数学f9新人教《人教版八年级上册全书教案》】

第十一章一次函数§ 11. 1变量与函数（ 一）教学目标1 . 认识变量、常量.2 . 学会用含一个变量的代数式表示另一个变量.教学重点1 • 认识变量、常量.2 . 用式子表示变量间关系.教学难点用含有一个变量的式子表示另一个变量.教学过程I . 提出问题，创设情境情景问题：一辆汽车以6 0 千米/ 小时的速度匀速行驶，行驶里程为s 千 米 . 行 驶时间为t 小时.1 . 请同学们根据题意填写下表：t / 时12345s /千米2 . 在以上这个过程中，变化的量是.变变化的量是.3 . 试用含t 的式子表示s.I I . 导入新课首先让学生思考上面的几个问题，可以互相讨论一下，然后回答.从题意中可以知道汽车是匀速行驶，那么它1 小时行驶60千米，2 小时行驶2X60千米，即 120千米，3 小时行驶3X 60千米，即 180千米，4 小时行驶4 X 6 0 千米，即240千米，5 小时行驶5X 60千米，即 300千米……因此行驶里程s 千米与时间t 小时之间有关系：s= 6 0 t.其中里程s 与时间t 是变化的量，速 度 6 0 千米/ 小时是不变的量.这种问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的里程随行驶时间的变化过程. 其实现实生活中有好多类似的问题，都是反映不同事物的变化过程，其中有些量的值是按照某种规律变化，其中有些量的是按照某种规律变化的，如上例中的时间t 、 里程s , 有些量的数值是始终不变的，如上例中的速度60千米/ 小时.［ 活动一］1 , 每张电影票售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出 310张. 三场电影的票房收入各多少元. 设一场电影售票x 张，票房收入y 元 . 怎样用含x 的式子表示y?2 . 在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律. 如果弹簧原长10cm ,每 1kg重物使弹簧伸长0. 5cm,怎样用含有重物质量m的式子表示受力后的弹簧长度？引导学生通过合理、正确的思维方法探索出变化规律.结论：1 .早场电影票房收入：1 5 0 X 1 0 = 1 5 0 0 （ 元）日场电影票房收入：2 0 5 X 1 0 = 2 0 5 0 （ 元）晚场电影票房收入：3 1 0 X 1 0 = 3 1 0 0 （ 元）关 系 式 : y - 1 0 x2 .挂 1 k g 重物时弹簧长度： 1 X 0 . 5 + 1 0 = 1 0 . 5 （ c m ）挂 2 k g 重物时弹簧长度：2 X 0 . 5 + 1 0 = 1 1 （ c m ）挂 3 k g 重物时弹簧长度: 3 X 0 . 5 + 1 0 = 1 1 . 5 （ c m ）关 系 式 : L = 0 . 5 m + 1 0通过上述活动，我们清楚地认识到，要想寻求事物变化过程的规律，首先需确定在这个过程中哪些量是变化的，而哪些量又是不变的. 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量（ v a r i a b l e ） ,那么数值始终不变的量称之为常量（ c o n s t a nt ） . 如上述两个过程中，售出票数X 、票房收入y；重物质量m,弹簧长度L都是变量.而票价1 0 元 , 弹 簧 原 长 1 0 c m 都是常量.［ 活动二］1 . 要画一个面积为l O c n? 的圆，圆的半径应取多少？圆的面积为2 0 c m 2 呢？怎样用含有圆面积S 的式子表示圆半径r ?2. 用 1 0 m 长的绳子围成矩形，试改变矩形长度.观察矩形的面积怎样变化.记录不同的矩形的长度值，计算相应的矩形面积的值，探索它们的变化规律：设矩形的长度为xc m , 面积为S c m ? .怎样用含有x 的式子表示S ?结论：1 . 要求已知面积的圆的半径，可 利 用 圆 的 面积公式经过变形求出S = ^ r2面积为1 0 c n? 的圆半径r =^ 1 . 7 8 ( c m )面积为2 0 c m 2 的圆半径片*2. 5 2 ( c m )2 . 因矩形两组对边相等，所以它一条长与一条宽的和应是周长1 0 c m 的一半，即5 c m .若长为1 c m , 则宽为5 -1 =4 （ c m ）据矩形面积公式： S =1 X 4 =4 ( c m 2 )若长为2 c m , 则宽为5 -2 =3 ( c m )面积 S = 2 X ( 5 -2 ) =6 ( c m2)若长为xc m , 则宽为5 ~ x ( c m )面积 S=x , ( 5 -x) =5 x-x2 ( c m2)从以上两个题中可以看出，在探索变量间变化规律时，可利用以前学过的一些有关知识公式进行分析寻找，以便尽快找出之间关系，确定关系式.H L随堂练习1 . 购买一些铅笔，单价0 . 2 元 / 支 ，总价y 元随铅笔支数x 变化， 指出其中的常量与变量，并写出关系式.2 . 一个三角形的底边长5 c m , 高 h可以任意伸缩.写出面积S 随 h变化关系式，并指出其中常量与变量.解： 1 . 买 1 支 铅 笔 价 值 1 X 0 . 2 =0 . 2 ( 元)买 2支 铅 笔 价 值 2 X 0 . 2 =0 . 4 ( 元)买 x 支 铅 笔 价 值 xX O . 2 =0 . 2 x ( 元)所 以 y=0 . 2 x其中单价0 . 2元/ 支是常量，总价y 元与支数x 是变量.2 . 根据三角形面积公式可知：当高h为 1 c m 时，面积S = ！ X 5 X 1 =2 . 5 c m22当高h为 2 c m 时，面积S = 'X 5 X 2 =5 c n)22当高为h e m , 面积S = 1 X 5 X h = 2 . 5 h c m22其中底边长为5 c m 是常量，面积S 与高h是变量.IV .课时小结本节课从现实问题出发，找出了寻求事物变化中变量之间变化规律的一般方法步骤.它对以后学习函数及建立函数关系式有很重要意义.1 . 确定事物变化中的变量与常量.2 . 尝试运算寻求变量间存在的规律.3 . 利用学过的有关知识公式确定关系区.V .课后作业1 、课后相关习题2 、 思考： 瓶子或罐头盒等物体常如下图那样堆放.试确定瓶子总数y 与层数x 之间的关系式.o （2 ）过程：要求变量间关系式，需首先知道两个变量间存在的规律是什么.不妨尝试堆放，找出规律，再寻求确定关系式的办法.结论：从题意可知：堆 放 1 层，总数y= l堆放2 层，总数y= l + 2堆放3 层，总数y= l + 2 + 3堆放x 层,总数 y= l + 2 + 3 + …x 即 y= 1 x ( x+ 1 )2板书设计§ 1 1 . 1 . 1 变量一、常量与变量二、寻求确定变量间关系式的方法三、随堂练习四、课时小结备课资料41 .若球体体积为V,半径为R,则丫 = 一万R 3 . 其中变量是、,3常量是.2 .夏季高山上温度从山脚起每升高1 0 0 米降低0 . 7 ℃ , 已知山脚下温度是2 3 ℃,则温度y 与上升高度x 之间关系式为.3 .汽车开始行驶时油箱内有油4 0 升，如果每小时耗油5 升， 则油箱内余油量Q升与行驶时间t 小时的关系是.答案：l.V R - 7 T ;2 . y= 2 3 ° -22^； 3 . Q = 4 0 - 5 t. § 11. 1 变3 100量与函数（ 二）教学目标1 ,经过回顾思考认识变量中的自变量与函数.2 .进一步理解掌握确定函数关系式.3 .会确定自变量取值范围.教学重点1 ,进一步掌握确定函数关系的方法.2.确定自变量的取值范围.教学难点认识函数、领会函数的意义.教学过程I .提出问题，创设情境我们来回顾一下上节课所研究的每个问题中是否各有两个变化？同一问题中的变量之间有什么联系？也就是说当其中一个变量确定一个值时， 另一个变量是否随之确定一个值呢？这将是我们这节研究的内容.II. 导入新课首先回顾一下上节活动一中的两个问题. 思考它们每个问题中是否有两个变量， 变量间存在什么联系.活动一两个问题都有两个变量. 问题( 1 ) 中， 经计算可以发现：每当售票数量x取定一个值时， 票房收入y 就随之确定一个值. 例如早场x= 1 5 0 , 则 y= 1 5 0 0 ； I I场 x= 2 0 5 ,则 y= 2 0 5 0 ；晚场 x= 3 1 0 , 则 y= 3 1 0 0 .问 题 ( 2 ) 中，通过试验可以看出：每当重物质量m确定一个值时，弹簧长度L就随之确定一个值. 如果弹簧原长1 0 c m , 每 1 k g 重物使弹簧伸长0 . 5 c m . 当 m = 1 0 时，则L = 1 5 , 当 m = 2 0 时，则 L = 2 0 .再来回顾活动二中的两个问题. 看看它们中的变量又怎样呢？问题( 1 ) 中, 很容易算出, 当 S = 1 0 c m 2 时 , r = l . 7 8 c m ；当 S = 2 0 c m 2 时 ,r=2. 5 2 c m .每当S取定一个值时，r随之确定一个值，它们的关系为厂祗 .问题( 2 ) 中，我们可以根据题意， 每确定一个矩形的一边长， 即可得出另一边长,再计算出矩形的面积. 如：当 x= l c m 时，则S=1X ( 5 - 1 ) = 4 c m2,当 x= 2 c m 时，则 S= 2 X ( 5 - 2 ) = 6 c m 2 它们之间存在关系S = x ( 5 - x) = 5 x- x\ 因此可知, 每当矩形长度 x 取定一个值时，面积S就随之确定一个值.山以上回顾我们可以归纳这样的结论：上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另 个 变 量随之就有唯一确定的值与它对应.其实，在一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量间的关系. 我们来看下面两个问题，通过观察、思考、讨论后回答：( 1 ) 下图是体检时的心电图. 其中横坐标x 表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量. 在心电图中，对于x的每个确定的值，y 都有唯一确定的对应值吗？（ 2 ）在下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以记作两个变量x与 y,对于表中每个确定的年份（ x ） ,都对应着个确定的人口数（ y ）吗？中国人口数统计表年份人口数/ 亿1 9 8 41 0 . 3 41 9 8 91 1 . 0 61 9 9 41 1 . 7 61 9 9 91 2 . 5 2通过观察不难发现在问题（ 1 ）的心电图中，对 于 x的每个确定值，y都有唯一确定的值与其对应；在 问 题 （ 2 ）中，对于表中每个确定的年份x , 都对应着一个确定的人口数y .一般地， 在一个变化过程中， 如果有两个变量x 与 y , 并且对于x的每个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应， 那么我们就说x是自变量（ ind e pe nd e ntv a ria b l e ） ,y是 x的函数（ f u nc tion） .如果当x = a 时，y = b , 那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.据此可以认为：上节情景问题中时间t 是自变量，里程s 是 t 的函数. t= l 时的函数值s= 6 0 , t= 2 时的函数值s= 1 2 0 , t= 2 . 5时的函数值s= 1 5 0 , …，同样地，在以上心电图问题中，时间x是自变量，心脏电流y是 x的函数；人口数统计表中， 年 份 x是自变量，人口数y是 x的 函 数 . 当 x = 1 9 9 9 时，函数值y = 1 2 . 5 2 亿.从上面的学习中可知许多问题中的变量之间都存在函数关系.［ 活动一］1 .在计算器上 按照下面的程序进行操作：|输入x（任产一个弱卜 健 区1CUE］国 目|显示y （ 4算 结 航 |填表:X13- 401 0 1y显示的数y是输入的数x的函数吗？为什么？2 . 在计算器匕 按照下面的程序进行操作.按 键 区 凶 匚1匚］ 日|显示y(S算结丽|下表中的X与 y 是输入的5 个数与相应的计算结果：X1230-1y3572-1所按的第三、 四两个键是哪两个键？ y 是 x 的函数吗？如果是， 写出它的表达式( 用含有x 的式子表示y).活动结论：1 . 从计算结果完全可以看出，每输入一个x 的值，操作后都有一个唯五的y 值与其对应，所以在这两个变量中，x 是自变量、y 是 x 的函数.2 . 从表中两行数据中不难看出第三、四 按 键 是 目 ［U 这两个键， 且每个x 的值都有唯一一个 y 值与其对应，所以在这两个变量中，x 是自变量，y 是 x 的函数. 关系式是：y=2x+l［ 活动二］例 1 一辆汽车油箱现有汽油5 0 L ,如果不再加油，那么油箱中的油量y ( L ) 随行驶里程 x (km )的增加而减少，平均耗油量为0. IL/km.1 . 写出表示y 与 x 的函数关系式.2 . 指出自变量x 的取值范围.3 . 汽车行驶200km时 、 油桶中还有多少汽油？结论：1 . 行驶里程x 是自变量，油箱中的油量y 是 x 的函数.行驶里程x 时耗油为：0. lx油箱中剩余油量为：50-0. lx所以函数关系式为：y=50-0. lx2 . 仅 从 式 子 y=50-0. lx 上看，x 可以取任意实数，但是考虑到x 代表的实际意义是行驶里程，所以不能取负数，并且行驶中耗油量为0. l x , 它不能超过油箱中现有汽油 5 0 L ,即 0. 1x<50, x<500.因此自变量x 的取值范围是：0WxW5003 . 汽车行驶200km时， 油箱中的汽油量是函数y=50-0. lx 在 x= 200时的函数值,将 x=200 代入 y=50-0. lx 得： y=50-0. 1X200=30汽车行驶200km时，油箱中还有30升汽油.关于函数自变量的取值范围1 . 实际问题中的自变量取值范围问题1 : 在上面的联系中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗?如果有. 各是什么样的限制？问题2 ：某剧场共有3 0 排座位，第 1 排 有 1 8个座位，后面每排比前一排多1 个座位，写出每排的座位数与这排的排数的函数关系式，自变量的取值有什么限制。

2 .用数学式子表示的函数的自变量取值范围例. 求下列函数中自变量x的取值范围(l )y =3 x —1 (2 ) y =2 x 2 + 7 (3 ) y -x_ j _2 (4 )y =\ / x —2分析：用数学表示的函数， 一般来说，自变量的取值范围是使式子有意义的值，对于上述的第(1 )(2 )两题，x取任意实数，这两个式子都有意义，而对于第(3 )题，(x +2 )必须不等于0式子才有意义，对于第(4 )题，(x —2 )必须是非负数式子才有意义.我们在巩固函数意义理解认识及确立函数关系式基础上，又该学会如何确定自变量取值范围和求函数值的方法. 知道了自变量取值范围的确定，不仅要考虑函数关系式的意义，而且还要注意问题的实际意义.m.随堂练习下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出用自变量表示函数的式子.1 .改变正方形的边长X,正方形的面积S随之改变.2 .秀水村的耕地面积是1 0 6n l 2 , 这个村人均占有耕地面积y随这个村人数n的变化而变化.解答：1 .正方形边长x是自变量，正方形面积S是 x的函数.函数关系式：S =x 22 .这个村人口数n 是自变量，人均占有耕地面积y是 n的函数.1 06函数关系式：y = nW . 小结本节课我们通过回顾思考、观察讨论，认识了自变量、函数及函数值的概念，并通过两个活动加深了对函数意义的理解， 学会了确立函数关系式、 自变量取值范围的方法,会求函数值，提高了用函数解决实际问题的能力.V .作业1 、习题 I L L 1 — 1 -1 2 、3 、4 题.2 、《 课堂感悟与探究》V I .活动与探究1 、小明去商店为美术小组买宣纸和毛笔，宣纸每张3元，毛笔每支5 元，商店正搞优惠活动，买一支毛笔赠一张宣纸. 小明买了 1 0 支毛笔和x张宣纸， 则小明用钱总数y(元)与宣纸数x 之间的函数关系是什么？过程：根据题意可知：当小明所买宣纸数X小于等于1 0 张时，所用钱数为：y =5 X 1 0 =5 0 （ 元）当小明所买宣纸数x大 于 1 0 张时，所用钱数为：y =5 0 + （ x - 1 0 ） X 3 =3 x + 2 0 （ 元）结果：当 0 〈 x W 1 0 时 y =5 0当 x >1 0 时 y =3 x + 2 02 、 为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过1 0 吨时，水价为每吨1 . 2 元；超 过 1 0 吨时，超过的部分按每吨1 . 8元收费 ,该市某户居民5月份用水x 吨 （ x > 1 0 ） ,应交水费y 元，请用方程的知识来求有关x 和 y的关系式，并判断其中一个变量是否为另一个变量的函数？5 1 0x — — y 4------( 参考答案：Y = L 8 x - 6 或 9 ' 3 )2 、如图（ 二） ，请写出等腰三角形的顶角y与底角x 之间的函数关系式.( = )* 3 . 如图（ 三） ，等腰直角三角形AB C 边长与正方形MNPQ的边长均为1 0 c m, AC 与 M N 在同一直线上，开始时A 点与M 点重合，让A A B C 向右运动，最后A 点与N 点重合。

