(3000+1 )(3000-1)=30002-12=8 999 999.例 6 计 算 103X97X10 009的值.解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919.例 7 计算:24 690 12 3462 -12 345x12 347分 析 与 解 直接计算繁. 仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345, 12 346, 12 3 4 7 .可设字母 n=12346,那么 12 345=n-1, 12 347=n+1, 于是分母变为 r|2-(n-1)(n+1).应用平 方差公式化筒得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1,即原式分母的值是1，所以原式=24 690.例 8 计算：(2+1)(22+1 )(24+1)(28+1)(216+1)(232+1).分 析 式子中2, 22, 2。
每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1),就可 以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a?-b2 了 .解 原式=(2-1 )(2+1 )(2?+1 )(24+1 )(28+1) X (216+1)(232+1)=(22-1 )(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) X (232+1)=(24-1)(24+1)(28+1 )(2 % )(232+1)=(232-1)(232+1)=2巩1.例 9 计算：卜 卜邪得分 析 在前面的例题中，应用过公式(a+b)(a-b)=a2-b2.这个公式也可以反着使用，即a2-b2=(a+b)(a-b).本题就是一个例子.解 原 式 =(1 + 卯- 卯+和 一 勺 X+1-91-9+ -5-4 4 -3 3 - 21 - 2 111-9.2 3 8 9 3 4 9 10.11 1 11=_ _ . _ _ _ _2 10 20通过以上例题可以看到，用字母式示数给我们的计算带来很大的益处. 下面再看个例题, 从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化.例 1 0 计算：1+ - + +211998.分析四个括号中均包含一个共同部分： + + + 焉 ,我们用一个字母表示它以简化计算.解设A = g + ；+ . . . + 诵、则原式=1+康N + A ) l + A + 得 小= A + AJ + - - - - + - - - - - A + AJ + - - - - = - - - - -( 1999 1999) 1999) 19993 . 观察算式找规律例 1 1 纂班2 0 名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分.87, 91, 94, 88, 93, 91, 89, 87, 92, 86, 90, 92, 88, 90, 91, 86, 89, 92, 95, 88.分 析 与 解 若直接把20 个数加起来， 显然运算量较大， 粗略地估计一下， 这些数均在90上下, 所以可取9 0 为基准数，大于9 0 的数取“ 正”，小于90的数取“ 负”，考察这20个数与90的 差，这样会大大简化运算. 所以总分为90 X 20+(-3)+1 +4+(-2)+3+1 +(-1 )+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1 +(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799,平均分为 90+(-1)20=89.95.例 12 计算 1+3+5+7+-+1997+1999 的值.分 析 观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两 项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2 0 0 0 ,于是可有如下解法.解 用字母S 表示所求算式，即S=1+3+5+-+1997+1999. 再将S 各项倒过来写为S=1999+1997+1995+-+3+1. (2)将，两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+-+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+2000+2000(500 个 2000) =2000X500.从 而 有 S=500 000.说 明 一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等( 本题3-1=5-3=7-5=“ =1999-1997,都等于2 ) ,那么，这列数的求和问题, 都可以用上例中的“ 倒写相加”的方法解决.例 13 计算 1 +5+52+53+ -+ 5+ 5100分 析 观察发现，上式从第二项起， 每一项都是它前面一项的5 倍. 如果将和式各项都乘以5, 所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算.解 设S=1+5+52+-+5+5100,所以5S=5+52+53+ -+ 5100+5101.软 得4S=5101-1, 5m. l 所以 S =一说 明 如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等( 本例中是都等于5 ) , 那么这列数 的求和问题，均可用上述“ 错位相减”法来解决.例 1 4 计算：1 1 1 1 -+ - + -+ + , 1X2 2X 3 30133-1998X1999分 析 一般情况下，分数计算是先通分. 本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利 用如下一个关系式1 _ 1 1 k(k + l) = k - k T i 来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法. 解 由于1 _ 1 1 1 _ 1 1 1 _ 1 1 P7 =所以原式=+ n . _r (1998 1999)1 1998= 1 -= -1999 1999说 明 本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数 巧算中很常用.练习一1 . 计算下列各式的值：(1)-1 +3-5+7-9+11 -1997+1999；(2)11 +12-13-14+15+16-17-18+-+99+100；(3)1991 X 1999-1990X2000； 4726342+472 6352-472 633X472 635-472 634X472 636：1 1 1 1(5 ) -+ -+ - +.+-1X3 3X 5 5X 7 1997X 1999 1+4+7+ +244；1 1 1 1至+ + 到/ 口、 J 7 9 11 13 15 3 12 20 30 42 562 . 某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分.81, 72, 77, 83, 73, 85, 92，84, 75, 63, 76, 97, 80, 90, 761 91, 86, 78, 74, 85.第二讲绝对值绝对值是初中代数中的个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以 及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来 解决这些问题.卜面我们先复习一下。