试写出重叠部分面积y 与长度x 之间的函数关系式.板书设计§ 1 1 . 1 . 2 函数- 、自变量、函数及函数值二、自变量取值范围三、课堂练习备课资料1 .校园里栽下一棵小树高L 8米，以后每年长0 . 3 米，则 n年后的树高L与年数 n 之 间 的 函 数 关 系 式 .1 5 0 02 . 在男子1 5 0 0 米赛跑中， 运动员的平均速度v = t ， 则这个关系式中一是自变量，函数.3 .已知2 x - 3 y = l, 若把y 看成x的函数，则可以表示为一4 . A A BC中，AB = AC , 设/ B = x ° , NA= y ° , 试 写 出 y与 x的函数关系式5.到邮局投寄平信，每封信的重量不超过2 0 克时付邮费0 . 8 0 元，超过2 0 克而不超过4 0 克时付邮费1 . 6 0 元，依此类推，每增加2 0 克须增加邮费0 . 8 0 元 （ 信重量在 1 0 0 克内） . 如果某人所寄一封信的质量为7 8 . 5克，则他应付邮费_ _ _ _ _ _ _ _ 元.2 £答案： l. L = 0 . 8 + 0 . 3 n 2 . t v 是 t 的 3 . y = 3 x- 3 4 . y = 1 8 0 ° - 2 x 5 . 3 . 2 0 .§11. 1. 3函数图象(1)教学目标1 .学会用列表、描点、连线画函数图象.2 .学会观察、分析函数图象信息.3 .提高识图能力、分析函数图象信息能力.4 .体会数形结合思想，并利用它解决问题，提高解决问题能力.教学重点1 .函数图象的画法.2 .观察分析图象信息.教学难点分析概括图象中的信息.教学过程I .提出问题，创设情境我们在前面学习了函数意义，并掌握了函数关系式的确立. 但有些函数问题很难用函数关系式表示出来，然而可以通过图来直观反映. 例如用心电图表示心脏生物电流与时间的关系*即使对于能列式表示的函数关系，如果也能画图表示则会使函数关系更清晰.我们这节课就来解决如何画函数图象的问题及解读函数图象信息.I I . 导入新课问题1在前面，我们曾经从如图所示的气温曲线上获得许多信息，回答了一些问题. 现在让我们来回顾吓.先考虑一个简单的问题：你是如何从图上找到各个时刻的气温的？分 析 图中，有一个直角坐标系，它的横轴是f 轴，表示时间；它的纵轴是T轴，表示气温. 这一气温曲线实质上给出了某I I 的气温7 ( ℃) 与时间f ( 时) 的函数关系. 例如,上 午 1 0 时的气温是2℃ , 表现在气温曲线上，就是可以找到这样的对应点，它的坐标是( 1 0 , 2) . 实质上也就是说，当 1 = 1 0 时，对应的函数值7 = 2 . 气温曲线上每一个点的坐 标 表 示 时 间 为 f 时的气温是7 .问题2 如图， 这是20 0 4 年 3月 2 3 日上证指数走势图，你是如何从图上找到各个时刻的上证指数的？±UBB®[000001]分时图 2004/3/23-15:00分 析 图中，有一个直角坐标系，它的横轴表示时间；它的纵轴表示上证指数. 这一指数曲线实质上给出了 3月 2 3 日的指数与时间的函数关系. 例如，下 午 1 4 : 3 0 时的指数是 1 7 4 6 . 26 , 表现在指数曲线上，就是可以找到这样的对应点，它的坐标是( 1 4 : 3 0 ,1 7 4 6 . 26 ) . 实质上也就是说，当时间是1 4 : 3 0 时, 对应的函数值是1 7 4 6 . 26 .上面气温曲线和指数走势图是用图象表示函数的两个实际例子.一般来说，函数的图象是由直角坐标系中的一系列点组成的图形. 图象上每一点的坐标Q , y ) 代表了函数的一对对应值，它的横坐标x 表示自变量的某一个值，纵坐标y表示与它对应的函数值.一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象( g r a p h ) . 上图中的曲线即为函数S= x 2 ( x > 0 ) 的图象.函数图象可以数形结合地研究函数，给我们带来便利.［ 活动一］下图是自动测温仪记录的图象， 它反映了北京的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化. 你从图象中得到了哪些信息？引导学生从两个变量的对应关系上认识函数，体会函数意义；可以指导学生找出一天内最高、最低气温及时间；在某些时间段的变化趋势；认识图象的直观性及优缺点；总结变化规律…….结论：1 , 一天中每时刻t 都有唯一的气温T与之对应. 可以认为，气温T是时间t的函数.2 .这天中凌晨4时气温最低为- 3 ℃, 1 4 时气温最高为8 ℃.3 .从 0时至4时气温呈下降状态，即温度随时间的增加而下降. 从4时 至 1 4 时气温呈上升状态，从 1 4 时至2 4 时气温又呈下降状态.4 . 我们可以从图象中直观看出一天中气温变化情况及任时刻的气温大约是多少.［ 活动二］下图反映的过程是小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然 后 回 家 . 其 中 x 表示时间，y 表示小明离他家的距离.根据图象回答下列问题：1 . 菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？2 . 小明给菜地浇水用了多少时间？3 . 菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时间？4 . 小明给玉米地锄草用了多长时间？5 . 玉米地离小明家多远？小明从玉米地走回家平均速度是多少？引导学生分析图象、 寻找图象信息， 特别是图象中有两段平行于x 轴的线段的意义.结论：1 , 由纵坐标看出，菜地离小明家1. 1千米；由横坐标看出， 小明走到菜地用了15分钟.2 .由平行线段的横坐标可看出，小明给菜地浇水用了 10分钟.3 . 由纵坐标看出，菜地离玉米地0. 9 千米. 由横坐标看出， 小明从菜地到玉米地用了 12分钟.4 .由平行线段的横坐标可看出，小明给玉米地锄草用了 18分钟.5 .由纵坐标看出，玉米地离小明家2 千米. 由横坐标看出， 小明从玉米地走回家用了 25分钟. 所以平均速度为：2+25=0. 08 （ 千米/ 分钟） .我们通过两个活动已学会了如何观察分析图象信息，那么已知函数关系式，怎样画出函数图象呢？例 1 画出函数y = x + l的图象.分 析 要画出一个函数的图象，关键是要画出图象上的一些点，为此，首先要取一些自变量的值，并求出对应的函数值.解 取自变量x 的一些值，例如尤= - 3 , - 2 ,- 1 , 0, 1, 2, 3 …，计算出对应的函数值. 为表达方便，可列表如下：X•••-3-2- 1 01 23・・・y•••-2- 101 2 3 4• ••由这一系列的对应值，可以得到一系列的有序实数对:… ，( - 3 , - 2 ) , ( - 2 , - 1 ) , ( - 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 4 ) ,…在直角坐标系中,描出这些有序实数对( 坐标) 的对应点，如图所示.432( - 1 . 0 ) 1_ _ _ _ _ _ _ _ 1 ( 3 , 4 )< ( 2 , 3 )( 1 Z- ( 0 . 1 )-4 -|3 i( - 2 , - 1 ) * - - - - = 1 "I( - 3 , - 2 / - - - - - - --2-J -----1 ——|——1 --------- >1 2 3 4 x通常，用光滑曲线依次把这些点连起来，便可得到这个函数的图象，如图所示.总结归纳一下描点法画函数图象的一般步骤第一步：列表. 在自变量取值范围内选定一些值. 通过函数关系式求出对应函数值列成表格.第二步：描点. 在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点.第三步：连线. 按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来.练习：（ 1 ）下图是i种古代计时器——“ 漏壶”的示意图，在壶内盛- 定量的水， 水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度. 人们根据壶中水面的位置计算时间. 用X表示时间，y表示壶底到水面的高度. 下面的哪个图象适合表示y与X的函数关系？（ 2 ） a是自变量x取值范围内的任意一个值，过 点（ a , 0 ）画y轴的平行线， 与图中曲线相交. 下列哪个图中的曲线表示y是x的函数？为什么？（ 提示：当x =a时，x的函数y只能有一个函数值）解：1 .由题意可知，开始时壶内有一定量水，最终漏完，即开始时间x =0时，壶底水面高y W O .最终漏完即时间x到某一值时y =0 .故（ 1 ）图错.又因为壶内水面高低影响水的流速，开始漏得快，逐渐慢下来.所 以（ 3 ）图更适合表示这个函数关系.2.图（ 1 ）曲线表示y是x的函数.因 为 过（ a , 0 ）画y轴平行线与图形曲线只有一个交点，即x =a时，y有唯一的值与其对应，符合函数意义.图（ 2 ）曲线不表示y是x的函数.因为过点（ a , 0 ）画y轴平行线，与图中曲线有三个交点，即x =a时，y有三个值与其对应，不符合函数意义.n i .随堂练习1 . 在所给的直角坐标系中画出函数y = ；x的 图 象 （ 先填写下表，再描点、连线） .X- 3- 2- 10 1 2 3y4321- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 x- 1- 2- 3- 42 . 画出函数y = -2的 图 象 （ 先填写下表，再描点、然后用光滑曲线顺次连结各点） .xX-6-3-2- 112 3 6y3 . 画出下列函数的图象：（ l ） y =4 x —1 ； （ 2 ） y =4 x +l .I V .课时小结本节学会了分析图象信息， 解答有关问题. 通过例题学会了用描点法画出函数图象,这样我们又一次利用了数形结合的思想.V .课后作业习题 1 1 . 1 —5 、6 、7 题.V I .活动与探究某商店售货时，在进价的基础上加一定利润，其数量x与售价y 如下表表示. 请你根据表中所提供的信息，列出售价y 与数量x的函数关系式，并求出当数量为2 . 5 千克时的售时是多少元.数量X （ 千克）售价y （ 元）18 +0 . 421 6 +0 . 832 4 +1 . 243 2 +1 . 654 0 +2 . 0结果：由表中可以看出：y= (8+0. 4) • x=8. 4x当 x=2. 5 千克时 y=8. 4X2. 5=21 ( 元) .板书设计・ ・ ・・ ・ ・§ 11. 1. 3函数图象・、数形结合二、图象信息三、描点法画图四、课堂练习§11. 1. 3函数图象（2）教学目标1 . 使学生掌握用描点法画实际问题的函数图象；2 . 使学生能从图形中分析变量的相互关系， 寻找对应的现实情境， 预测变化趋势等问题.教学重难点：通过观察实际问题的函数图象， 使学生感受到解析法和图象法表示函数关系的相互转换这•数形结合的思想.教学过程I ,提出问题，创设情境问 题 王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山. 有一天，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷. 图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离（ 米）与爬山所用时间（ 分）的 关 系 （ 从小强开始爬山时计时） .问 图中有一个直角坐标系，它的横轴（ x 轴）和 纵 轴 （ y轴）各表示什么？答 横 轴 （ x 轴 ）表示两人爬山所用时间，纵 轴 （ y轴 ）表示两人离开山脚的距离.问 如图，线段上有一点P ,则 P 的坐标是多少？表示的实际意义是什么？答 P 的坐标是（ 3 , 9 0 ） .表示小强爬山3分后，离开山脚的距离9 0 米.我们能否从图象中看出其它信息呢？I I . 导入新课看上面问题的图，回答下列问题：（ 1 ） 小强让爷爷先上多少米？（ 2 ） 山顶离山脚的距离有多少米？谁 先 爬 顶 ？分 析 （ 1 ） 小强让爷爷先跑的路程，应该看表示爷爷的这条线段. 由于从小强开始爬山时计时的，因此这时爷爷爬山所用时间是0 ,而x 轴表示爬山所用时间，得 x = 0 . 可段上找到这一点A （ 如图） .4点对应的函数值） ， = 6 0 .（ 2 ） ） ， 轴表示离开山脚的距离，山顶离山脚的距离指的是离开山脚的最大距离，也就是函数值y取最大值. 可分别在这两条线段上找到这两点8 、C （ 如图） ，过 8 、C两点分别向x轴、y轴作垂线，可发现交y 轴于同一点。

（ 因为两人爬的是同一座山）， 点的数值就是山顶离山脚的距离，分别交x轴于M、N , M、N点的数值分别是小强和爷爷爬上山顶所用的时间，比较两值的大小就可判断出谁先爬上山顶.解 ( D 小强让爷爷先上60米；(2)山顶离山脚的距离有. 300米，小强先爬上山顶.归 纳 在观察实际问题的图象时，先从两坐标轴表示的实际意义得到点的坐标意义. 如图中的点尸(3, 9 0 ),这一点表示小强爬山3 分后，离开山脚的距离90米. 再从图形中分析两变量的相互关系，寻找对应的现实情境. 如图中的两条线段都可以看出随着自变量x 的逐渐增大，函数值y 也随着逐渐增大，再联系现实情境爬山所用时间越长，离开山脚的距离越大，当x 达到最大值时，也就是到达山顶.I I I 例题与练习例 1小明从家里出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家. 下面的图描述了小明在散步过程中离家的距离s ( 米) 与散步所用分 析 从图中可发现函数图象分成四段，因此说明小明散步的情况应分成四个阶段.线段点的坐标是(0, 0 ) , 因此点表示小明这时从家里出发，然后随着x 值的增大，y 值也逐渐增大( 散步所用时间越长，离家的距离越大) ，最后到达4 点，A点的坐标是(3, 2 5 0 ),说明小明走了约3 分钟到达离家250米处的一个阅报栏.线段A8：观察这一段图象可发现x 值在增大而y 值保持不变( 小明这段时间离家的距离没有改变) ，8 点横坐标是8 , 说明小明在阅报栏前看了 5 分钟报.线段8C：观察这一段图象可发现随着x 值的增大，y 值又逐渐增大，最后到达C点，C 点的坐标是(10, 4 5 0 ),说明小明看了 5 分钟报后，又向前走了 2 分钟，到达离家450米处.线 段 C D ：观察这一段图象可发现随着x值的增大，而 y 值逐渐减小( 1 0 分钟后散步所用时间越长，离家的距离越小) ，说明小明在返回，最后到达。

点，点的纵坐标是 0,表示小明已到家. 这一段图象说明从离家2 5 0 米处返回到家小明走了 6分钟.解 小明先走了约3分钟，到达离家2 5 0 米处的一个阅报栏前看了 5分钟报，又向前走了 2分钟，到达离家4 5 0 米处返回，走了 6分钟到家.I V 小结1 . 画实际问题的图象时，必须先考虑函数自变量的取值范围. 有时为了表达的方便，建立直角坐标系时，横轴和纵轴上的单位长度可以取得不一致；2 . 在观察实际问题的图象时，先从两坐标轴表示的实际意义得到点的坐标的实际意义. 然后观察图形，分析两变量的相互关系，给合题意寻找对应的现实情境.V检测反馈1 . 下图为世界总人口数的变化图. 根据该图回答：( 1 ) 从 1 8 3 0 年 到 1 9 9 8 年，世界总人口数呈怎样的变化趋势？( 2 ) 在图中，显示哪一段时间中世界总人口数变化最快？2 . 一枝蜡烛长2 0 厘米，点燃后每小时燃烧掉5厘米，则下列3幅图象中能大致刻画出这枝蜡烛点燃后剩下的长度h ( 厘米) 与点燃时间t之间的函数关系的是( ) .3 . 已知等腰三角形的周长为1 2 c m, 若底边长为y c m, 一腰长为x c m.( 1 ) 写出y与 x的函数关系式；( 2 ) 求自变量x的取值范围；( 3 ) 画出这个函数的图象.4. 周末，小李8时骑自行车从家里出发，到野外郊游，16时回到家里. 他离开家后的距离S ( 千米) 与时间f ( 时) 的关系可以用图中的曲线表示. 根据这个图象回答下列问题：(1)小李到达离家最远的地方是什么时间？(2)小李何时第一次休息？(3) 10时 到13时，小骑了多少千米？(4)返回时，小李的平均车速是多少？§11. 1. 4函数的图象（3）教学目标1 . 总结函数三种表示方法. 了解三种表示方法的优缺点.3 . 会根据具体情况选择适当方法.教学重点1 . 认清函数的不同表示方法，知道各自优缺点.2 . 能按具体情况选用适当方法.教学难点函数表示方法的应用.教学过程I , 提出问题，创设情境我们在前几节课里已经看到或亲自动手用列表格. 写式子和画图象的方法表示了 ­些函数. 这三种表示函数的方法分别称为列表法、解析式法和图象法.思考一下，从前面的例子看，你认为三种表示函数的方法各有什么优缺点？在遇到具体问题时，该如何选择适当的表示方法呢？这就是我们这节课要研究的内容.I I . 导入新课从前面几节课所见到的或自己做的练习可以看一出. 列表法比较直观、准确地表示出函数中两个变量的关系. 解析式法则比较准确、全面地表示出了函数中两个变量的关系. 至于图象法它则形象、直观地表示出函数中两个变量的关系.相比较而言，列表法不如解析式法全面，也不如图象法形象：而解析式法却不如列表法直观，不如图象法形象；图象法也不如列表法直观准确，不如解析式法全面.从全面性、直观性、准确性及形象性四个方面来总结归纳函数三种表示方法的优缺点.表示方法全面性准确性直观性形象性列表法XVVX解析式法VVXX图象法XXVV从所填表中可清楚看到三种表示方法各有优缺点. 在遇到实际问题时，就要根据具体情况、具体要求选择适当的表示方法，有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时使用.I I I 例题与练习例 1： 一水库的水位在最近5 小时内持续上涨，下表记录了这5 小时的水位高度.t/时012345…y/米1010. 0510. 1010. 1510. 2010. 25・ ・ ・1 . 由记录表推出这5 小时中水位高度y （ 米）随时间t （ 时）变化的函数解析式,并画出函数图象.2 . 据估计这种上涨的情况还会持续2 小时， 预测再过2 小时水位高度将达到多少米？分析：记录表中已经通过6 组数值反映了时间t 与水位y 之间的对应关系. 我们现在需要从这些数值找出这两个表量之间的•般联系规律，由它写出函数解析式来，再画出函数图象，进而预测水位.解： 1 . 由表中观察到开始水位高10米，以后每隔1 小时，水位升高0. 05米，这样的规律可以表示为：y=0. 05t+10 (0WtW7)这个函数的图象如下图所示：2 . 再过2 小时的水位高度，就是t=5+2=7时，y=0. 05t+10的函数值，从解析式容易算出：y=0. 05X7+10=10. 35从函数图象也能得出这个值数.2 小时后，预计水位高10. 35米.提出问题：1 , 函数自变量t 的取值范围：0WtW7是如何确定的？2 . 2 小时后的水位高是通过解析式求出的呢，还是从函数图象估算出的好？3 . 函数的三种表示方法之间是否可以转化？从题目中可以看出水库水位在5 小时内持续上涨情况， 且估计这种上涨情况还会持续2 小时， 所以自变量t 的取值范围取0WtW7,超出了这个范围，情况将难以预计. 2小时后水位高通过解析式求准确，通过图象估算直接、方便. 就这个题目来说，2 小时后水位高本身就是•种估算，但为了准确而言， 还是通过解析式求出较好.从这个例子可以看出函数的三种不同表示法可以转化，因为题目中只给出了列表法，而我们通过分析求出解析式并画出了图象，所以可以相互转化.练习：1 , 用列表法与解析式法表示n 边形的内角和m 是边数n 的函数.2 . 用解析式与图象法表示等边三角形周长L 是边长a 的函数.解析： 1 . 因为n 表示的是多边形的边数，所以，n 是大于等于3 的自然数.n3456・ ・ ・m180360540720・ ・ ・山表可看出， 三角形内角和为180° , 边数每增加1 条，内角和度数就增加180° . 故此 m、n 函数关系可表示为：m= (n-2) - 180° (n>3 的自然数) .2 . 因为等边三角形的周长L 是边长a 的 3 倍 . 所 以 周 长 L 与边长a 的函数关系可表示为：L=3a (a>0)我们可以用描点法来画出函数L=3a的图象.列表:a…1234…L・ ・ ・36912・ ・ ・描点、连线:3、 甲车速度为20米 / 秒 ，乙车速度为25米/ 秒. 现甲车在乙车前面500米，设 x秒后两车之间的距离为y 米 . 求 y 随 x (OWxWlOO)变化的函数解析式，并画出函数图象.解：由题意可知：x 秒后两车行驶路程分别是：甲车为：20x 乙车为: 25x两车行驶路程差为：25x-20x=5x两车之间距离为：500-5x所以：y 随 x 变化的函数关系式为：y=500-5x OWxWlOO用描点法画图：X・ ・ ・10203040y.・・450400350300六5OO-5XX50607080•••y250200150100・ ・ ・，5 0 0 14 0 0 13 0 0 12 0 0 11 0 0 1一。

w 0WX&1001020304050 100 xI V .课堂小结通过本节课学习，我们认识了函数的三种不同的表示方法，并归纳总结出三种表示方法的优缺点，学会根据实际情况和具体要求选择适当的表示方法来解决相关问题， 进一步知道了函数三种不同表示方法之间可以转化.其实函数图象与函数性质之间存在着必然联系，我们可以归纳如下：图象特征 函数变化规律由左至右曲线呈上升状态. =y随 X的增大而增大.由左至右曲线呈下降状态. = 丫随* 的增大而减小.曲线上的最高点是（ a, b） . =x=a 时，y 有最大值b.曲线上的最低点是（ a, b） . U > x = a时，y有最小值b.V .课后作业1 、 习题 1 1 . 1 —8 、9 、1 1 、1 2 题.2 、 《 课堂感悟与探究》VI板书设计§ 1 1 . 1 . 3函数图象一、函数的三种表示方法二、不同表示方法的优缺点三、不同表示方法的具体选择四、随堂练习备课资料甲、乙两人分别骑自行车与摩托车从A城出发到B城旅游. 甲、乙两人离开A 城的路程与时间之间的函数图象如图所示. 根据图象你能得到甲、乙两人旅游的哪些信息？1 .甲骑自行车从A城去B城用了8个小时. 乙骑摩托车从A城去B城用了2 个小时.2 .甲比乙早4个小时出发，晚 2个小时到达.3 .甲骑自行车在出发后第一个2小时内行驶了4 0 千米， 第二个2小时内行驶了2 0 千米，然后停留了 1 个小时，又 在 1 个小时内行驶了 2 0 千米，最后用2 个小时行驶了 2 0千米完成全程到达B城.乙骑摩托车在2小时内行驶了 1 0 0 千米路程到达B城.4 .甲、乙在距A城 6 0 多千米的地方相遇一次.11. 2 一次函数§11. 2. 1正比例函数教学目标1 . 认识正比例函数的意义.2 . 掌握正比例函数解析式特点.3 . 理解正比例函数图象性质及特点.4 . 能利用所学知识解决相关实际问题.教学重点1 . 理解正比例函数意义及解析式特点.2 . 掌握正比例函数图象的性质特点.3 . 能根据要求完成转化，解决问题.教学难点正比例函数图象性质特点的掌握.教学过程I . 提出问题，创设情境一九九六年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥( 候鸟) 套上标志环. 4 个月零1 周后人们在2. 56万千米外的澳大利亚发现了它.1 . 这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米( 精确到10千 米 ) ？2 . 这只燕鸥的行程y ( 千米) 与飞行时间x ( 天) 之间有什么关系？3 . 这只燕鸥飞行1 个半月的行程大约是多少千米？我们来共同分析：一个月按30天计算，这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于：256004- (30X4+7) *=200 (km)若设这只燕鸥每天飞行的路程为200km,那么它的行程y ( 千米) 就是飞行时间x( 天) 的函数. 函数解析式为：y=200x (0WxW127)这只燕鸥飞行1 个半月的行程，大约是x=45时函数y=200x的值. 即y=200X45=9000 (km)以上我们用y=200x对燕鸥在4 个月零1 周的飞行路程问题进行了刻画. 尽管这只是近似的，但它可以作为反映燕区鸟的行程与时间的对应规律的一个模型.类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多. 它们都具备什么样的特征呢？我们这节课就来学习.I I . 导入新课首先我们来思考这样一些问题， 看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？这些函数有什么共同特点？1 . 圆的周长L 随半径r 的大小变化而变化.2 . 铁的密度为7. 8g/cm3. 铁块的质量m ( g ) 随它的体积V (cm3) 的大小变化而变化.3 .每个练习本的厚度为0 . 5 c m . 一些练习本摞在一些的总厚度h ( c m ) 随这些练习本的本数n的变化而变化.4 .冷冻一个0 ℃的物体，使它每分钟下降2 ℃ . 物体的温度T ( °C ) 随冷冻时间t ( 分) 的变化而变化.答应： 1 .根据圆的周长公式可得：L = 2 万r .2 .依据密度公式p=£可得：m = 7 . 8 V .3 .据题意可知： h = 0 . 5 n .4 .据题意可知: T = - 2 t .我们观察这些函数关系式，不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式，和y = 2 0 0 x 的形式一样.一般地，形如y = k x ( k 是常数，k W 0 ) 的函数，叫做正比例函数( p r o p o r t i o n a lf u n c - t i o n ) , 其中k叫做比例系数.我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点，那么它的图象有什么特征呢？［ 活动一］画出下列正比例函数的图象，并进行比较，寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律.1 . y = 2 x 2 . y = - 2 x结论：1 .函数y = 2 x 中自变量x 可以是任意实数. 列表表示儿组对应值：X- 3- 2- 10123y- 6- 4- 20246画出图象如图( 1 ) .2 . y = - 2 x 的自变量取值范围可以是全体实数，列表表示几组对应值:X- 3- 2-10123y6420- 2- 4- 6画出图象如图（ 2 ） .3. 两个图象的共同点：都是经过原点的直线.不同点：函数y = 2 x 的图象从左向右呈上升状态，即随着x的增大y也增大；经过第一、三象 限 .函 数 y = - 2 x 的图象从左向右呈下降状态，即随x增大y反而减小； 经过第二、四象限.尝试练习：在同•坐标系中，画出下列函数的图象，并对它们进行比较.X- 6- 4- 202461y= 一 x2- 3- 2- 10123Y=- - x23210- 1- 2- 3比较两个函数图象可以看出：两个图象都是经过原点的直线.函数y='x的图象2从左向右上升，经过三、一象限，即随x 增大y也增大；函数y = - 1 x 的图象从左向右2下降，经过二、四象限，即随x 增大y反而减小.让学生在完成上述练习的基础上总结归纳出正比例函数解析式与图象特征之间的规律：正比例函数y = k x （ k是常数，k W O ）的图象是一条经过原点的直线.当x > 0 时,图象经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当 k 〈 0时， 图象经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y反而减小.正是由于正比例函数y = k x （ k是常数，k W O ）的图象是一条直线， 我们可以称它为直线y = k x .［ 活动二］经过原点与点（ 1 , k ）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时， 怎样画最简单？为什么？让学生利用总结的正比例函数图象特征与解析式的关系，完成由图象到关系式的转化，进一步理解数形结合思想的意义，并掌握正比例函数图象的简单画法及原理.结论：经过原点与点（ 1 , k ）的直线是函数y = k x 的图象.画正比例函数图象时，只需在原点外再确定一个点，即找出一组满足函数关系式的对应数值即可，如 （ 1 , k ） . 因为两点可以确定一条直线.i n . 随堂练习用你认为最简单的方法画出下列函数图象：31 . y=— x 2 . y=-3 xI V . 课时小结本节课我们通过实例了解了正比例函数解析式的形式及图象的特征， 并掌握图象特征与关系式的联系规律， 经过思考、 尝试， 知道了正比例函数不同表现形式的转化方法,及图象的简单画法，为以后学习一次函数奠定了基础.V . 课后作业1 、 习题 1 1 . 2 — 1 、2 、6 题.2 、 《 课堂感悟与探究》V I . 活动与探究某函数具有下面的性质：1 . 它的图象是经过原点的一条直线.2 . y随 x 增大反而减小.请你举出一个满足上述条件的函数，写出解析式，画出图象.解：函数解析式：y = - 0 . 5 xX02y0- 1yW-0. 5X板书设计§ 1 1 . 2 . 1 正比例函数一、正比例函数定义二、正比例函数图象特征三、正比例函数图象特征与解析式的关系规律四、随堂练习备课资料汽车由天津驶往相距1 2 0 千米的北京，S （ 千米）表示汽车离开天津的距离， t1 . 汽车用几小时可到达北京？速度是多少？2 . 汽车行驶1 小时，离开天津有多远？3 . 当汽车距北京2 0 千米时，汽车出发了多长时间？解法一：用图象解答：从图上可以看出4个小时可到达.速度='12=030 （ 千 米 /时 ） .4行 驶 1 小时离开天津约为30千米.当汽车距北京20千米时汽车出发了约3. 3 个小时.解法二：用解析式来解答：由图象可知: S与 t 是正比例关系，设$= h，当 t = 4 时 S = 120即 120= k X 4 k = 30AS=30t.当 t=l 时 S=30 Xl=30 （ 千米） .当 S=100 时 100=30t t= —（ 小时） .3以上一两种方法比较，用图象法解题直观，用解析式解题准确，各有优特点.§11. 2. 2 一次函数（ 一）教学目标1、掌握一次函数解析式的特点及意义2、知道一次函数与正比例函数的关系3 ,理解一次函数图象特点与解析式的联系规律教学重点1、 一次函数解析式特点2、 •次函数图象特征与解析式的联系规律教学难点1、一次函数与正比例函数关系2、根据已知信息写出一次函数的表达式。

教学过程I ,提出问题，创设情境问题1小明暑假第一次去北京. 汽车驶上A地的高速公路后， 小明观察里程碑, 发现汽车的平均车速是95千米/小时.已知A地直达北京的高速公路全程为570千米，小明想知道汽车从A地驶出后, 距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根据时间估计自己和北京的距离.分 析 我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化, 要想找出这两个变化着的量的关系, 并据此得出相应的值, 显然, 应该探求这两个变量的变化规律. 为此, 我们设汽车在高速公路上 . 行驶时间为f小时, 汽车距北京的路程为s千米, 根据题意,s和t的函数关系式是s=570—95f.说 明 找出问题中的变量并用字母表示是探求函数关系的第一步, 这里的s、f是两个变量，S是r的函数，r是自变量，S是因变量.问题2小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来. 他已存有50元， 从现在起每个月节存12元. 试写出小张的存款与从现在开始的月份之间的函数关系式.分 析 我们设从现在开始的月份数为x ,小张的存款数为＞ • 元, 得到所求的函数关系式为：y=50+12x.问题3以上问题1和问题2表示的这两个函数有什么共同点？I I .导入新课上面的两个函数关系式都是左边是因变量y , 右边是含自变量x的代数式。

并且自变量和因变量的指数都是一次若两个变量x , y 间的关系式可以表示成y = k x + b ( k , b为常数k# 0 )的形式，则称y是 x的­ •次函数( x 为自变量，y为因变量) 特别地，当 b = 0时，称 y是 x的正比例函数例 1：下列函数中，y 是 x的一次函数的是( )2 x①y = x - 6： ® y = — ； ® y = — ； @ y = 7 - xx 8A、① ② @ B、① ③ ④ C、① ② © ④ D、②③④例 2 下列函数关系中，哪些属于一次函数，其中哪些又属于正比例函数？( 1) 面积为l O c n ? 的三角形的底a (c m )与这边上的高人 (c m )；(2)长为8 (c m )的平行四边形的周长L (c m )与宽b (c m ):(3 )食堂原有煤120 吨，每天要用去5 吨，x 天后还剩卜煤y 吨；(4 )汽车每小时行4 0 千米，行驶的路程s (千米)和时间/ (小时).(5 )汽车以6 0 千米/ 时的速度匀速行驶，行驶路程中y (千米)与行驶时间x (时)之间的关系式；( 6 ) 圆的面积y (厘米2 ) 与它的半径x (厘米)之间的关系；(7) 一棵树现在高5 0 厘米，每个月长高2 厘米，x 月后这棵树的高度为y (厘米)分 析 确定函数是否为一次函数或正比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符合y= f c c + b (k # O )或 〉 = 乙 々 - 0 )形式，所以此题必须先写出函数解析式后解答.20解 (1)& = 一 ，不是一次函数.h⑵ L = 2b + 16 , L是 b的一次函数.(3 )y= 15 0 —5 x, y 是 x 的一次函数.(4 )s = 4 0 r , s 既是t的一次函数又是正比例函数.(5 ) y= 6 0 x, y 是 x 的一次函数，也是x 的正比例函数；(6 ) y= n x2, y 不是x 的正比例函数，也不是x 的一次函数；(7) y= 5 0 + 2x, y 是 x 的一次函数，但不是x 的正比例函数例 3已知函数)， = ( k - 2 ) x + 2 k + l , 若它是正比例函数，求& 的值. 若它是一次函数，求 k的值.分 析 根据一次函数和正比例函数的定义, 易求得人的值.解 若 y = ( k - 2)x+2k +1 是正比例函数， 则2 k +1= 0 , 即 A = — ; .若 y = ( k - 2)x+2k +1 是一次函数， 则 L 2# 0 , 即 k ¥2.例 4 已知y 与 x—3 成正比例，当x =4时，y= 3 .(1)写出y 与 x 之间的函数关系式；(2)y与 x 之间是什么函数关系；(3 )求 x = 2. 5 时，y 的值.解 (1)因 为 y 与 x - 3 成正比例， 所以y= k (x- 3 ).又因为x =4时，y = 3 , 所以3 = k (4 —3 ),解得k =3,所以 y=3( x- 3)=3x—9.(2) y 是 x 的一次函数.(3 )当 x= 2. 5 时，y= 3 X2. 5 = 7. 5 .例 5已知4、B 两地相距3 0 千米，B 、C两地相距4 8千米. 某人骑自行车以每小时12千米的速度从A地出发，经过8 地到达C地. 设此人骑行时间为x (时)，离 8 地距离为 y (千米).(1)当此人在A、B 两地之间时，求 y 与 x 的函数关系及自变量x 取值范围.(2)当此人在8 、C两地之间时，求 y 与x 的函数关系及自变量x 的取值范围.分 析 (1)当此人在4、B 两地之间时，离 B 地距离y 为A、B 两地的距离与某人所走的路程的差.A - - - - - - - - - - - - - - - -B- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - C3 0 千米 4 8千米(2)当此人在8 、C两地之间时，离 B 地距离)， 为某人所走的路程与A 、8 两地的距离的差./ C 、y/ - - - - - - - - - - - - - - - - - B - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - C< _ _ _ ， < _ _ _ ，3 阡米 4 8千米解 (1) y= 3 0 - 12x. (0 W xW 2. 5 )(2) y= 12x- 3 0 . (2. 5 W xW 6 . 5 )例 6 某油库有一没储油的储油罐， 在开始的8 分钟时间内， 只开进油管，不开出油管，油罐的进油至24 吨后，将进油管和出油管同时打开16 分钟，油罐中的油从24 吨增至4 0 吨. 随后又关闭进油管，只开出油管，直至将油罐内的油放完. 假设在单位时间内进油管与出油管的流量分别保持不变. 写出这段时间内油罐的储油量y (吨)与进出油时间x (分)的函数式及相应的x 取值范围.分析因为在只打开进油管的8 分钟内、 后又打开进油管和出油管的16 分钟和最后的只开出油管的三个阶级中，储油罐的储油量与进出油时间的函数关系式是不同的，所以此题因分三个时间段来考虑. 但在这三个阶段中，两变量之间均为一次函数关系.解 在第一阶段：y= 3 x(0 W xW 8)；在第二阶段：y= 16 + x ( 8 4 W 16 ) ；在第三阶段：y =—2x+ 88(24 W xW 4 4 ).m.随堂练习1、见下表:X- 2- 1012..........y- 5- 2147..........根据上表写出y 与 x 之间的关系式是:, y是否为x —的次函数？y 是否为x 有正比例函数？2、为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6米 3 时，水费按0 . 6 元/ 米3 收费；每户每月用水量超过6米 3时，超过部分按1 元/ 米3 收费。

设每户每月用水量为x米 3 , 应缴水费y元1 )写出每月用水量不超过6米 3 和超过6米 3 时，y与 x之间的函数关系式，并判断它们是否为一次函数 (2 )已知某户5月份的用水量为8 米 3 , 求该用户5月份的水费 [ ①y = 0 . 6 x ,y = x - 2 . 4 , y 是 x 的一次函数②y = 8 - 2 . 4 = 5 . 6 (元 )]I V . 课时小结1 、一次函数、正比例函数的概念及关系2 、能根据己知简单信息，写出一次函数的表达式V.课后作业1 、已知y - 3 与 x成正比例，且 x=2时，y = 7(1 )写出y与 x 之间的函数关系.(2 )y 与 x之间是什么函数关系.(3 )计算y=-4时x的值.2 . 甲市到乙市的包裹邮资为每千克0 . 9 元，每件另加手续费0 . 2 元，求总邮资)， (元)与包裹重量x (千克)之间的函数解析式，并计算5 千克重的包裹的邮资.3 . 仓库内原有粉笔4 0 0 盒. 如果每个星期领出3 6 盒，求仓库内余下的粉笔盒数与星期数， 之间的函数关系.4 . 今年植树节，同学们种的树苗高约1 . 8 0 米. 据介绍，这种树苗在1 0 年内平均每年长高 0.35米 . 求树高与年数之间的函数关系式. 并算•算4 年后同学们中学毕业时这些树约有多高.5. 按照我国税法规定：个人月收入不超过800元，免交个人所得税. 超过800元不超过1300元部分需缴纳5%的个人所得税. 试写出月收入在800元 到 1300元之间的人应缴纳的税金y （ 元）和月收入x （ 元）之间的函数关系式.板书设计§11. 2. 2 一次函数一、一次函数的定义二、一次函数与正比例函数的联系三、根据题意列函数关系式四、随堂练习§11. 2. 2 一次函数( 二)教学目标1、理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系。

2、能较熟练作出一次函数的图象教学重点1、能熟练地作出一次函数的图象3、归纳作函数图象的一般步骤教学难点理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系教学过程I . 提出问题，创设情境1、回顾作函数图象的一般步骤前面我们已经学习了一次函数及正比例函数的概念, 正比例函数与一次函数的关系， 并能根据已知信息列出x 与y 的函数关系式， 本节课我们研究一下一次函数的图象及性质2 . 在同个平面直角坐标系中画出下列函数的图象.(l)y=-6x (2)y=-6x + 5 (3)y=3x (4)y=3x+2I I . 导入新课问题1：以上四个一次函数图象是什么形状呢？让学生观察、讨论，得出四个函数的图象都是直线.问题2： 一次函数y=kx+b(kWO)的图象都是- - 条直线吗? 举例验证.让学生猜想，举例验证，发现一次函数y=kx+b(kWO)的图象是一条直线指出这条直线通常也称为直线y=kx+b(bW O),特别地，正比例函数y=kx(kWO)的图象是经过(0, 0)的条直线.问题3：几个点可以确定一条直线？问题4：画一次函数图象时，只要取几个点？只要取两点 今后画一次函数的图象， 只要取两点再过两点画直线即可.问 题5：观 察 “ 做 一做”画出的四个函数的图象，如图所示，比较下列各对一次函数的图象有什么共同点，有什么不同点.(l)y=-6x 与 y=-6x+2(2)y=1 x 与 y=1 x+2(3)y=-6x+2 与 y=T x+2能否从中发现一些规律？问题6：对于直线y=kx+b(k、b是常数，kW O).常 数k和b的取值对于直线的位置各有什么影响？让学生讨论，交流，然后填空：两个一次函数，当k 一样，b不一样时，有共同点：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _不同点: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _当两个一次函数，b一样，k不一样时，有共同点：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _不同点：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象(l)y=2x 与 y=2x+3 (2)y=2x+l 与 y= ； x + 1请同学们画出图象后，看看是否与上面的讨论结果一样.m .例题与练习例1 ( 1 )作出一次函数y=-2x+5的图象，(2 )在所作的图象上取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否满足关系式y=-2x+5。

列表：描点：以表中各组对应值作为点的坐标， 在直角坐标第内描出相应的点X・・・-2-1012•・・y=-2x+5・・・97531•・・连线：把这些点依次连接起来，得到y = - 2 x + 5的图象，它是一条直线图象如下：在图象上找点 A （ 3 , - 1 ） B （ 4 , - 3 ） ,当 x = 3 时，y = - 2 X 3 + 5 = - l；当 x = 4时，y = - 2 X 4 + 5 = - 3 o （ 3 , - 1 ） , （ 4 , - 3 ）满足关系式 y = - 2 x + 5议一议（ 1 ）满足关系式y = - 2 x + 5的x、y所对应的点（ x , y ）都在一次函数y = - 2 x + 5的图象上吗？（ 2 ） 一次函数y = - 2 x + 5的图象上的点（ x , y ）都满足关系式y = - 2 x + 5吗？分组讨论，然后回答 1 ）满足关系式y = - 2 x + 5的x , y所对应的点（ x , y ）都在一次函数y = - 2 x + 5的图象上 2 ） 一次函数y = - 2 x + 5的图象上的点（ x , y ）都满足关系式y = - 2 x + 5。

由此看来，满足函数关系式y = - 2 x + 5的x , y所对应的点（ x , y ）都在一次函数y = - 2 x + 5的图象上；反过来，一次函数y = - 2 x + 5的图象上的点（ x , y ）都满足关系式y = - 2 x + 5 o所以，一次函数的代数表达式与图象是一一对应的，即满足一次函数的代数表达式的点在图象上，图象上的每一点的横坐标x,纵坐标y都满足■■次函数的代数表达式例2在同一平面直角坐标系中画出下列每组函数的图象.⑴ y = 2 x 与 y = 2 x + 3 ；（ 2 ） y = 3 x + l 与 y = ；x + l.X01y=2x02X0- 1y = 2 x + 331X0- 1y=3x+l1-2X0-21 1V = - x + 1210想 一 想（1）上面每组中的两条直线有什么关系？（2）你取的是哪儿个点，互相交流，看谁取的点比较简便.结论：一般情况下，要取直线与x轴、y轴的交点比较简便.例3直线 > = -；8+ 34 = - 3工-5分别是由直线^ = - ；》 经过怎样的移动得到的.分 析 只要k相同， 直线就平行， 一次函数？ = 依 + 从AWO）是由正比例函数的图 象 经 过 向 上 或 向 下 平 移 网 个 单 位 得 到 的 .b > 0 ,直线向上移;b < 0 ,直线向下移.解> = -3 8 + 3是由直线？ = - 3》 向上平移3个单位得到的；而y = -g x -5是由直线y = 向下平移5个单位得到的.I V .课时小结1 . 一次函数的图象是什么形状呢？2 .画一次函数图象时，只要取几个点? 怎样取比较简便？3 .两个一次函数图象，当k 一样，b不一样时，有什么共同点和不同点?当b一样，k不一样时，有什么共同点和不同点？V.课后作业§11. 2. 2 一次函数一、一次函数的图象二、图象性质三、画一次函数图象的步骤§11. 2. 2 一次函数（ 三）教学目标1 .掌 握 一 次 函 数 伙W0）的性质.2 .能根据k 与b的值说出函数的有关性质.教学重点1 . 一次函数中k与人的值对函数性质的影响；2 .结合图象体会一次函数晨b的取值和直线位置的关系, 提高数形结合能力.教学难点一次函数入匕的取值和直线位置的关系，数形结合能力教学过程I .提出问题，创设情境1 . 一次函数的图象是一条直线， 一般情况下我们画―次函数的图象，取哪两个点比较简便？2 . 在同一直角坐标系中，画出函数y = 4 x + l和y = 3 x -2的图象.问 在所画的一次函数图象中，直线经过几个象限.X0_ 3~ 22 ,V = —x + 1310X011y = 3 x -2-21I I .导入新课L在所画的一次函数图象中，直线经过了三个象限.2 .观察图象发现在直线y = +1上, 当一个点在直线上从左向右移动时, （ 即自变量x从小到大时） ，点的位置也在逐步从低到高变化（ 函数y的值也从小变到大）.即：函数值y随自变量x的增大而增大.讨论：函数>=3厂2是否也有这种现象？既然，一次函数的图象经过三个象限，观察上述两个函数的图象，从它经过的象限看，它必经过哪两个象限（ 可以再画几条直线分析）？发现上述两条直线都经过一、三象限. 又由于直线与） ， 轴的交点坐标是（ 0,b）所以，当b > 0时，直线与x轴的交点在y轴的正半轴，也称在x轴的上方；当 b< 0时， 直线与x轴的交点在y轴的负半轴， 也称在x轴的下方. 所以当k>O,b关0时，直线经过一、三、二象限或一、三、四象限.3 . 在同一坐标系中，画出函数y = -x + 2和y = 的 图 象 （ 图略）.根据上面分析的过程，研究这两个函数图象是否也有相应的性质？能发现什么规律.观察函数y = -x + 2和y = - | x - l的图象发现：当一个点在直线上从左向右移动时（ 即自变量X从小到大时） ，点的位置逐步从高到低变化（ 函数y的值也从大变到小）.即：函数值y 随自变量x 的增大而减小.又发现上述两条直线都经过二、四象限， 且当匕＞0时， 直线与x 轴的交点在y 轴的正半轴，或在x 轴的上方；当bVO时，直线与x 轴的交点在y 轴的负半轴，或在x 轴的下方. 所以当ZV0涉W0时，直线经过二、四、一象限或经过二、四、三象限.一次函数y=k x+b有下列性质：（ 1） 当人＞0时，y 随x 的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；⑵当左V 0 时，y 随x 的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降.特别地，当8=0 口 寸 ，正比例函数也有上述性质.当b＞0,直线与y 轴交于正半轴；当匕＜0 时，直线与y 轴交于正半轴.下面， 我们把一次函数中％与b 的正、 负与它的图象经过的象限归纳列表为：4.利用上面的性质，我们来看问题1和问题2 反映了怎样的实际意义？问题1 随着时间的增长， 小明离北京越来越近.问题2 随着时间的增长， 小张的存款越来越多.m . 例题与练习例 1 已知一次函数y = 出7?-1） 》 +机+ 5 ,当〃? 是什么数时， 函数值y 随x 的增大而减小？分析一次函数y=^+b(AW O)，若k < 0 ,则y 随x 的增大而减小.解 因为一次函数y= (2〃 zT)x+加+ 5 , 函数值y 随x 的增大而减小.所以，2m-l<0, B P m < —.2例 2 已知一次函数y= (l-2〃 ?)x+ m -l,若函数y 随x 的增大而减小，并且函数的图象经过二、三、四象限， 求机的取值范围.分 析 一次函数〉 = 日+ 从火工0 ) ,若函数) ， 随x 的增大而减小，则％< 0 ,若函数的图象经过二、三、四象限，则kV0,8〈0., . 匚 工 + / 口 1 — 2/72 < 0解由题意得： < ,m -1 < 0解得，—< m < 12例 3 已知一次函数y= (3血 -8 )x + lm 图象与y 轴交点在x 轴下方，且y 随x的增大而减小，其中加为整数.(1)求〃? 的值；( 2)当x 取何值时，0VyV4?分 析 一次函数y=^+b(AW 0)与y 轴的交点坐标是(0, A ),而交点在x 轴下方，则b <0,而y 随x 的增大而减小, 则k <0.f3/n-8 < 0解 ( 1)由题意得：\ ,1 - n? < 0O解之得，又因为加为整数， 所以〃7 = 2.3(2)当 〃 2=2 时，y=- 2x- i .又由于00?分 析 ( 1)由于左= -2V 0,y随着x 的增大而减小.(2) y = 0 ,即图象上纵坐标为0 的点, 所以这个点在x 轴上.(3 )) ) 0 , 即图象上纵坐标为正的点， 这些点在x 轴的上方.解 ( 1)由于人= -2 < 0 ,所以随着x 的增大， y 将减小. 当一个点在直线上从左向右移动时，点的位置也在逐步从高到低变化, 即图象从左到右呈下降趋势.(2)当 x= l 时，y=0 .(3)当 xVl 时， y>0.IV .课时小结1. (1)当々>0 时，y 随x 的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；(2)当kVO时，y 随x 的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降.当。

〉 0,直线与y 轴交于正半轴；当〃< 0 时，直线与y 轴交于负半轴；当6=0时，直线与y 轴交于坐标原点.2. k >0, b >0时，直线经过一、二、三象限；4 > 0 "V 0 时，直线经过一、三、四象限；上 < 0 "> 0 时，直线经过一、二、四象限；k V0, b <0时，直线经过二、三、四象限.V . 课后作业1 .已知函数y = ( m+ 机， 当机为何值时，这个函数是一次函数.并且图象经过第二、三、四象限？2 .已知关于 x 的一次函数 y= ( - 2/n + l ) x + 2w2+ /n - 3 .( 1) 若一次函数为正比例函数，且图象经过第一、第三象限，求〃2 的值；( 2) 若一次函数的图象经过点( 1, - 2) , 求机的值.23 .已知函数y = ( 加 一 3 ) x —— .( 1) 当机取何值时，y随x的增大而增大？( 2) 当机取何值时，y随x的增大而减小？4 .已知点( - 1, 加 和 都 在 直 线 y =3 + 3 上，试比较 和 6的大小.你能想出几种判断的方法？5 .某个一次函数的图象位置大致如下图所示， 试分别确定晨6的符号， 并说出函数的性质.§ 11. 2. 2专 题 ：一次函数应用( 一)教学目标1 .理解待定系数法；2 . 能用待定系数法求•次函数, 用一次函数表达式解决有关现实问题.3、体会用“ 数形结合”思想解决数学问题.教学重难点待定系数法确定一次函数解析式教学过程I .提出问题，创设情境一次函数关系式y=^+b(A W O ),如果知道了左与b 的值，函数解析式就确定了，那么有怎样的条件才能求出左和匕呢？问题1 已知 一 个 •次函数当自变量x = -2 时，函数值y = T ,当x = 3 时，y= - 3 .能否写出这个一次函数的解析式呢？根据一次函数的定义，可以设这个一次函数为:y=^+b(% W O),问题就归结为如何求出左与A的值.由已知条件x = - 2时，y=T,得 - \ =~2k +b .由已知条件x = 3 时，y = ~ 3 ,得 ~3=3k +b .两个条件都要满足，即解关于x的二元一次方程二六二解得，7 Q所以，一次函数解析式为y =问题2 已知弹簧的长度y （ 厘米）在一定的限度内是所挂物质量x （ 千克）的一次函数.现已测得不挂重物时弹簧的长度是6 厘米，挂 4 千克质量的重物时，弹簧的长度是7 . 2 厘米, 求这个一次函数的关系式.考虑 这个问题中的不挂物体时弹簧的长度6 厘米和挂4千克质量的重物时,弹簧的长度7 . 2 厘米, 与一次函数关系式中的两个x 、y 有什么关系？II.导入新课上题可作如下分析：已知y 是x的函数关系式是一次函数，则关系式必是y=k x + b的形式，所以要求的就是系数k和b的值.而两个已知条件就是x 和y的两组对应值,也就是当x = 0 时， ） ， = 6 ；当x = 4 时， y = 7 .2.可以分别将它们代入函数式,转化为求人与6的二元一次方程组，进而求得k 与b的值.解 设所求函数的关系式是丁= 丘+ 从A WO ） , 由题意，得' 6 = b ,< 7 .2 = 4k +b .解这个方程组，得k - 0.3 ,b = 6 .所以所求函数的关系式是y = 0. 3 x + 6 . （ 其中自变量有一定的范围）讨 论 1.本题中把两对函数值代入解析式后，求解女和匕的过程，转化为关于女和b的二元一次方程组的问题.2 . 这个问题是与实际问题有关的函数，自变量往往有一定的范围.问题3若一次函数( 〃L2 )过点( 0, 3 ) , 求m 的值.分析 考虑到直线y = »t L ( 〃L 2 ) 过点( 0 , 3 ) , 说明点( 0 , 3 ) 在直线上，这里虽然已知条件中没有直接给出x 和y 的对应值, 但由于图象上每一点的坐标( x , y)代表了函数的一对对应值，它的横坐标x 表示自变量的某一个值，纵坐标y表示与它对应的函数值. 所以此题转化为已知x = 0 时， y = 3 , 求机. 即求关于用的一元一次方程.解 当x = 0 时，y = 3 .即：3 = - ( 〃L2 ) .解得用= T .这种先设待求函数关系式( 其中含有未知的常数系数) ， 再根据条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法m.例题与练习例 1已知一次函数y= A x + b 的图象经过点( 3 , 5 ) 和点( - 4 , - 9 ) , 求当x = 5 时,函数y 的值.分 析 1 . 图象经过点( 3 , 5 ) 和点( - 4 , - 9 ) ,即已知当x = 3 时，y= 5 ； x=~4时，y= - 9 . 代入函数解析式中，求出人与6 .2 . 虽然题意并没有要求写出函数的关系式，但因为要求x = 5 时，函数y 的值，仍需从求函数解析式着手.解 由题意，得+ b = 5-4k + b =- 9k = 2解这个方程组，得O = - 1这个函数解析式为y= 2 x - l当 x = 5 时，y= 2 X 5 - l = 9 .例 2已知一次函数的图象如下图，写出它的关系式.分 析 从 “ 形” 看，图象经过x 轴上横坐标为2 的点，y 轴上纵坐标是- 3 的点 . 从 “ 数”看，坐标(2,0), (0,-3)满足解析式.解 设：所求的一次函数的解析式为y=Ax+/>(AW0).直线经过点(2, 0), (0, -3), 把这两点坐标代入解析式, 得" 解 得 .- 3 = b .k- l2'b = -3.所以所求的一次函数的关系式是y = g x - 2 .例 3 若直线y = -依+ b 与直线y = -x 平行，且与y 轴交点的纵坐标为-2；求直线的表达式.分析 直线y = - 匕+ 6 与直线 >= - 无平行，可求出％的值， 与y 轴交点的纵坐标为-2,可求出b 的值.解 因为直线y=~k x+b与直线y = -x 平行， 所以k =~\ ,又因为直线与y 轴交点的纵坐标为-2,所以b =~2,因此所求的直线的表达式为y=-x-2.IV . 课时小结本节课，我们讨论了一次函数解析式的求法。

求一次函数的解析式往往用待定系数法，即根据题目中给出的两个条件确定一次函数解析式y=k x+从AW0)中两个待定系数女和b 的值；V . 课后作业1.根据下列条件写出相应的函数关系式.(1)直线 y=Ax+5 经过点(-2, T ) ；(2)一次函数中，当x = l 时，y=3；当x = T 时，y=1 .2 .写出两个一次函数，使它们的图象都经过点（ -2, 3） .3 . 如图是某长途汽车站旅客携带行李费用示意图. 试说明收费方法，并写出行李费） ， （ 元）与行李重量x （ 千克）之间的函数关系.M阮）30: /20: /. . . . . . . .0 10 20 30 40 50 60 70x（千 克 ）4 . 一次函数y = ^ + b （ kW0）的图象经过点（ 3, 3）和（1, T ） .求它的函数关系式，并画出图象.5 . 陈华暑假去某地旅游，导游要大家上山时多带一件衣服，并介绍当地山区海拔每增加100米，气温下降0.6℃.陈华在山脚下看了一下随带的温度计,气温为34℃,乘缆车到山顶发现温度为32. 2℃.求山高.一次函数（ 4 ）次口识技黄巨目标1 .掌握一次函数伙W0）的性质.2 .能根据出与b的值说出函数的有关性质.过 程 性 目 标1 .经历探索一次函数图象性质的过程，感受一次函数中k与8的值对函数性质的影响；2 . 观察图象， 体会一次函数晨b的取值和直线位置的关系， 提高学生数形结合能力.教 学 过 程例3求直线y = 2 x和y = x + 3的交点坐标.分 析 两个函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数关系式. 而两个函数关系式就是方程组中的两个方程. 所以交点坐标就是方程组的解.解 两 个 函 数 关 系 式 组 成 的 方 程 组 为 =y = x + 3.解这个方程组，得f = 3'j = 6.所以直线y=2x和y = x + 3的交点坐标为(3, 6).例4已知两条直线力=2 k 3和h = 5 -尤(1)在同一坐标系内作出它们的图象；⑵求出它们的交点A坐标；(3)求出这两条直线与x轴围成的三角形ABC的面积；⑷ % 为 何 值 时 ，直 线2 k + l = 5 x + 4 y与k = 2 x + 3 y的交点在每四象限.分 析 ⑴这两个都是一次函数，所以它们的图象是直线，通过列表，取两点,即可画出这两条直线.(2)两条直线的交点坐标是两个解析式组成的方程组的解.(3)求出这两条直线与x轴的交点坐标6、C ,结合图形易求出三角形A3C的面积.⑷先求出交点坐标，根据第四象限内的点的横坐标为正，纵坐标为负，可求出女的取值范围.解 ⑴所以两条直线的交点坐标A为3( 3 ) 当 y 1 = 0 时，/=5所 以 直 线 — 2 x_3与X轴的交点坐标为呜，。

) ,当＞2 = 0 时，x = 5 , 所以直线＞ 2 = 5 - X 与 X轴 的 交 点 坐 标 为 c ( 5 , 0 ) . 过 点 4 作AE L x轴 于 点E ,则1 1 7 7 4 9S &M B18Cc = _6 C x 4 E = — x — x — = ——2 2 2 3 1 2⑷两个解析式组成的方程组为仁二二‘2 攵 + 3x =-------解这个关于X 、y的方程组，得I 7由于交点在第四象限，所以% ＞0 , y V0 .' 2k + 3 .亍＞°' 3即4 ' 解 得-土＜k ＜2.k — 2 c 2教学目标1 、能通过函数图象获取信息，发展形象思维2、能利用函数图象解决简单的实际问题，提高学生的数学应用能力教学过程—•、范例1 ＞学校有一批复印任务，原来由印社承接，按 每1 0 0页4 0元计费现印社表示： 若学校先按月付给一定数额包赞，则可按每1 0 0页1 5元收费两复印社每月收费情况如图所示根据图象回答：( 1 )乙复印社的每月承包费是多少？( 2 )当每月复印多少页时. 两复印社实际收费相同？( 3 )如果每月复印页数在1 2 0 0页左右，那么应选择哪个复印社?提问：1、“ 收费相同”在图象上怎么反映出来?2、如何在图象上看出函数值的大小?请同学们讨论、解答、并交流自己的解答；教师引导学生如何读懂图形语言. 并把图形语言转化为数学语言或文字语言。

解答结果是：(1 )乙复印社的每月承包费是2 0 0元；(2 )当每月复印8 0 0页时，两复印社实际收费相同；(3 )如果每月复印页数在1 2 0 0页左右，那么应选择乙复印社说明：本题亦可用代数方法解3 .在1 7. 3问题2中，小张的同学小王以前没有存过零用钱. 听到小张在存零用钱，表示从现在起每个月存1 8元，争取超过小张请你在同一平面直角坐标系中分别画出小张和小王有数和月份数的函数关系的图象，在图上找一找半年以后小王的存款数是多少，能否超过小张？至少儿个月后小王的存款能超过小张分析(1 )列表：这两个函数的自变量x的取值范围是自然数，列 出x与y的对应值表： （ 2 ） 描点作图，就得到函数的图象提问：你能用其他方法解决上述问题吗？4 . 利用图象解方程组［y = 2 x ―：分析：两个一次函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数关系式而两个一次函数的关系式就是方程组中的两个方程，所以交点的坐标就是方程组的解. 据此，我们可以利用图象来求某些方程组的解二、课堂练习P 5 4 练习 1 、2 o三、小结这节课，你学会了什么知识？四、作业P 5 7 页 1 7、 5 1 、 2第二课时 实践与探索( 二)教学目标1、熟练掌握一次函数图象的画法， 能通过函数图象获取信息， 发展形象思维。

2、 体验一次函数图象与一元一次方程的解， 一元一次不等式的解集之间关系的探索过程，培养学生图形语言，数学语言以及文字语言相互转化的能力教学过程一、范例31 .画出函数y = ] x+3的图象，根据图象，指出：(l)x取什么值时，函数的值等于零？(2)x取什么值时，函数值y始终大于零？3从函数y = ] x+3图象可以看出：当函数值y等于零时，直线y = ] x+3与x轴相交于点(-2 , 0 ) ,这时的横坐标就是所求的x值所以当x = - 2时，函数值y等于零因为在x轴上方的函数图象每一点的纵坐标都大于0,横坐标都大于一2 所以当x > - 2时,函数值y始终大于零小结：在x轴上方的函数图象，任意一点的纵坐标都大于0 ,反映在函数解析式上，就是函数值大于0 ,在x轴下方的函数图象，任意一点的纵坐标都小于0 ,反映在函数解析上， 就是函数值小于0 提问： ①当x取什么值时，函数值y始终小于零? ②当x取什么值时，函数值y小于3?③当x取何值时，0WyW3?二、想一想3 3由上例，想想看，一兀一次方程2 x + 3 = 0的解，不等式2 x+3>0的解集与函数y = ，3x+3的图象有什么关系? 说说你的想法，并和同学讨论交流.在学生讨论、交流和发表意见后，教师加以引导，最后归纳.三、课堂练习P55页练习1、2.四、小结本节课，通过作函数图象、观察函数图象，并从中初步体会一元一次不等式、一元一次方程与一次函数的内在联系，使我们感受到不等式、方程、函数是紧密联系着的一个整体，今后，我们还要继续学习并研究它们之间的内在联系。

§ 11. 2. 2 专题：一次函数应用（ 二）教学目标利用一次函数知识解决相关实际问题.教学重点灵活运用知识解决相关问题.教学难点灵活运用有关知识解决相关问题.教学过程I 提出问题，创设情境我们前面学习了有关一次函数的一些知识及如何确定解析式，如何利用一次函数知识解决相关实践问题呢？这将是我们这节课要解决的主要问题.I I 导入新课下面我们来学习一次函数的应用.例 1 小芳以200米/ 分的速度起跑后，先匀加速跑5 分钟， 每分提高速度 20米 / 分 ，又匀速跑10分钟. 试写出这段时间里她跑步速度y （ 米 / 分 ）随跑步时间x （ 分）变化的函数关系式，并画出图象.分析：本题y 随 x 变化的规律分成两段：前 5 分钟与后10分 钟 . 写 y随 x 变化函数关系式时要分成两部分. 画图象时也要分成两段来画，且要注意各自变量的取值范围.20x + 200 （ 0 < x < 5）解：y」300 （ 5<%<15）图象：六300300 > _ /200 /^ 2 0 x + 2 0 00 5 10 15 x我们把这种函数叫做分段函数. 在解决分析函数问题时，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际.例 2 A城有肥料2 0 0 吨， B城有肥料3 0 0 吨， 现要把这些肥料全部运往C、D两乡. 从A城往C、D两乡运肥料费用分别为每吨2 0 元和2 5 元；从B城往C、D两乡运肥料费用分别为每吨1 5 元和2 4 元. 现C乡需要肥料2 4 0 吨,D乡需要肥料2 6 0 吨. 怎样调运总运费最少？思考方法：从影响总运费的变量有哪些入手，进而寻找变量个数及变量间关系，探究出总运费与变量间的函数关系，从而利用函数知识解决问题.通过分析思考，可以发现：A——C , A——D , B ——C , B ——D运肥料共涉及4个变量. 它们都是影响总运费的变量. 然而它们之间又有一定的必然联系，只要确定其中一个量，其余三个量也就随之确定. 这样我们就可以设其中•个变量为x , 把其他变量用含x的代数式表示出来：若设A——Cx吨，贝 U ：由于A城有肥料2 00吨：A — D , 2 00—x 吨.由于C乡需要2 40吨：B — C , 2 40—x 吨.由于D乡需要2 6 0吨：B — D , 2 6 0—2 00+ x 吨.那么，各运输费用为：A- - - - C 2 0xA ——D 2 5 ( 2 00- x )B ——C 1 5 ( 2 40- x )B ——D 2 4 ( 6 0+ x )若总运输费用为y的话，y 与 x 关系为：y = 2 0x + 2 5 ( 2 00- x ) + 1 5 ( 2 40- x ) + 2 4 ( 6 0+ x ) .化简得：y = 40x + 1 0040 ( 0W x W 2 00) .由解析式或图象都可看出，当 x=0时，y 值最小，为 10040.因此，从 A 城运往C 乡 0 吨， 运往D 乡 200吨；从 B 城运往C 乡 240吨,运往D 乡 60吨. 此时总运费最少，为 10040元.若 A 城有肥料300吨，B 城 200吨，其他条件不变，又该怎样调运呢？解题方法与思路不变，只是过程有所不同：A——C x 吨 A——D 300-x吨B ——C 240- x 吨 B ——D x-40 吨反映总运费y 与 x 的函数关系式为：y=20x+25 (300-x) +15 (240-x) +24 (x-40).化简：y=4x+10140 (40WxW300).由解析式可知： 当 x=40时 y 值最小为：y=4X40+10140=10300因此从A 城运往C 乡 4。

吨，运往D 乡 260吨；从 B 城运往C 乡 200吨,运往D 乡 0 吨. 此时总运费最小值为10300吨.如何确定自变量x 的取值范围是40WxW300的呢？由于B 城运往D 乡代数式为x-40吨， 实际运费中不可能是负数， 而且A城中只有300吨肥料，也不可能超过300吨，所 以 x 取值应在4 0 吨 到 300吨之间.解后小结：解决含有多个变量的问题时， 可以分析这些变量间的关系， 选取其中某个变量作为自变量，然后根据问题条件寻求可以反映实际问题的函数. 这样就可以利用函数知识来解决了.在解决实际问题过程中，要注意根据实际情况确定自变量取值范围. 就像刚才那个变形题一样，如果自变量取值范围弄错了，很容易出现失误，得到错误的结论.I I I课堂练习从A、B两水库向甲、乙两地调水，其 中甲地需水1 5万吨，乙地需水1 3万吨，A、B两水库各可调出水1 4万 吨 . 从A地到甲地5 0千米，到乙地3 0千米；从B地到甲地6 0千米，到乙地45千米. 设计一个调运方案使水的调 运 量 ( 万 吨 •千 米 ) 最 少 .解答：设总调运量为y万 吨 •千 米 ，A水库调往甲地水x万吨，则调往乙 地( 1 4- x )万吨，B水库调往甲地水( 1 5 - x )万吨，调往乙地水( x - 1 )万吨.由调运量与各距离的关系，可知反映y与x之间的函数为：y = 5 0x + 3 0 ( 1 4- x ) + 6 0 ( 1 5 - x ) + 45 ( x - 1 ) .化简得：y = 5 x + 1 2 7 5 (1WXW14).由解析式可知: 当x = l时 ,y值 最 小 , 为y = 5 X 1 + 1 2 7 5 = 1 2 8 0.因此从A水库调往甲地1万吨水， 调往乙地1 3万吨水； 从B水库调往甲地1 4万吨水， 调往乙地0万吨水. 此时调运量最小， 调运量为1 2 8 0万吨•千米.I V .课堂小结本节课我们学习并掌握了分段函数在实际问题中的应用，特别是学习了解决多个变量的函数问题，为我们以后解决实际问题开辟了一条坦途，使我们进一步认识到学习函数的重要性和必要性.V .课后作业1、习题 1 1 . 2 —7、9、1 1、1 2 题.2、 《 课堂感悟与探究》§11. 2. 2专题：一次函数应用（ 三）习题课3例 1求函数y = 1 x - 3 与x 轴、） ， 轴的交点坐标，并求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积.分析 求直线y = ；x - 3 与x 轴、 y 轴的交点坐标， 根据x 轴、 y 轴上点的纵坐标和横坐标分别为0 , 可求出相应的横坐标和纵坐标；结合图象，易知直线y = ] x - 3 与x 轴、y 轴围成的三角形是直角三角形，两条直角边就是直线3.y = / x - 3 与x 轴、y 轴的交点与原点的距离.2解 当y = 0 时，x = 2 ,所以直线与x 轴的交点坐标是A (2, 0)；当x = 0 时，y= -3 ,所以直线与y 轴的交点坐标是B(0, -3).S^OAB — : OA x OB = gx2x3 = 3.例 3 画出第一节课中问题⑴中小明距北京的路程s ( 千米) 与在高速公路上行驶的时间，( 时 ) 之间函数s=570-95,的图象.分 析 这是一题与实际生活相关的函数应用题，函数关系式s = 570-95f中，自变量t 是小明在高速公路上行驶的时间，所以0W/W6,画出的图象是直线的一部分. 再者，本题中f 和 s 取值悬殊很大，故横轴和纵轴所选取的单位长不一致.讨 论 1.上述函数是否是一次函数？这个函数的图象是什么？2. 在实际问题中，一次函数的图象除了直线和本题的图形外，还有没有其他的情形？你能不能找出几个例子加以说明.例 4 旅客乘车按规定可以免费携带一定重量的行李. 如果所带行李超过了规定的重量，就要按超重的千克收取超重行李费. 已知旅客所付行李费y （ 元）可以看成他们携带的行李质量x （ 千克）的一次函数为y 画出这个6函数的图象，并求旅客最多可以免费携带多少千克的行李？分 析 求旅客最多可以免费携带多少千克的行李数，即行李费为0 元时的行李数. 为此只需求一次函数与X轴的交点横坐标的值. 即当y = 0时,x=30. 由此可知这个函数的自变量的取值范围是x230.解 函数y — 5 （ x230） 图象为：当 y=0 时，x=30.所以旅客最多可以免费携带30千克的行李.例 5今年入夏以来， 全国大部分地区发生严重干旱. 某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，若某户居民每月应交水费y ( 元) 是用水量x ( 吨) 的函数，当0 W x W 5 时， y = 0 . 7 2 x , 当x > 5 时，y = 0 . 9 x - 0 . 9 .( 1 ) 画出函数的图象；( 2 ) 观察图象，利用函数解析式，回答自来水公司采取的收费标准.分析 画函数图象时，应就自变量0 W x W 5 和x > 5 分别画出图象，当O W x W5 时， 是正比例函数， 当x > 5 是一次函数， 所以这个函数的图象是一条折线.解 ( 1 ) 函数的图象是：( 2 ) 自来水公司的收费标准是：当用水量在5 吨以内时， 每吨0 . 7 2 元；当用水量在5 吨以上时，每吨0 . 9 0 元 .四、交流反思1 . 一次函数当x = 0 时，y=b ；当y = 0 时，x = - 2 . 所以直线y =k心+ 匕与y 轴的交点坐标是( 0 , 6 ) , 与x 轴的交点坐标是2 . 在画实际问题中的一次函数图象时，要考虑自变量的取值范围，画出的图象往往不再是一条直线.五、检测反馈1 . 求下列直线与x 轴和y 轴的交点， 并在同一直角坐标系中画出它们的图象.2( l ) y = 4 x - l ； ( 2 ) y -—— x + 2 .2 . 利用例3的图象， 求汽车在高速公路上行驶4小时后， 小明离北京的路程.3 . 已知函数y=2x-4.(1)作出它的图象；(2)标出图象与x 轴、y 轴的交点坐标；(3)由图象观察，当- 2WxW4时，函数值y 的变化范围.4 . 一次函数y = 3 x + b的图象与两坐标轴围成的三角形面积是2 4 ,求b .5 . 某水果批发市场规定，批发苹果不小于100千克时，批发价为每千克2. 5元. 小王携带现金3000元到这市场采购苹果， 并以批发价买进. 如果购买的苹果为x 千克，小王付款后的剩余现金为y 元，试写出y 与x 之间的函数关系式并指出自变量的取值范围，画出这个函数的图象.11.3. 1 一次函数与一元一次方程教学目标1 . 理解次函数与一元一次方程的关系， 会根据一次函数的图象解决一元一次方程的求解问题。

2 . 学习用函数的观点看待方程的方法， 初步感受用全面的观点处理局部问题的思想3 . 经历方程与函数关系问题的探究过程学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想教学重点一次函数与一元一次方程的关系的理解教学难点一次函数与一元一次方程的关系的理解教学过程I导入前面我们学习了一次函数. 实际上一次函数是两个变量之间符合一定关系的一种互相对应，互相依存. 它与我们七年级学过的一元一次方程，一元一次不等式，二元一次方程组有着必然的联系. 这节课开始，我们就学着用函数的观点去看待方程（ 组） 与不等式，并充分利用函数图象的直观性，形象地看待方程（ 组） 不等式的求解问题. 这是我们学习数学的i种很好的思想方法.I I新课我们先来看下而的问题有什么关系：（ 1 ）解方程 2 x + 2 0 = 0（ 2 ）当自变量为何值时，函数y = 2 x + 2 0的值为零？提出问题：①对于2 x + 2 0 = 0和y = 2 x + 2 0 ,从形式上看，有什么相同和不同的地方？②从问题本质上看，（ 1 ）和（ 2 ）有什么关系？③作出直线y = 2 x + 2 0从数上看：方 程2 x + 2 0 = 0的解，是函数y = 2 x + 2 0的值为0时，对应自变量的值从形上看：函数y = 2 x + 2 0与x轴交点的横坐标即为方程2 x + 2 0 = 0的解关系:由于任何一元一次方程都可转化为k x + b = 0 （ k、b为常数，k W O ）的形式. 所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0 时，求相应的自变量的值 从图象上看，这相当于已知直线产kx+b确定它与x 轴交点的横坐标值.例 1 一个物体现在的速度是5m /s,其速度每秒增加2m /s,再过儿秒它的速度为17m/s?（ 用两种方法求解）解法一：设再过x 秒物体速度为17m/s.由题意可知：2x+5=17 解之得：x=6.解法二：速度y （ m/s）是时间x （ s）的函数，关系式为：y=2x+5.当函数值为17时，对应的自变量x 值可通过解方程2x+5=17得到x=6解法三：由2x+5=17可变形得到：2x-12=0.从图象上看，直线y=2x-12与x 轴的交点为（ 6, 0） . 得x=6.例 2利用图象求方程6x-3=x+2的 解 ,并笔算检验解法一：由图可知直线y=5x-5与x 轴交点为（ 1, 0） ,故可得x=l我们可以把方程6 x - 3 = x + 2 看作函数y = 6 x - 3 与产x + 2 在何时两函数值相等，即可从两个函数图象上看出，直线y = 6 x - 3 与 y = x + 2 的交点， 交点的横坐标即是方程的解.解法二：由图象可以看出直线y = 6 x - 3 与y = x + 2 交于点（ 1 , 3 ） ,所以x = lI I I小结本节课从解具体一元一次方程与当自变量x为何值时一次函数的值为0这两个问题入手，发现这两个问题实际上是同一个问题，进而得到解方程k x + b = O 与求自变量X为何值时，一次函数丫= 1 5 + 1 3 值为0的关系，并通过活动确认了这个问题在函数图象上的反映. 经历了活动与练习后让我们更熟练地掌握了这种方法.虽然用函数解决方程问题未必简单，但这种数形结合思想在以后学习中有很重要的作用I V练习：用不同种方法解下列方程：1. 2x - 3= x - 2 , 2 . x + 3= 2x + l .3..某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国有出租车公司其中一家签让合同.设汽车每月行驶x千米，应付给个体车主的月费用是力元，应付给出租车公司的月费用是y 2元，y i 、y 2分别是x 之间函数关系如下图所示.每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同，是多少元？4侬 彳O\~1(XX) 2000 3000 x/lun4. P42 练习 1 (1) (2)5、 根据下列图象， 你能说出哪些一元一次方程日解？yy \尸“ y V 尸 +2 一『引V 课后作业1、习题 11. 3—1、2、5、8 题.2、《 课堂感悟与探究》/解？并直接写出相应方程的。

\ X y 4 y=x-ly=-3x+6 _____11. 3.2 一次函数与一次不等式教学目标理解一次函数与一元一次不等式的关系， 会根据一次函数的图象解决一元一次不等式的求解问题；学习用函数的观点看待不等式的方法，初步形成用全面的观点处理局部问题的思想；经历不等式与函数关系问题的探究过程；学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想教学重点一次函数与一元一次不等式的关系的理解教学难点一次函数图象确定一元一次不等式的解集教学过程I 提出问题，引入新课通过上节课的学习， 我们已经知道， “ 解一元一次方程ax + 〃 = 0 ”与“ 求当x 为何值时，y = ax + b 的值为0 ”是同一个问题，现在我们来看看：（ 1）以下两个问题是不是同一个问题？①解不等式：2X-4 > 0②当为何值时，函数y = 2x - 4 的值大于0?（ 2）你如何利用图象来说明②？（ 3） “ 解不等式2 x - 4 > 0 ” 可以与怎样的一次函数问题是同一的？怎样在图象上加以说明？I I1.根据下列一次函数的图象，你能求出哪些不等式解集？并直接写出相应不（ 对每一题都能写出四种情况（ 大于0 , 小于0 , 大于等于0 , 小于等于0） ,让学生在充分理解的基础和写出对应的X的取值范围，先小组内交流，然后反馈矫正。

解：⑴（ 略）（ 2）由图象可以得出：- x + 3 > 0 的解集是x < 3 ； - x + 3 < 0 的解集是x 〉3 ；- x + 3 2 0 的解集是x « 3 ； - x + 3 4 0 的解集是x 23例 2 P 41例题解法1：分析：将不等式转化为一般形式，再画出对应的一次函数的图象，就是我们已会的求解了.解法2 ：分析：( 1 ) 如果不将原不等式转化，能否用图象法解决呢？( 2 ) 不等式两边都是一次函数的表达式， 因而实际上是比较两个一次函数在 x 取相同值时谁大的问题.( 3 ) 如何在图象上比较两个一次函数的大小呢？( 4 ) 如何确定不等式的解集呢？11. 3. 3 一次函数与二元一次方程（ 组）教学目标L理解一次函数与二元一次方程组的关系，会用图象法解二元一次方程组;2 .学习用函数的观点看待方程组的方法，进一步感受数形结合的思想方法;3 .历图象法解方程组的探究过程, 学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想教学重点对应关系的理解及实际问题的探究建模教学难点二元一次方程组的解与两直线交点坐标之间的对应关系的理解教学过程I提出问题，复习引新我们已经学会了如何求一个二元一次方程组的解的方法，比如可以用代人法，也可以用加减法. 我们如何用函数的观点去看待方程组的解呢？首先，任何一个方程组都可以看成是两个一次函数的组合. 比如3x + 5y = 82x-5y = 13 8一丁①y = 2x — 1对于①， 根据方程组解的意义和函数的观点， 就是求当X取什么数值时,两个一次函数的y 值相等? 它反映在图象上，就是求直线y = - 3x + | 和直线y = 2x- l的交点坐标.七年级下学期学习二元一次方程组时，有一个数学活动，就谈到了，求方程组的解就是求两条直线的交点坐标.I I 例题与练习1 . 根据下列图象，你能说出哪些方程组的解? 这些解是什么？(2)y = - x - 4解 : （ 略）2 . 利用函数解方程组：2x - y = 03x + 2y -7解：由2 x - y = 0 可得y = 2 x3 7由3 x + 2 y = 7 可得y =—— x + —在同一直角坐标系内作出一次函数y = 2 x 的图象L 和〉 = - 士3 》 + 」7的图象， 2 ,如下图所示观察下图，得4 和4的交点为（ 1 ，2 ）所以方程组＜2x - y = 03 x + 2 y = 7的解为 :卜 =23. 求直线y = 3 x + 9与直线y = 2 x - 7的交点坐标。

你有哪些方法？ ；与同伴交流，并一起分析各种方法的利弊.解法思路1 ：画出图象找出交点，确定交点坐标近似值. （ 由于两直线斜率接近，交点的确定，因作图误差可能有较大差别）解法思路2 ：由解方程组， 得到交点坐标. （ 把形的问题归结为数的解决,便捷准确）III小结（I ）对应关系- - - - - - - - -二元一次方程组的解两个一次函数图的交点（ 2 ）图象法解方程组的步骤：①将方程组中各方程化为）y = + b的形式;②画出各个一次函数的图象；③由交点坐标得出方程组的解.作业1 . P45页习题11. 3 第 5、6、9 题. 第46页习题11.3第 11题2 . 《 课堂感悟与探究》3、已知直线y = 2x + Z与直线y = H - 2 的交点横坐标为2 , 求 k 的值和交点纵坐标.4 . 补充题（ 1） A、B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A、B两地相向而行. 假设他们都保持匀速行驶， 则他们各自离A地的距离s （ 千米） 都是骑车时间 t （ 时） 的一次函数. 1小时后乙距离A地 80千米；2 小时后甲距离A地 30千米，问经过多长时间两人将相遇？（ 2） 求如下图所示的两直线人、的交点坐标。

要求结果为精确值） .A y12. 1. 1条形图与扇形图教学目标1 .认识条形图与扇形图.2 .掌握相关概念.3 .理解比较条形图与扇形图的优缺点.4 .学会如何从图表中获取信息.教学重点1 ,认识、掌握条形图与扇形图以及相关概念.2 . 归纳总结条形图与扇形图的优特点.教学难点归纳总结图表特点.教学过程I .提出问题，创设情境同学们，你们经常看电视、读报刊、上网游览信息吗？你们是否注意到现在电视、报刊以及互联网中包含了大量的统计图表？你们以前学过哪些统计图表？见过章头图表吗？试试看，从这些图中能获得哪些信息？我们在下面的学习过程中，将逐渐解决这些问题.II .导入新课我们先来看课本P54的彩图图中给出了 2002年1月1日我国大陆地区31个城市空气污染指数(API),请根据这组数据考虑下面的问题：问题：2002年1月1日，这31个城市有空气质量为一级、二级…五级的城市各有多少个？各占百分之儿?我们可以按空气质量级别对这31个数据分组， 数出每组的城市个数， 再计算它们所占的百分比. 请同学们来完成以上两个工作，能否列出一种表格来表示呢？试试看.引导学生按空气质量级别对这31个数据分组， 数出每组的城市个数， 为防止重数与漏数可以按一定的顺序用纸遮住一边从左到右或从上到下一列一列或一行一行数. 另一方面为防止漏记应采用划“ 正”字为记，分别由几个同学相互协作，共同完成.记录如表:级别划记一级—二级正工三级正正正市四级r五级—合计31从上表可以知道空气质量为各级的城市个数.一般地， 我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数(frequency).频数与数据总数的比为频率，频率反映了各组频数的大小在总数中所占的份量，频率X 100%就是百分比.我们再来看看各组中的频数、频率、百分比情况如何?根据频数、频率、百分比定义以及题意，可列表如下：级别划记频数频率百分比一级— •10.033%二级正下80. 2626%三级正正正F190. 6262%四级T20. 066%五级—10. 033%合计31311100%从表中可以知道空气质量为各级别的城市个数及其所占百分比. 例如：空气质量为二级的有8个城市，占26%.这种表格能准确体现各个级别中的城市个数、频率以及百分比. 我们能不能寻求一种更形象、更直观、更便于比较数据间的差别或大小的表示方法呢？如上图，我们在直角坐标系中，横半轴上表示空气质量级别，纵半轴表示落在不同级别中的数据个数即频数.这就叫条形图，还有别的办法吗？为能清楚地看出各空气质量级别的城市个数在城市总数中所占的百分比,可以用扇形图：大家认真观察课本P55、5 6的图，回答下列问题：1 .空气质量为一级的有 个城市，占百分之_ _ _ _ _ .2.空 气 质 量 为 三 级 至 五 级 的 城 市 占 百 分 之 ,这个数据说明什么？从表中可以看出空气质量为一级的有一个城市，所占百分比从上图中可以看出为百分之三；空气质量为三级至五级的城市百分比分别是62%、6%.3 %,那么他们占百分比为62% +6% +3% =71% .这个数据说明空气质量为三级至五级的城市占城市总数的百分之七十一. 我们生活空间的污染较为严重，令人担忧，所以应提高环保意识.到此我们已经了解了条形图与扇形图，现在我们看看它们在描述数据方面各有什么优特点？同学们在一起研究讨论，归纳总结一下.条形图：①能够显示每组中的具体数据；②易于比较数据间的差别. 不足之处是：不能明确显示出部分与整体的对比关系.扇形图：①用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比；②易于显示每组数据相对于总数的大小. 不足之处是： 不能明确显示各组中的具体数据.m.随堂练习完成课本P 5 7的练习IV .课堂小结本节课通过对全国3 1个城市空气质量问题的研究， 了解认识了条形图及扇形图，特点如下：条形图：优点：①能够显示每组中的具体数据. ②易于比较数据之间的差别.特点：不能明确显示部分与整体的对比.扇形图：优点：①用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比. ②易于显示每组数据相对于总数的大小.特点：不能明确显示每组中的具体数据.V .课后作业1、习题 12. 1— 1、2、3 题.2、《 课堂感悟与探究》V I .活动与探究张雪洁家下个月的开支预算如图所示，如果用于教育上的支出是150元，请估计她家下个月的总支出，并估计各项开支的大致金额.衣服其他过程：从图中可以看出，下个月用于教育的金额占总支出的2 2 %而题目给出教育支出为150元， 这样即可根据百分比知识求出总支出，再求出各项开支的大致金额.结果：设总支出为x元，则据题意可知：x • 22%=150.解之得:x=682 （ 元） .则: 食物支出:682X31%=211 （ 元） .衣物支出:682X23%= 157 （ 元） .其他支出:682X24%= 164 （ 元） .板书设计§12. 1. 1条形图与扇形图一、认识相关概念，如频数、频率、百分比二、了解认识条形图与扇形图三、探究归纳条形图与扇形图优缺点四、随堂练习12. 1. 3直方图教学目标1 . 了解认识频数分布直方图及相关概念.2 .解读频数分布直方图.3 .理解频数分布直方图的特点及与其他描述方法的关系.教学重点1 .认识频数分布直方图及相关概念.2 .掌握儿种统计图形的特点.教学难点区分直方图与条形图.教学过程I .提出问题，创设情境为了研究80 0 米赛跑后学生心率的分布情况，体育老师统计了全班同学一分钟时间脉搏的次数.可是如何处理这些数据？用什么样的方法描述才能更好地显示学生心率分布情况呢？I I . 导入新课我们先看体育老师是怎么做的.他把全班学生的脉搏次数按范围分成8 组， 每组的两个端点的差都是5 ,这样就得出这样一个表格：脉搏次数X（ 次 / 分 ）频 数 （ 学生人数）1 3 0 这x < 1 3 511 3 5 ^ x < 1 4 021 4 0 ^ x < 1 4 541 4 5 ^ x < 1 5 061 5 0 ^ x < 1 5 591 5 5 ^ x < 1 6 01 4160^x<165 11165^x<170 2从表上可以清楚地看出脉搏次数在不同范围的学生人数.为了直观地描述表中的数据，体育老师用坐标系横轴表示脉搏次数，标出每组的两个端点，纵轴表示频数（ 学生人数） ，每个矩形的高表示对应组的我们从体育老师描述这组数据的过程可以看出，他首先把全班学生的脉搏次数按范围分成8 组，每组的两个端点的差都是5 , 这是为什么呢？不这样做行吗？理由：因为对这组数据的统计是为了研究800米赛跑后学生心率的分布情况， 要想知道学生脉搏次数在各个范围的分布状况， 我们可以按实际需要分成若干组，但每组的两个端点差都应该一样，这样才能用落在各组中的学生人数即频数来准确描述数据的分布情况. 如果想用矩形的高表示频数，就必须这样做，否则是不能反映数据分布情况的.我们在统计学中把分成的组的个数称为组数，每组两个端点的差称为组矩，如上表称为频数分布表. 像上图那样用矩形高代表对应组频数的统计图称为频数分布直方图.问题：直方图中各个矩形之间为什么没有空隙呢？分析：因为在分组时，各组之间范围的端点数是连续的，而矩形的宽表示的就是组距，所以直方图各矩形之间没有空隙.［ 师］ 说得不错，这说明大家都动了脑筋了. 在学习过程中就要不断地发现为什么，解决为什么？问题：如果用矩形的面积表示频数的话，那么矩形的高又表示什么呢？其实直方图实际上是用矩形面积表示频数的. 当矩形的宽相等时，可以用矩形的高表示频数. 如果面积表示频数， 宽表示组距， 那么根据矩形面积公式,面积= 高乂宽，所以高则表示面积与宽的比值，即频数与组距的比值.认真观察上面体育老师画的直方图，回答下列问题：1 .脉搏次数X在 范围的学生最多，有 个.2 .脉搏次数x在135Wx〈140范围的学生有 个.3 .脉搏次数x在150Wx〈155范围的学生比在160Wx<165范围的学生多还是少？4 .全班一共有 学生.根据表与图可以看出：1 .脉搏次数x在155Wx<160范围的学生最多，有14个 .2 .脉搏次数x在135Wx〈140范围的学生有2个.3 .脉搏次数x在150Wx〈155范围的学生比在160Wx<165范围的学生少 .4 .全班一共有 1+2+4+6+9+14+11+2=49 个学生.问题：直方图与我们前面所学条形图在图形上有些相似，你能说说它们有什么相同与不同吗？分析：相同之处：条形图与直方图都是在坐标系中用矩形的高来表示频数的图形.不同的是：1 .直方图组距是相等的，而条形图不一定.2 .直方图各矩形间无空隙，而条形图则有空隙.3 . 直方图可以显示各组频数分布的情况， 而条形图不能明确反映这点.问题：归纳直方图的特点1 ,能够显示各组频数分布情况.2 .易于显示各组之间频数的差别.由此可知， 统计中常见的条形图、 扇形图、 折线图和直方图各有特点. 它们可以从不同的角度清楚、有效地描述数据. 我们可以根据实际需要及各自特点选用适当的描述方法.m. 随堂练习江涛同学统计了他家i o 月份的长途清单，并按通话时间画出直方1 . 他家这个月一共打了多少次长途？2 . 通话时间不足10分钟的有多少次？3 . 哪个时间范围的通话最多？哪个时间范围的通话最少?解答：由图形可以看出，10月份他家长途清单：通话时间X分通话次数l 〈x<5255Wx<101810Wx<15815Wx<201020Wx<25 16所以：1 .他家这个月一共打了 25+18+8+10+16=77次 .2 .通话时间不足10分的有25+18=43次 .3 .通话时间在1―5分钟的次数最多，通话时间在10〜15分钟的次数最少.I V .课时小结本节课我们认识了频数分布直方图及相关概念，并经过比较鉴别发现了条形图与直方图的相同与不同之处，进而归纳总结了直方图的特点. 使我们进一步认清了统计学中条形图、扇形图、折线图以及直方图的特性. 从而为我们选择描述数据方法和解读统计图提供了依据，为我们进一步学习统计学打好了基础.V.课后作业1、习题12. 1—7、8题. 复习题12— 1、2题.2、《 课堂感悟与探究》为了参加文化宫组织的文艺会演比赛， 育红学校准备从63名同学中挑出身高差不多的40名学生参加集体舞蹈排练，对这63名同学身高进行了统计并画出如上直方图， 请仔细观察上图， 从中为我们挑选出40名左右的同学参加排练.过程与结果：从以上学生身高频数分布直方图中可以明显看出在各个身高范围内的学生人数即频数：学生身高X学 生 人 数 （ 频数）149

怎样用统计图表示这些信息?（ 2 ）如果用扇形统计图，如何确定圆心角度数？圆心角= 3 6 0 ° X百分比思考：a . 扇形面积越大，圆心角的度数越b . 扇形面积越小，圆 心 角 的 度 数 越 .解：总人口: 1 2 6 5 8 3文化程度大学高中初中小学文盲其他人数/ 万4 5 7 1 1 4 1 0 9 4 2 9 8 9 4 5 1 9 1 8 5 0 7 1 1 2 1 6占总人口的百分比（ 精确到1 % ）4 %1 1 %3 4 %3 6 %7 %9 %圆心角度数（ 精确到度）1 4 °4 0 °1 2 2 °1 3 0 °2 5 °3 2 °制作扇形统计图的要求：（ 1 ） 根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分比：百分比= 各部分数据+ 总体数据X 1 0 0 % ；（ 2 ） 根据各部分所占的百分比计算出各部分扇形圆心角的度数：圆心角= 3 6 0 ° X百分比；（ 3 ） 按比例，取适当半径画一个圆；（ 4 ） 按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；（ 5 ） 在各扇形内写上相应的名称和百分数，并用不同的标记把各扇形区别开来；（ 6 ） 写上统计图的名称及制作时间.III课堂练习：P 6 8 页练习IV课堂小结（ 1 ）什么叫扇形图，扇形图有什么特点？（ 2 ）怎样制作扇形统计图V 布置作业1、课本P74页：1, 2, 5 题2、《 课堂感悟与探究》课题：12. 2. 2用直方图描述数据教学目标1、初步掌握频率分布直方图的概念，能绘制有关连续型统计量的直方图；2、让学生进一步经历数据的整理和表示的过程，掌握绘制频率分布直方图的方法；教学重点掌握频率分布直方图概念及其应用；教学难点绘制连续统计量的直方图教学过程I .提出问题，创设情境，引入新课：问题：我们班准备从63名同学中挑选出身高相差不多的40名同学参加比赛，那么这个想法可以实现吗？ 应该选择身高在哪个范围的学生参加？63名学生的身高数据如下:158158160168159159151158159168158154158154169158158158159167170153160160159159160149163163162172161153156162162163157162162161157157164155156165166156154166164165156157153165159157155164156解：（ 确定组距）最大值为172,最小值为149,他们的差为23（ 身高x 的变化范围在23厘米， ）（ 分组划记）频数分布表：身 高（X）划记频 数 （ 学生人数）149〈x<152T2152Wx<155正一6155Wx<158正正T12158Wx<161正正正不1916K<164正正10164Wx<167正下8167Wx<170JT4170Wx<173T2从表中看，身高在 155Wx<158, 158Wx<161, 161 W<164三组人最多，共 41人，所以可以从身高在155-164cm （ 不 含 164cm） 之间的学生中选队员（ 绘制频数分布直方图如课本P72图 12.2-3）探究：上面对数据分组时，组距取3 , 把数据分成8 个组，如果组距取2或 4 , 那么数据应分成几个组，这样做能否选出身高比较整齐的队员？分析：如果组距取2 , 那么分成12组；如果组距取4 , 那么分成6 组。

都可以选出身高比较整齐的队员归纳：组距和组数的确定没有固定的标准，要凭借经验和研究的具体问题来决定，通常数据越多，分成的组数也越多，当数据在100个以内时，根据数据的多少通常分为5~12个组我们还可以用频数折线图来描述频数分布的情况频数折线图可以在频数分布直方图的基础上画出来首先取直方图中每一个长方形上边的中草药点，然后在横轴上取两个频数为0的点，在上方图的左边取（ 1 4 7 、5 , 0 ） ,在直方图的右边取点（ 1 7 4 、5 , 0 ） ,将这些点用线段依次连接起来，就得到频数折线图频数折线图也可以不通过直方图直接画出根据表1 2 . 2 - 2 , 求了各个小组两个端点的平均数，而这些平均数称为组中值， 用横轴表示身高（ 组中值） ， 用纵轴表示频数，以各小组的组中值为横坐标，各小组对应的频数为纵坐标描点，另外再在横轴上取两个点，依次连接这些点，就得到频数分布折线图如课本P 7 3 图I I课堂小结：（ 1 ）怎样制作频数分布直方图和频数分布折线图（ 2 ）组距和组数没有确定标准，当数据在1 0 0 0 个以内时，通常分成5 ~ 1 2组（ 3 ）如果取个长方形上边的中点，可以得到频数折线图（ 4 ）求各小组两个断点的平均数，这些平均数叫组中值.课堂练习：教材7 3 页：练习（ 要求， （ 1 ） 确定组距； （ 2 ） 制作频数分布表； （ 3 ） 制作频数分布直方图）I I I 作业：1 、P 7 5 3 , 4 , 6 题；2 、《 课堂感悟与探究》课题：1 2 . 2 . 2用图表描述数据（ 三）教学目标掌握频率分布直方图和扇形图的画法；让学生进一步经历数据的整理和表示的过程；教学重点掌握频率分布直方图和扇形图；教学难点绘制连续统计量的直方图和扇形图教学过程I 课前复习：1 . 条形图、频数分布直方图、扇形图、折线图各有什么特点？2 . 上述各图画图应该注意什么？H例题与练习例 1 制作适当的统计图表示下列数据，并从中获得更多的信息.孵化期统计表鸡鸭鹅鸽子火鸡21天30天30天16天26天分析：本题侧重统计图表的选择，体现不同统计图的作用例 2 为了提高长跑的成绩，小彬坚持锻炼并于每周日记录下1500米成绩小彬1500米成绩变化统计表如果要清楚地看出小彬成绩的变化，你选择统计图还是统计表？如何更准确地获得他锻炼5 星期后的跑步成绩，你会如何选择？分析：本题侧重统计图锻炼的星期数123.4577小彬的成绩/ 分7.57.57.576.86.66.3的作用例 3 课 本 85 页 第 2 题( 1 )哪一个图能很好地说明一半以上国家的学生成绩在6 0 « 6 9之间？( 2 )哪一个图能更好地说明学生成绩在7 0 « 8 0的国家多于在504ZV60的国家？练习：课本P86页第4 题III布置作业1、课本P85页第1, 3 题2、 《 课堂感悟与探究》§13. 1全等三角形教学目标i .知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；2 .知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等;3 .能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边.教学重点全等三角形的性质.教学难点找全等三角形的对应边、对应角.教学过程I .提出问题，创设情境1、问题：你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗？这两个三角形是完全重合的.2 .学生自己动手（ 同桌两名同学配合）取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板形状、大小完全一样.3 .获取概念让学生用自己的语言叙述：全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、对应边，以及有关的数学符号.形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形.要是把两个图形放在一起， 能够完全重合， 就可以说明这两个图形的形状、大小相同.概括全等形的准确定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形. 请同学们类推得出全等三角形的概念， 并理解对应顶点、 对应角、 对应边的含义. 仔细阅读课本中“ 全等”符号表示的要求.I I .导入新课利用投影片演示将4ABC沿直线BC平移得a DE F ；将4ABC沿BC翻 折18 0 °得到△DBC；将a ABC 旋转 18 0 ° 得4AE D.议一议：各图中的两个三角形全等吗？不难得出： △ABC丝Z S DE F , AABC^ ADBC, AABC^ AAE D.（ 注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上）启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了， 但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略.观察与思考：寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？（ 引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系）得到全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等. 全等三角形的对应角相等.［ 例1］如图，△O CAg a O BD, C和B, A和D是对应顶点， 说出这两个三角形中相等的边和角.问题：AO CA四△O BD,说明这两个三角形可以重合， 思考通过怎样变换可以使两三角形重合？将a O CA翻折可以使AO CA与a O BD重 合 . 因 为C和B、A和D是对应顶点， 所以C和B重合，A和D重合.N C=N B； Z A=Z D； Z AO C=Z DO B. AC=DB； O A=O D； O C=O B.总结：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合. 一般是平移、翻转、旋转的方法.［ 例2］如图，已知a ABE之Z XACD, Z ADE =Z AE D, Z B=Z C, 指出其他的对应边和对应角.分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将4 A B E和4ACD从复杂的图形中分离出来.根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素， 然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素. 常用方法有:( 1) 全等三角形对应角所对的边是对应边； 两个对应角所夹的边也是对应边.( 2) 全等三角形对应边所对的角是对应角； 两条对应边所夹的角是对应角.解：对应角为N BAE 和N CAD.对应边为AB与AC、AE 与 AD、BE 与CD.［ 例 3］ 已知如图4ABC且AADE , 试找出对应边、对应角. ( 由学生讨论完成)借鉴例2 的方法，可以发现N A = N A , 在两个三角形中NA 的对边分别是BC和 DE , 所以BC和 DE 是一组对应边. 而AB与AE 显然不重合，所以A B 与AD是一组对应边， 剩下的AC与A E 自然是一组对应边了. 再根据对应边所对的角是对应角可得NB 与ND 是对应角，N ACB与N AE D是对应角. 所以说对应边为AB与AD、 AC与AE 、 BC与DE . 对应角为NA 与N A 、ZB 与N D 、Z ACB与 N AE D.做法二：沿 A 与 BC、DE 交点0的连线将4 A B C 翻折18 0 °后，它正好和△ADE 重合. 这时就可找到对应边为：AB与 AD、AC与AE 、BC与DE . 对应角为 N A 与N A 、N B 与N D 、N ACB 与 N AE D.m.课堂练习课本P 9 0 练习1.课本P 9 0 习题13. 1复习巩固1.I V. 课时小结通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素. 这也是这节课大家要重点掌握的.找对应元素的常用方法有两种：（ -）从运动角度看1 . 翻转法：找到中心线， 沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素 .2 . 旋转法： 三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合， 从而发现对应元素.3 . 平移法：沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素.（ -）根据位置元素来推理1 .全等三角形对应角所对的边是对应边; 两个对应角所夹的边是对应边.2 .全等三角形对应边所对的角是对应角； 两条对应边所夹的角是对应角.V. 作业课本P9 0 习题1 3 . 1 、复习巩固2 、综合运用3 .课后作业： VV三级训练> >板书设计§ 1 3 . 1 全等三角形一、概念二、全等三角形的性质三、性质应用例 1 ：（ 运动角度看问题）例 2 ：（ 根据位置来推理）例 3 ：（ 根据位置和运动角度两种办法来推理）四、小结：找对应元素的方法运动法：翻折、旋转、平移.位置法：对应角对应边，对应边一对应角.§13. 2三角形全等的条件§13. 2. 1三角形全等的条件（ 一）教学目标1 . 三角形全等的“ 边边边”的条件.2 . 了解三角形的稳定性.3 . 经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、 归纳获得数学结论的过程.教学重点三角形全等的条件.教学难点寻求三角形全等的条件.教学过程I . 创设情境，引入新课出示投影片，回忆前面研究过的全等三角形.已知A A B C 组4 A ' B ' C',找出其中相等的边与角.A图中相等的边是: AB=A, B、BC=B' C '、AC=A' C.相等的角是：ZA=ZAZ、ZB=ZB,、ZC=ZC/ .展示课作前准备的三角形纸片一， 提出问题: 你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？（ 可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数, 再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等.这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等） .这是利用了全等三角形的定义来作图.那么是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？现在我们就来探究这个问题.I I . 导入新课出示投影片1 . 只给一个条件（ 一组对应边相等或一组对应角相等） ， 画出的两个三角形一定全等吗？2.给出两个条件画三角形时，有儿种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做.①三角形一内角为30° , 一条边为3cm.②三角形两内角分别为3 0 ° 和 50° .③三角形两条边分别为4cm、6cm.学生分组讨论、探索、归纳，最后以组为单位出示结果作补充交流.结果展示：1 . 只给定- - 条边时•：只给定一个角时:可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等.给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？归纳：有 四种 可 能 .即：三 内角、三条边、两边一内角、两内有一边.在刚才的探索过程中， 我们已经发现三内角不能保证三角形全等.下面我们就来逐一探索其余的三种情况.已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm. 1 0 cm .你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？1.作 图 方 法 ：先画一线段A B , 使得A B = 6 c m , 再分别以A 、B为圆心，8 c m 、1 0c m 为半径画弧， 两弧交点记作C , 连结线段A C 、B C , 就可以得到三角形A B C , 使得它们的边长分别为A B = 6 c m , A C = 8 c m , B C = 1 0c m .2 . 以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现都能够重合.这说明这些三角形都是全等的.3 . 特殊的三角形有这样的规律，要是任意画一个三角形A B C , 根据前面作法， 同样可以作出一个三角形A ' B ' C', 使 A B = A ' B'、 A C = A ' C'、 B C = B 'C'. 将a A ' B ' C ' 剪下，发现两三角形重合.这反映了一个规律：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“ 边边边”或 “ S S S ” .用上面的规律可以判断两个三角形全等.判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等.所以“ S S S ”是证明三角形全等的一个依据.请看例题.［ 例］ 如图，Z X A B C 是一个钢架，A B = A C , A D 是连结点A与 B C 中点D的支架.求证：△A B D g Z X A C D .［ 师生共析］ 要证△ A B D g a A C D , 可以看这两个三角形的三条边是否对应相等.证明：因为D是B C 的中点所以B D = D C在A A B D 和4 A C D 中AB = AC, BD = CDAD = A D （ 公共边）所以△A B D g ^A C D ( S S S ) .生活实践的有关知识：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的， 而用四根木条钉成的框架， 它的形状是可以改变的.三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.所以日常生活中常利用三角形做支架.就是利用三角形的稳定性.例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等.m. 随堂练习如图，已知A C = F E 、B C = D E , 点A 、D 、B 、F 在一条直线上，A D = F B .要用“ 边边边”证明△A B C 乌△F D E , 除了已知中的A C = F E , B C = D E 以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？2 . 课本P 9 4 练习.I V . 课时小结本节课我们探索得到了三角形全等的条件，发现了证明三角形全等的一个规律S S S .并利用它可以证明简单的三角形全等问题.V . 作业1 . 习题1 3 . 2 复习巩固1 、2 . 习题1 3 . 2 综合运用9 .课后作业：《 课堂感悟与探究》V I .活动与探索如图， 一个六边形钢架A B C D E F 由6条钢管连结而成， 为使这一钢架稳固，请你用三条钢管连接使它不能活动，你能找出几种方法?AB本题的目的是让学生能够进一步理解三角形的稳定性在现实生活中的应用.结果： （ 1 ） 可从这六个顶点中的任意一个作对角线， 把这个六边形划分成四个三角形.如图（ 1 ）为其中的一种.（ 2 ）也可以把这个六边形划分成四个三角 形 .如 图 （ 2 ） .⑴ ⑵板书设计§ 1 3 . 2 . 1 三角形全等的条件（ 一）一、三角形全等的条件三边对应相等的两三角形全等（ S S S ）二、例三、课堂练习四、小结§13. 2. 1三角形全等的条件（ 二）教学目标1 . 三角形全等的“ 边角边”的条件.2 . 经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、 归纳获得数学结论的过程.3 . 掌握三角形全等的“SAS” 条件，了解三角形的稳定性.4 . 能运用“SAS” 证明简单的三角形全等问题.教学重点三角形全等的条件.教学难点寻求三角形全等的条件.教学过程一、创设情境，复习提问1 .怎样的两个三角形是全等三角形？ 2 .全等三角形的性质？3 . 指出图中各对全等三角形的对应边和对应角，并说明通过怎样的变换能使它们完全重合：图(1)中：A A B D ^A A C E , AB与AC是对应边；图(2)中：A A B C丝A A ED , AD与AC是对应边.4 .三角形全等的判定I的内容是什么？二、导入新课1 .三角形全等的判定(二)(1)全等三角形具有“ 对应边相等、对应角相等”的性质. 那么，怎样才能判定两个三角形全等呢？也就是说，具备什么条件的两个三角形能全等？是否需要已知“ 三条边相等和三个角对应相等“ ？现在我们用图形变换的方法研究下面的问题：如图2, A C、BD相交于O, AO、BO、CO、DO的长度如图所标，A A BO和△© 口€) 是否能完全重合呢？3c:图2不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的:A O =C O ,Z A O B = ZC O D ,BO = DO.如果把AOAB绕着O点顺时针方向旋转，因为O A =O C ,所以可以使OA与OC重合; 又因为NAOB =NCOD, OB = OD,所以点B与点D重合. 这样aA B o与a c D o 就完全重合.(此外，还可以图1(1)中的4ACE绕着点A逆时针方向旋转NCAB的度数，也将与4ABD重合. 图1( 2)中的aABC绕着点A旋转，使AB与AE重合，再把4ADE沿着AE(AB)翻折180° . 两个三角形也可重合)由此，我们得到启发：判定两个三角形全等，不需要三条边对应相等和三个角对应相等. 而且，从上面的例子可以引起我们猜想：如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等.2 . 上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验：(1)读句画图：①画NDAE=45° ,②在AD、AE上分别取B、C ,使 AB= 3.1cm, AC=2.8cm.③连结B C ,得a A B C .④按上述画法再画一个B' C .(2)把a A ' B' C 剪下来放到aABC上，观察^ A ' B' C 与aABC是否能够完全重合？3 . 边角边公理.有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“ 边角边”或“SAS” )三、例题与练习1 . 填空：(1)如图3 ,已知AD〃BC,AD = CB,要用边角边公理证明aABC丝Z\CDA,需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件， 一 是 AD = CB(已知) ，二是;还 需 要 一 个 条 件 (这 个 条 件 可 以 证 得吗？) .（ 2） 如图4 , 已知AB=AC, AD=AE, Z1 = Z 2 ,要用边角边公理证明△ABDgACE,需要满足的三个条件中，已具有两个条件：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （ 这个条件可以证得吗？） .2、例 1 已知： AD〃BC, AD= CB（ 图3） .求证：AADC^ACBA.问题：如果把图3中的△ ADC沿着CA方向平移到△ ADF的位置（ 如图5） , 那么要证明4ADF且 a C E B ,除了AD〃BC、 AD = CB的条件外，还需要一个什么条件（ AF= CE或AE =CF） ? 怎样证明呢？例2 已知： AB=AC、 AD=AE、 N1 = N2（ 图4） . 求证： AABD^AACE.四、小结：1 . 根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件.2 . 找使结论成立所需条件， 要充分利用已知条件（ 包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等） ，并要善于运用学过的定义、公理、定理.五、作 业：1 . 已知：如图，AB = AC, F、E分别是AB、AC的中点. 求证：4ABE^ △ACF.2 . 已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AF = CE, BE〃DF, BE =DF.求证：4ABE丝ACDF.课后作业：〈V 课堂感悟与探究> >§13. 2. 3三角形全等的条件（ 三）教学目标1 .三角形全等的条件：角边角、角角边.2 .三角形全等条件小结.3 .掌握三角形全等的“ 角边角”“ 角角边”条件.4 .能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题.教学重点已知两角一边的三角形全等探究.教学难点灵活运用三角形全等条件证明.教学过程I .提出问题，创设情境1 .复习：（ 1 ）三角形中已知三个元素，包括哪儿种情况？三个角、三个边、两边一角、两角一边.（ 2 ）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？三种：①定义；②S S S ；③S A S .2 .在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种， 今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？I I .导入新课问 题1 :三角形中已知两角一边有儿种可能？1 . 两角和它们的夹边.2 .两角和其中一角的对边.问 题2 ：三角形的两个内角分别是6 0 °和8 0 ° , 它们的夹边为4c m ,你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下， 与同伴比较,观察它们是不是全等，你能得出什么规律？将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等.提炼规律：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ 可以简写成“ 角边角”或 “ A S A ” ） .问题3 ：我们刚才做的三角形是一个特殊三角形,随意画一个三角形A B C ,能不能作一个A A ' B ' C , 使N A = N A '、N B = N B '、A B = A/ B '呢？①先用量角器量出NA与NB的度数，再用直尺量出A B的边长.②画线段A ' B', 使A ' B ' = A B .③分别以A'、B '为顶点，A ' B '为一边作N D A ' B'、N E B ' A ,使N］） 'A B = Z C A B , N E B ' A ' = Z C B A .④射线A ' D与B ' E交于一点，记 为C '即可得到a A ' B ' C' .将A A ' B ' C与A A B C重叠，发现两三角形全等.两角和它们的夹边对应相等的两三角形 全 等 （ 可以简 写 成 “ 角边角”或“ A S A ” ） .思考：在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定. 我们是不是可以不作图，用“ A S A ”推 出 “ 两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？探究问题4：如图，在a A B C 和a D E F 中，Z A = Z D , Z B = Z E , B C = E F , △ A B C 与△ D E F全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？证明：•. •N A + N B + N C = N D + N E + N F = 1 8 0 °Z A = Z D , Z B = Z E. . . Z A + Z B = Z D + Z EZ C = Z F在A A B C和A D E F中Z 5 = NE* BC = EFZ C = Z F/ . △A B C ^ A D E F （ A S A ） .两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（ 可以简写成“ 角角边”或“ A A S ” ） .［ 例］ 如下图，D在A B上，E在A C上，A B = A C , Z B = Z C .求证：A D = A E .［ 分析］A D和A E分别在△A D C和4A E B中， 所以要证A D = A E ,只需证明a A D C会4 A E B即可. KI)EBC证明：在a A D C和a A E B中N A = N A< AC = ABNC = NB所以a A D C叁A A E B （ A S A ）所 以A D = A E .m.随堂练习（ -）课 本P9 9练 习1、2 .（ -）补充练习图中的两个三角形全等吗？请说明理由.( 1 ) ( 2 )答案：图（ 1 ）中 由“ A S A ”可证得4A C D丝△A C B .图（ 2 ）由“ A A S ”可证得△A C E g Z ^ B D C .I V .课时小结至此，我们有五种判定三角形全等的方法：1 .全等三角形的定义2 .判定定理：边 边 边（ SSS） 边 角 边（ SA S） 角 边 角（ A SA ） 角角边（ A A S）推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径.V.作业1 . 课本习题1 3 . 2 —5 、6 、1 1 题.课后作业：〈V 课堂感悟与探究>>板书设计1 3 . 2 . 3 三角形全等的条件（ 三）* 右［ 两角及其夹边一、两角一边4［ 两角和其中一角的对边二、三角形全等的条件1 . 两角及其夹边对应相等的两三角形全等（ A SA ）2 . 两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等（ A A S）§13. 2. 3三角形全等的条件- 一直角三角形全等的判 定 （ 四）教学目标1、 经历探索直角三角形全等条件的过程， 体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。

3、 在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中， 能够进行有条理的思考并进行简单的推理教学重点运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题教学难点熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题教学过程I . 提出问题，复习旧知1、判定两个三角形全等的方法：、、、2、如图，RtaABC中，直角边是、， A斜边是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _3、如图，ABLBE 于 C, DELBE 于 E, C（ 1）若NA=ND, AB=DE,贝 IJ 4ABC与ADEF__________（ 填“ 全等” 或“ 不全等”）根据 （ 用简写法） A \（ 2）若NA=ND, BC=EF, \一F E则4A BC与4DEF（ 填“ 全等” 或“ 不全等”） \根据 （ 用简写法） D（ 3）若 AB=DE, BC=EF,则△ ABC与ADEF （ 填 “ 全等”或 “ 不全等” ）根据 （ 用简写法）（ 4）若 AB=DE, BC=EF, AC=DF则△ ABC与ADEF （ 填 “ 全等”或 “ 不全等” ）根据 （ 用简写法）I I . 导入新课（ 一）探索练习：（ 动手操作） ：已知线段a , c （ a

② 在射线CM上截取线段CB=a,③以B 为圆心，C 为半径画弧，交射线CN于点A,④连结ABa2、与同桌重叠比较，是否重合？3、从中你发现了什么？斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等.（ H L ）（ 二）巩固练习:1 . 如图，Z\ABC 中，AB=AC, AD 是高,A则4A D B与4ADC （ 填 “ 全等”或 “ 不全等” ）根据 ( 用简写法)2 . 如图，CE±AB, D F±A B ,垂足分别为E、F,( 1 ) 若 AC〃 DB, 一 且 AC=DB,则4ACE丝△BDF,根据_ _ _ _ _ _ _ _ _( 2 ) 若 AC//DB,且 AE=BF,则△A C E dB D F,根据_ _ _ _ _ _ _ _ _ _( 3 ) 若 AE=BF,且 CE=DF,则4ACE四△BDF,根据_ _ _ _ _ _ _ _ _ _⑷ 若 AC=BD, AE=BF, CE=DF WJ AACE^ABDF,根据_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _( 5) 若 AC=BD, CE=DF ( 或 AE=BF),则△ACE^^BDF,根据_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _3、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ）（ A）两条直角边对应相等 （ B）斜边和一锐角对应相等（ C）斜边和一条直角边对应相等 （ D）两个锐角对应相等4、如图，B、E、F、C 在同一直线上，AF_LBC 于 F, DE_LBC 于 E,AB=DC, BE=CF,你认为AB平行于CD吗？说说你的理由答：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _理由：•.* AF±BC, DE1BC （ 已知）. . . Z A F B = Z D E C = ° （ 垂直的定义）在 R t A 和 R t A 中， 组 （ ）AZ= Z （ ）/. （ 内错角相等，两直线平行）5 、如图，广场上有两根旗杆，已知太阳光线AB与DE是平行的，经过测量这两根旗杆在太阳光照射下的影子是一样长的，那么这两根旗杆高度相等吗？说说你的理由。

三）提高练习：1、判断题：（ 1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等 ）（ 2 ） 一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等（ ）（ 3） 一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等（ ）（ 4）两直角边对应相等的两个直角三角形全等（ ）（ 5）两边对应相等的两个直角三角形全等（ ）( 6 )两锐角对应相等的两个直角三角形全等( )( 7 ) 一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等( )( 8 ) 一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等( )2、如图，N D =N C =9 0° , 请你再添加一个条件，使4 A B D 之△ B AC ,并在添加的条件后的( ) 内写出判定全等的依据 1) ( )( 2) ( )( 3) ( )( 4) ( )课时小结至此，我们有六种判定三角形全等的方法：1 .全等三角形的定义2 .边边边( S S S )3 .边角边( S AS )4 .角边角( AS A)5 .角角边( AAS )6 . II L ( 仅用在直角三角形中)作业1.课本习题13. 2— 1 0 、1 2 题.课后作业： < < 课堂感悟与探究>>§13. 3角的平分线的性质（ 一 ）教学目标1、应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理.2 . 会用尺规作一个已知角的平分线.教学重点利用尺规作已知角的平分线.教学难点角的平分线的作图方法的提炼.教学过程I .提出问题，创设情境问题1：三角形中有哪些重要线段.问题2：你能作出这些线段吗？II .导入新课在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题：在/AO B 的两边 0A 和 0B 上分别取 O M =O N , M C 10A, N C 10B . M C与 N C 交于C点 .求证：Z M O C =Z N O C .通过证明R t AM O C ^ R t AN O C ,即可证明N M 0C =N N 0C ,所以射B线0C就是NAOB的平分线.受这个题的启示，我们能不能这样做：在已知NAOB的两边上分别截取OM=ON,再分别过M、N作M C±0A, NC±OB, MC与NC交于C点，连接0 C ,那么0C就是NAOB的平分线了.思考：这个方案可行吗？( 学生思考、讨论后，统一思想，认为可行)议一议：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD, BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下， 沿AC画一条射线AE, AE就是角平分线. 你能说明它的道理吗？要说明AC是NDAC的平分线，其实就是证明NCAD=NCAB.ZCAD和NCAB分别在4CAD和4CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了.看看条件够不够.AB = AD< BC = DCAC = AC所以AABC之Z\ADC (SSS).所以 NCAD=NCAB.即射线AC就是NDAB的平分线.作已知角的平分线的方法：已知：ZA0B.求作：NAOB的平分线.作法：( 1 )以0为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、0B于M、N.( 2 )分别以M、N为圆心，大 于 的 长 为 半 径 作 弧 . 两 弧 在NAOB内2A部交于点C.( 3 )作射线0C ,射线0C即为所求.议一议：1 .在上面作法的第二步中，去掉" 大于』MN的长”这个条件行吗？22 .第二步中所作的两弧交点一定在NAOB的内部吗？总结：1 .去掉“ 大于‘ MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以2就找不到角的平分线.2 .若分别以M、N为圆心，大于‘ MN的长为半径画两弧，两弧的交点可2能在NAOB的内部， 也可能在NAOB的外部， 而我们要找的是NAOB内部的交点， 否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是NAOB的平分线了.3 .角的平分线是一条射线. 它不是线段，也不是直线， 所以第二步中的两个限制缺一不可.4 .这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明.练一练：任意画一角NAOB,作它的平分线.探索活动按以下步骤折纸1、在准备好的三角形的每个顶点上标好字母；A、B、C o把角A对折,使得这个角的两边重合。

2、在折痕( 即平分线)上任意找一点C,3、过 点 C 折 0 A 边的垂线，得到新的折痕C D ,其中，点 D 是折痕与O A 的交点，即垂足m. 随堂练习课 本 P106练习.练后总结：平角NA0B的平分线0C与直线AB垂 直 .将 0C反向延长得到直线CD,直线 CD与 AB也垂直.IV . 课时小结本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，探究得到了角平分线仪器的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，并进一步探究到角平分线的性质.V . 课后作业1 . 课本 P108 习题 13. 2— 1、2.课后作业：〈V 课 堂 感 悟 与 探 究 > >思考1 . 在一节数学课上，老师要求同学们练习一道题，题目的图形如图所示， 图中的BD是NABC的平分线，在同学们忙于画图和分析题目时，小明同学忽然兴奋地大声说：“ 我有个发现！ ”原来他自己创造了一个在直角三角形中画锐角的平分线的方法.他的方法是这样的，在 AB上 取 点 E , 使 BE=BC,然后画D E I A B 交A C 于D,那么B D 就是N A B C 的平分线.有的同学对小明的画法表示怀疑，你认为他的画法对不对呢？请你来说明理由.板书设计§ 1 3 . 3 角的平分线的性质一、角平分线仪器的操作原理二、角平分线的尺规画法：1 . 以0为圆心，适当长为半径作弧，分别交O A 、0 B 于 M 、N .2 . 分别以M 、N为圆心，大于‘M N 长为半径作弧.两弧在N A O B 内部交2于 C点.3 . 连接0 C , 射线0 C 即为所求.三、角平分线的性质.§13. 3. 2角的平分线的性质（ 二 ）教学目标1、 角的平分线的性质2 . 会叙述角的平分线的性质及“ 到角两边距离相等的点在角的平分线上” .3 . 能应用这两个性质解决一些简单的实际问题.教学重点角平分线的性质及其应用.教学难点灵活应用两个性质解决问题.教学过程I . 创设情境，引入新课拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？分析：第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的.这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对.II . 导入新课角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论.折出如图所示的折痕P D 、P E .按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕， 并度量所画P D 、 P E 是否等长？投影出下面两个图形，让学生评一评，以达明确概念的目的.结论：同学乙的画法是正确的. 同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求.问题1 ：如何用文字语言叙述所画图形的性质吗？［ 生］ 角平分线上的点到角的两边的距离相等.问 题2 ：能否用符号语言来翻译” 角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话. 请填下表:已知事项：0 C平分N A O B , P D ±O A , P E ±O B , D、E为垂足.由已知事项推出的事项：P D = P E .于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等.［ 师］ 那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？( 出示投影)问题3 ：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项,并用符号语言填写下表：图 形已知事项由已知事项推出的事项PD±OB,PE±OA,垂足为D、EPD=PE［ 生讨论］ 已知事项符合直角三角形全等的条件，所 以R t A P E O ^ A P D O( H L ).于是可得 N P D E = N P 0 D .由已知推出的事项：点P在N A O B的平分线上.由此我们又可以得到一个性质: 到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 这两个性质有什么联系吗?分析：这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换.思考：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等， 离公路与铁路交叉处5 0 0 m ,这个集贸市场应建于何处（ 在图上标出它的位置，比例尺为1 ： 2 0 0 0 0 ） ?1 . 集贸市场建于何处， 和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？2 .比例尺为1 ： 2 0 0 0 0 是什么意思？结论：1 .应该是用第二个性质. 这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点5 0 0 米处.2 . 在纸上画图时， 我们经常在厘米为单位， 而题中距离又是以米为单位,这就涉及一个单位换算问题了. l m = 1 0 0 cm ,所以比例尺为1 ： 2 0 0 0 0 ,其实就是图中1 cm 表示实际距离2 0 0 m 的意思. 作图如下：第一步：尺规作图法作出N A O B 的平分线O P .第二步： 在射线0 P 上截取0 C = 2 . 5 cm ,确定C点， C点就是集贸市场所建地了.总结： 应用角平分线的性质， 就可以省去证明三角形全等的步骤， 使问题简单化. 所以若遇到有关角平分线， 又要证线段相等的问题， 我们可以直接利用性质解决问题.IH例题与练习例 如图，^ A BC的角平分线BM 、CN 相交于点P.求证：点P 到三边A B、BC、CA 的距离相等.分析：点P 到A B、BC、CA 的垂线段PD、PE 、PF 的长就是P 点到三边的距离， 也就是说要证：PD= PE = PF . 而 BM 、CN 分别是N B 、NC 的平分线， 根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题.证明：过点 P 作 PDL A B, PE ±BC, PF ±A C,垂足为 D、E 、F .因为BM 是A A BC的角平分线，点P 在 BM 上.所以PD= PE .同理PE = PF .所以 PD= PE = PF .即点P 到三边A B、BC、CA 的距离相等.练习：1 .课本P1 0 7 练习.2 .课本 P1 0 8 习题 1 3 . 3 —2 .强调：条件充足的时候应该直接利用角平分线的性质，无须再证三角形全等.IV .课时小结今天，我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 它们具有互逆性，随着学习的深入，解决问题越来越简便了. 像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等.V .课后作业1、课本习题13. 3—3、4、5题.2、《 课堂感悟与探究》§14. 1轴对称§14. 1. 1 轴 对 称 （ 一）教学目标1 .在生活实例中认识轴对称图.2 .分析轴对称图形，理解轴对称的概念.教学重点轴对称图形的概念.教学难点能够识别轴对称图形并找出它的对称轴.教学过程I .创设情境，引入新课我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑物都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的方块字中些也具有对称性……对称给我们带来多少美的感受！初步掌握对称的奥秒，不仅可以帮助我们发现一些图形的特征，还可以使我们感受到自然界的美与和谐.轴对称是对称中重要的一种，从这节课开始，我们来学习第十四章：轴对称. 今天我们来研究第一节，认识什么是轴对称图形，什么是对称轴.n.导入新课出示课本的图片，观察它们都有些什么共同特征.这些图形都是对称的. 这些图形从中间分开后，左右两部分能够完全重合.小结：对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品， 甚至日常生活用品， 人们都可以找到对称的例子. 现在同学们就从我们生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子.我们的黑板、课桌、椅子等.我们的身体，还有飞机、汽车、枫叶等都是对称的.如课本的图14. 1. 2 ,把一张纸对折，剪出一个图案（ 折痕处不要完全剪断） ， 再打开这张对折的纸，就剪出了美丽的窗花. 观察得到的窗花和图14. 1. 1中的图形，你能发现它们有什么共同的特点吗？窗花可以沿折痕对折，使折痕两旁的部分完全重合. 不仅窗花可以沿一条直线对折，使直线两旁重合，上面图14. 1. 1中的图形也可以沿一条直线对折，使直线两旁的部分重合.结论：如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴. 这时，我们也说这个图形关于这条直线（ 成轴） 对称.了解了轴对称图形及其对称轴的概念后，我们来做一做.取一张质地较硬的纸， 将纸对折, 并用小刀在纸的中央随意刻出一个图案,将纸打开后铺平，你得到两个成轴对称的图案了吗？与同伴进行交流.结论：位于折痕两侧的图案是对称的，它们可以互相重合.由此可以得到轴对称图形的特征：一个图形沿一条直线折叠后，折痕两侧的图形完全重合.接下来我们来探讨一个有关对称轴的问题. 有些轴对称图形的对称轴只有一条，但有的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条。

下列各图，你能找出它们的对称轴吗？m O⑷ （ 5）结果：图（1）有四条对称轴；图（2）有四条对称轴；图（3）有无数条对称轴；图（4 ）有两条对称轴；图（5）有七条对称轴.(1) (2) (3) (4)(5)展示挂图，大家想一想，你发现了什么？像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠， 如果它能够与另一个图形重合， 那么就说这两个图形关于这条直线对称， 这条直线叫做对称轴， 折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.m .随堂练习( 一) 课本P U 7练习 ( 二 )P118练习I V .课时小结这节课我们主要认识了轴对称图形，了解了轴对称图形及有关概念，进一步探讨了轴对称的特点，区分了轴对称图形和两个图形成轴对称.V .作业（ 一）课本习题 14. 1—1、2、6、7、8 题.课后作业：VV课 堂 感 悟 与 探 究 > >VI .活动与探究课 本P118思考.成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？过程：在硬纸板上画两个成轴对称的图形，再用剪刀将这两个图形剪下来看是否重合. 再在硬纸板上画出一个轴对称图形，然后将该图形剪下来，再沿对称轴剪开，看两部分是否能够完全重合.结论：成轴对称的两个图形全等. 如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形全等，并且也是成轴对称的.轴对称是说两个图形的位置关系，而轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形.轴对称的两个图形和轴对称图形，都要沿某- - 条直线折叠后重合；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来， 如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形.板书设计§ 14. 1. 1 轴 对 称 （ 一）一、轴对称：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫轴对称图形，这条直线叫对称轴.二、两个图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.§ 14. 1. 2 轴 对 称 （ 二）教学目标1 . 了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质.2 .探究线段垂直平分线的性质.3 .经历探索轴对称图形性质的过程，进一步体验轴对称的特点，发展空间观察.教学重点1 .轴对称的性质.2 .线段垂直平分线的性质.教学难点体验轴对称的特征.教学过程I .创设情境，引入新课上节课我们共同探讨了轴对称图形，知道现实生活中由于有轴对称图形， 而使得世界非常美丽. 那么大家想一想， 什么样的图形是轴对称图形呢？今天继续来研究轴对称的性质.I I .导入新课观看投影并思考.如图，AABC和4 A ‘ B' C '关于直线MN对称，点A '、B '、C分别是点A、B、C的对称点，线 段A A '、B B '、C C与直线MN有什么关系？图中A、A '是对称点，A A '与MN垂直，B B '和C C '也与MN垂直.A A '、B B '和C C '与MN除了垂直以外还有什么关系吗？△ABC与AA' B' C '关于直线MN对称，点A '、B '、C '分别是点A、B、C的对称点， 设A A '交对称轴MN于 点P ,将AABC和4 A ' B' C沿M N对折后，点A与A '重合，于 是 有AP=A' P, NMPA=NMPA'= 9 0 ° .所 以AA'、B B '和C C '与MN除了垂直以外，MN还经过线段A A ，、B B '和CO 的中点.对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点， 并且垂直于这条线段. 我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.自己动手画一个轴对称图形， 并找出两对称点， 看一下对称轴和两对称点连线的关系.我们可以看出轴对称图形与两个图形关于直线对称一样， 对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段.归纳图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称， 那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线. 类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.下面我们来探究线段垂直平分线的性质.[ 探究1 ]如 下 图 . 木 条L与AB钉在一起，L垂直平分A B , P I , P2P 3 ,…是L上的点， 分别量一量点P i ，P 2 , P 3 ,…到A与]的距离，你有什么发现？1 .用平面图将上述问题进行转化，先 作 出 线 段A B , iAB中点作AB的垂直平分线L ,在L上 取P i、P 2、P 3 …，连结A P i、A P 2、B P 1、B P 2、C P i、C P2-2 . 作 好 图 后 ，用直尺量出A P i、A P z、B P】 、B P ?、C P ] , C P 2…讨论发现什么样的规律.探究结果：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 即A P i = B P ] ,AP2=BP2» …证明.证法一：利用判定两个三角形全等.如下图，在a A P C和a B P C中，PC = PC< ZPCA = ZPCB = RtZAC = BCn A A P C ^ A B P C n P A = P B .证法二：利用轴对称性质.由于点C是线段AB的中点，将线段AB沿直线L对折，线 段P A与P B是重合的， 因此它们也是相等的.带着探究1的结论我们来看下面的问题.［ 探 究2 ］如 右图. 用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“ 弓” ， “ 箭” 通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？活动:1 .用平面图形将上述问题进行转化•作线段A B ,取其中点P ,过P作L ,在L上取点P i、P 2 ,连 结A P i、A P 2、B P i、B P2.会有以下两种可能.2 .讨论：要 使L与AB垂直，A P i、A P2> B P ］、B P 2应满足什么条件？探究过程：1.如上图甲，若A P /B P i ，那么沿L将图形折叠后，A与B不可能重合，也就是NAPPIWNBPPI，即L与AB不垂直.2 . 如上图乙，若 A P |= B P |,那么沿L将图形折叠后，A与 B恰好重合,就有N A P P 尸N B P P i ，即L与 AB重 合 . 当 A P 2 = B P ? 时，亦然.探究结论：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 也就是说在［探究2 ］ 图中，只要使箭端到弓两端的端点的距离相等，就能保持射出箭的方向与木棒垂直.［ 师］ 上述两个探究问题的结果就给出了线段垂直平分线的性质，即：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上. 所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合.m.随堂练习课本P 12 1练 习 1、2 .I V . 课时小结这节课通过探索轴对称图形对称性的过程，了解了线段的垂直平分线的有关性质，同学们应灵活运用这些性质来解决问题.V.课后作业（ 一）课本习题14 . 1—3 、4 、9 题.课后作业：VV课堂感悟与探究> >V I . 活动与探究如图甲，aA B C和4 A ' B' C '关于直线L对称，延长对应线段AB和A' B ',两条延长线相交吗？交点与对称轴L有什么关系？延长其他对应线段呢？在图乙中，A C与A ' C '又如何呢？再找几个成轴对称的图形观察一下，能发现什么规律吗？过程：在图甲中，AB与A' B '不平行，所以它们肯定会相交. 下面来研究交点与对称轴L的关系.问 题1：点和直线有几种位置关系？有 两 种 . 一种是点不在直线上，另一种是点在直线上.问题2：先来假设一下交点不在对称轴L上，看是否成立.如果交点（ P）不在对称轴L上,那么在L的另一侧一定有另外一点（ P '）与 交 点（ P）关于直线L对称，且 该 点（ P ' ）也是两延长线的交点. 但是由于两条直线相交只可能有一个交点，所以这两点是重合的. 即交点（ P）只能在对称轴L上. 所以交点一定在对称轴上. 延长其他的对应线段，结果也一样.再看图乙，我们来讨论下一个问题.AC与A' C '是平行的，它们的两条延长线也不会相交.结论：成轴对称的两个图形，对应线段的延长线如果相交，交点一定在对称轴上； 对应线段的延长线如果不相交， 也就是对应线段所在的直线平行,那么它们也与对称轴平行.板书设计§ 14. 1. 2 轴 对 称 （ 二）一、复习：轴对称图形.二、 线段垂直平分线的定义： 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做线段的垂直平分线.三、图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线. 类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.四、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上.§14. 2轴对称变换教学目标1 . 通过实际操作，了解什么叫做轴对称变换.2 . 如何作出一个图形关于一条直线的轴对称图形.教学重点1 . 轴对称变换的定义.2 . 能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形.教学难点1 . 作出简单平面图形关于直线的轴对称图形.2 . 利用轴对称进行一些图案设计.教学过程I . 设置情境，引入新课在前一个章节，我们学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质问题. 在上节课的作业中，我们有个要求，让同学们自己思考一种作轴对称图形的方法，现在来看一下同学们完成的怎么样.将一张纸对折后，用针尖在纸上扎出一个图案， 将纸打开后铺平， 得到的两个图案是关于折痕成轴对称的图形.准备一张质地较软，吸水性能好的纸或报纸，在纸的一侧上滴上一- 滴墨水，将纸迅速对折，压平，并且手指压出清晰的折痕. 再将纸打开后铺平,位于折痕两侧的墨迹图案也是对称的.这节课我们就是来作简单平面图形经过轴对称后的图形.I I .导入新课由我们已经学过的知识知道， 连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.类似地，我们也可以由一个图形得到与它成轴对称的另一个图形，重复这个过程，可以得到美丽的图案.对称轴方向和位置发生变化时，得到的图形的方向和位置也会发生变化 . 大家看大屏幕，从电脑演示的图案变化中找出对称轴的方向和位置，体会对称轴方向和位置的变化在图案设计中的奇妙用途.下面，同学们自己动手在一张纸上画一个图形，将这张纸折叠描图，再打开看看，得到了什么？改变折痕的位置并重复儿次，又得到了什么？同学们互相交流一下.结论：由一个平面图形呆以得到它关于一条直线L对称的图形， 这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点；连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.我们把上面由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换 后 得 到 . 一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成的.取一张长30厘米，宽6厘米的纸条， 将它每3厘米一段， 一正一反像“ 手风琴”那样折叠起来，并在折叠好的纸上画上字母E ,用小刀把画出的字母E挖去，拉 开 “ 手风琴” ，你就可以得到以字母E为图案的花边. 回答下列问题.( 1 ) 在你所得的花边中，相邻两个图案有什么关系？ 相间的两个图案又有什么关系？说说你的理由.( 2 ) 如果以相邻两个图案为一组，每一组图案之间有什么关系？ 三个图案为一组呢？为什么？( 3 ) 在上面的活动中，如果先将纸条纵向对折，再折成“ 手风琴” ，然后继续上面的步骤，此时会得到怎样的花边？它是轴对称图形吗？先猜一猜，再做一做.注： 为了保证剪开后的纸条保持连结， 画出的图案应与折叠线稍远一些.I I I . 随堂练习( 一 ) 如 图 ( 1 ) , 将一张正六边形纸沿虚线对折折3次，得到一个多层的6 0 °角形纸，用剪刀在折叠好的纸上随意剪出一条线，如 图 ( 2 ) .( 1 ) 猜一猜，将纸打开后，你会得到怎样的图形？⑴A⑵( 2 ) 这个图形有儿条对称轴？( 3 ) 如果想得到一个含有5 条对称轴的图形， 你应取什么形状的纸？应如何折叠？答案：( 1 ) 轴对称图形.( 2 ) 这个图形至少有3 条对称轴.( 3 ) 取 一个正十边形的纸，沿它通过中心的五条对角线折叠五次， 得到一个多层的3 6 °角形纸，用剪刀在叠好的纸上任意剪出一条线， 打开即可得到一个至少含有5 条对称轴的轴对称图形.（ -）回顾本节课内容，然后小结.I V .课时小结本节课我们主要学习了如何通过轴对称变换来作出一个图形的轴对称图形， 并且利用轴对称变换来设计一些美丽的图案.在利用轴对称变换设计图案时，要注意运用对称轴位置和方向的变化，使我们设计出更新疑独特的美丽图案.V. 动手并思考（ 一）如下图所示，取一张薄的正方形纸，沿对角线对折后， 得到一个等腰直角三角形，再沿斜边上的高线对折，将得到的角形沿黑色线剪开，去掉含9 0 °角的部分，拆开折叠的纸，并将其铺平.（ 1 ）你会得怎样的图案？先猜一猜，再做一做.（ 2 ） 你能说明为什么会得到这样的图案吗？应用学过的轴对称的知识试一试.（ 3 ） 如果将正方形纸按上面方式折3次， 然后再沿圆弧剪开， 去掉较小部分， 展开后结果又会怎样？为什么？（ 4 ）当纸对折2 次后，剪出的图案至少有几条对称轴？ 3次呢？答案：（ 1 ）得到一个有2 条对称轴的图形.（ 2 ） 按照上面的做法，实际上相当于折出了正方形的2 条对称轴；因此（ 1 ） 中的图案一定有2 条对称轴.（ 3 ） 按题中的方式将正方形对折3次， 相当于折出了正方形的4条对称轴， 因此得到的图案一定有4条对称轴.（ 4 ）当纸对折2次，剪出的图案至少有2条对称轴；当纸对折3次 ,剪出的图案至少有4 条对称轴.（ 二）自己设计并制作一个花边.课后作业：VV课 堂 感 悟 与 探 究 > >V I . 活动与探究如果想剪出如下图所示的“ 小人”以 及 “ 十字” ，你想怎样剪？设法使剪的次数尽可能少.过程：学生通过观察、分析设计自己的操作方法，教师提示学生利用轴对称变换的应用.结果：“ 小人”可以先折叠一次，剪出它的一半即可得到整个图.“ 十字”可以折叠两次，剪出它的四分之一即可.板书设计§ 14. 2. 1. 1轴 对 称 变 换 （ 一 ）一、轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.二、利用轴对称变换设计图案14. 2 .2 用坐标表示轴对称教学目标在平面直角坐标系中，确定轴对称变换前后两个图形中特殊点的位置关系，再利用轴对称的性质作出成轴对称的图形教学重点用坐标表示轴对称教学难点利用转化的思想，确定能代表轴对称图形的关键点教学过程：一、复习轴对称图形的有关性质一 注 尔1 .学生探索：点( x ,y )关于x轴对称的点的坐标( x ,—y ) ；点( x ,y )关于y轴对称的点的坐标( —x ,y ) ；点3 ,丫) 关于原点对称的点的坐标( —X ,—y )2 . 例3 四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A ( —5 ,1 )、B ( —2 ,1 )、C ( —2 ,5 )、D ( — 5 ,4 ) ,分别作出与四边形ABCD关于x轴和y轴对称的图形.( 1 )归纳：与已知点关于y轴或x轴对称的点的坐标的规律；( 2 )学生画图( 3 )对于这类问题， 只要先求出已知图形中的一些特殊点的对应点的坐标,描出并顺次连接这些特殊点，就可以得到这个图形的轴对称图形.3、探究问题分别作出APC5R关于直线x=l（记 为m）和直线尸一1（记 为n）对称的图形，你能发现它们的对应点的坐标之间分别有什么关系吗？（ 1）学生画图，由具体的数据，发现它们的对应点的坐标之间的关系（ 2）若△P |Q |R |中P |（ X1,yJ关 于x=l（记 为m）轴对称的点的坐标P2（X 2 J 2 ），则 上;2 =加，y i= y2.若△P1Q1R1中P |（ X1,yJ关于 产 一1（记 为n）轴 对 称 的 点 的 坐 标P2（X 2 J 2 ），则 X[ = X 2，' + 乃= n .2三、小结本节内容四、训练：课 本135页的第1〜3题五、作业：课 本136页的第5〜7题课 后 练 习 〈 课堂感悟与探究〉§14. 3. 1. 1等腰三角形教学目标1 . 等腰三角形的概念.2 . 等腰三角形的性质.3 . 等腰三角形的概念及性质的应用.教学重点1 . 等腰三角形的概念及性质.2 . 等腰三角形性质的应用.教学难点等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用.教学过程I . 提出问题，创设情境在前面的学习中， 我们认识了轴对称图形， 探究了轴对称的性质， 并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案. 这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的儿何图形. 来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是.问题：那什么样的三角形是轴对称图形？满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形.我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形——等腰三角形.II . 导入新课要求学生通过自己的思考来做一个等腰三角形.AB*I作一条直线L ,在 L 上取点A ,在 L 外取点B ,作出点B 关于直线L 的对称点C , 连结AB、BC、C A ,则可得到一个等腰三角形.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角. 同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角.思考：1 .等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴.2 .等腰三角形的两底角有什么关系？3 . 顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4 . 底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？ 底边上的高所在的直线呢？结论：等腰三角形是轴对称图形. 它的对称轴是顶角的平分线所在的直线. 因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.要求学生把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系.沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高.由此可以得到等腰三角形的性质：1 .等腰三角形的两个底角相等（ 简 写 成 “ 等边对等角” ） .2 .等腰三角形的顶角平分线， 底边上的中线、 底边上的高互相重合（ 通常 称 作 “ 三线合一” ） .由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质. 同学们现在就动手来写出这些证明过程） .如右图，在AABC中，AB=AC,作底边BC的中线A D ,因为AB = AC,A< BD = CD, / \AD = AD, / \所以ABAD/ ZSCAD (SSS).BD C所以NB=NC.］ 如右图，在aA B C 中，AB=AC,作顶角NBAC的角平分线A D ,因为AB = AC, A< /BAD = ZCAD, AAD = AD, / \所以△BADgZ\CAD. B ［) c所以 BD=CD, ZBDA=ZCDA=- ZBDC=90° .2［ 例 u 如图， 在4A B C 中， AB=AC,点D 在 AC上， 且 BD=BC=AD,A求：^A B C各角的度数. A分析：/ \1)根据等边对等角的性质，我们可以得到B CNA=NABD, ZABC=ZC=ZBDC,再由NBDC=NA+NABD,就可得至【J NABC=NC=NBDC=2NA.再由三角形内角和为180° ,就可求出AABC的三个内角.把N A 设为x 的话， 那么NABC、N C 都可以用x 来表示， 这样过程就更简捷.解：因为 AB=AC, BD=BC=AD,所以 NABC=NC=NBDC.ZA=ZABD ( 等边对等角) .设N A = x,则ZBDC=ZA+ZABD=2x,从而 NABC=NC=NBDC=2x.于是在aA B C 中，有NA+NABC+NC=x+2x+2x=180° ,解得x=36° .在aABC 中，NA=35° , ZABC=ZC=72° .［ 师］ 下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识.m.随堂练习（ 一）课本 P141 练习 1、2、3.（ 二）阅读课本P138〜 P140,然后小结.IV .课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质， 并对性质作了简单的应用. 等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（ 等边对等角） ，等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高.我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们.V .作业（ 一）课本 P147—1、3、4、8 题.课后作业：VV课 堂 感 悟 与 探 究 > >板书设计14. 3. 1. 1等腰三角形（ 一）一、设计方案作出一个等腰三角形二、等腰三角形性质1 .等边对等角2 .三线合一参考练习一、选择题1 .如果AABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是（ ）A .某一条边上的高； B .某一条边上的中线C.平分一角和这个角对边的直线；D.某一个角的平分线2 .等腰三角形的一个外角是1 0 0 ° ,它的顶角的度数是（ ）A . 8 0 ° B . 2 0 ° C . 8 0 ° 和 2 0 ° D . 8 0 ° 或 5 0 °答案：1 . C 2 . C二、已知等腰三角形的腰长比底边多2 c m ,并且它的周长为1 6 c m .求这个等腰三角形的边长.解：设三角形的底边长为x c m ,则其腰长为（ x + 2 ） c m ,根据题意，得2 （ x + 2 ） + x = 1 6 .解 得x = 4 .所以，等腰三角形的三边长为4 c m、6 c m和6 c m .§14. 3. 1. 1等腰三角形（ 二）教学目标1、理解并掌握等腰三角形的判定定理及推论2、能利用其性质与判定证明线段或角的相等关系.教学重点等腰三角形的判定定理及推论的运用教学难点正确区分等腰三角形的判定与性质.能够利用等腰三角形的判定定理证明线段的相等关系.教学过程：一、复习等腰三角形的性质二、新授：I提出问题，创设情境B北出示投影片. 某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树（ B 点） 为B 标， 然后在这棵树的正南方（ 南岸A 点抽一小旗作标志）沿南偏东6 0 °方向走一段距离到C处时，测得N A C B 为 3 0 ° ,这时，地质专家测得A C 的长度就可知河流宽度.学生们很想知道，这样估测河流宽度的根据是什么？带着这个问题，引导学生学习“ 等腰三角形的判定”.I I 引入新课1 .由性质定理的题设和结论的变化，引出研究的内容——在A A B C 中，苦 N B = N C , 则 A B = A C 吗？作一个两个角相等的三角形，然后观察两等角所对的边有什么关系？2 .引导学生根据图形，写出已知、求证.2 、小结，通过论证，这个命题是真命题，即 “ 等腰三角形的判定定理”（ 板书定理名称） .强调此定理是在一个三角形中把角的相等关系转化成边的相等关系的重要依据，类似于性质定理可简称“ 等角对等边”.4 .引导学生说出引例中地质专家的测量方法的根据.HI例题与练习1 .如图22 . ①如图3 , 已知a A B C 中， A B = A C . N A = 3 6 ° , 则NC（ 根据什么？） .②如图4 , 已知△A B C 中，N A = 3 6 ° , ZC = 7 2 ° , A A B C 是_ _ _ _ _三角形（ 根据什么? ） .③若已知N A = 3 6 ° , ZC = 7 2 ° , B D 平分N A B C 交A C 于D , 判断图5中等 腰 三 角 形 有 .④若已知A D = 4 c m , 则B C _ _ _ _ c m .3 .以问题形式引出推论1 _ _ _ _ .4 .以问题形式引出推论2 _ _ _ _ .例： 如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，求证这个三角形是等腰三角形.分析：引导学生根据题意作出图形，写出已知、求证，并分析证明.练习: 5.⑴如图6 , 在A A B C 中 , A B = A C , N A B C 、N A C B 的平分线相交于点F, 过 F 作 D E 〃B C , 交A B 于点D , 交A C 于 E . 问图中哪些三角形是等腰三角形？( 2 ) 上题中，若去掉条件A B = A C , 其他条件不变，图6中还有等腰三角形吗？I V 课堂小结 入1 .判定一个三角形是等腰三角形有儿种方法DZAE2 .判定一个三角形是等边三角形有儿种方法‘T c图63 .等腰三角形的性质定理与判定定理有何关系？4 .现在证明线段相等问题，一般应从几方面考虑？V 布置作业1 .阅读教材2 .书面作业：教材第1 5 0 页第1 2 题3 、 《 课堂感悟与探究》14. 3. 2 等边三角形( 一)教学目的1 . 使学生熟练地运用等腰三角形的性质求等腰三角形内角的角度。

2 .熟识等边三角形的性质及判定.2 .通过例题教学，帮助学生总结代数法求儿何角度，线段长度的方法教学重点、等腰三角形的性质及其应用教学难点简洁的逻辑推理教学过程一、复习巩固1 .叙述等腰三角形的性质，它是怎么得到的？等腰三角形的两个底角相等，也可以简称“ 等边对等角“ 把等腰三角形对折，折叠两部分是互相重合的，即AB与AC重合，点B与 点C重合，线段BD与CD也重合，所以N B=N C等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高线互相重合，简称 “ 三线合一” 由 于AD为等腰三角形的对称轴，所 以BD= CD, A D为底边上的中线；ZBAD=ZCAD, A D为顶角平分线，ZADB=ZADC =90° , AD又为底边上的高，因 此 “ 三线合一二2 .若等腰三角形的两边长为3和4 ,则其周长为多少？二、新课在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边都相等我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形等边三角形具有什么性质呢？1 .请同学们画一个等边三角形，用量角器量出各个内角的度数，并提出猜想2 .你能否用已知的知识，通过推理得到你的猜想是正确的？图 ⑴等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到Z A = Z B = C ,又由NA + NB+NC=180° ，从而推出NA= NB= NC =60° o3 . 上面的条件和结论如何叙述？等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于6 0 ° 。

等边三角形是轴对称图形吗? 如果是，有几条对称轴？等边三角形也称为正三角形例 1 . 在AABC中，AB=AC, D 是 BC边上的中点，ZB=30° ,求N1和NADC的度数分析：由AB = AC, D 为 BC的中点，可知AB为 BC底边上的中线，由 “ 三线合一”可知AD是4A B C 的顶角平分线，底边上的高，从而NADC=90° , Z 1= Z B A C ,由于NC=NB = 30° , NBAC 可求，所以N1 可求问题1：本题若将D 是 BC边上的中点这一条件改为AD为等腰三角形顶角平分线或底边BC上的高线，其它条件不变，计算的结果是否一样？问题2：求N 1是否还有其它方法？三、练习巩固1 . 判断下列命题，对的打“ J”，错的打“ X ”a.等腰三角形的角平分线，中线和高互相重合( )b . 有一个角是6 0 °的等腰三角形，其它两个内角也为60° ()2 . 如图(2 ),在aA B C 中，已知AB=AC, AD为NBAC的平分线，且/2= 25° ，求NADB和N B 的度数图( 2 )图⑶四、小结由等腰三角形的性质可以推出等边三角形的各角相等， 且都为6 0 ° 三线合一”性质在实际应用中，只要推出其中一个结论成立，其他两个结论一样成立，所以关键是寻找其中一个结论成立的条件。

五、作业1 . 课本 P147— 7 , 92、补充：如图(3), aA B C 是等边三角形，BD、CE是中线，求NCBD, ZBOE, ZBOC,ZEOD的度数 一 )课本 P147—1、3、4、8 题.课后作业：VV课堂感悟与探究 > >§14. 3. 2 . 2 等边三角形（ 二）教学目标掌握等边三角形的性质和判定方法.培养分析问题、解决问题的能力.教学重点等边三角形的性质和判定方法.教学难点等边三角形性质的应用教学过程I 创设情境，提出问题回顾上节课讲过的等边三角形的有关知识1 . 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴.2 . 等边三角形每一个角相等，都等于60°3 .三个角都相等的三角形是等边三角形.4 .有一个角是6 0 °的等腰三角形是等边三角形.其中1 、2 是等边三角形的性质；3 、4的等边三角形的判断方法.I I 例题与练习1 . Z \ A B C 是等边三角形， 以下三种方法分别得到的4 A D E 都是等边三角形吗，为什么？①在边A B 、A C 上分别截取A D = A E .②作NA D E = 6 0 ° , D 、E 分别在边 A B 、A C ±.③过边A B ± D 点作D E 〃B C , 交边A C 于 E点.2 .已知：如右图，P 、Q 是a A B C 的边B C 上的两点，，并且P B = P Q = Q C = A P= A Q . 求N B A C 的大小.分析：由已知显然可知三角形A P Q 是等边三角形，每个角都是6 0 ° .又知4 A P B 与AAQC都是等腰三角形，两底角相等，由三角形外角性质即可推得N P A B = 3 0 ° .I l l课堂小结1 、等腰三角形和性质2 、等腰三角形的条件V 布置作业1 .教科书第1 4 7 页练习1 、22 .选做题：⑴教科书第1 5 0 页习题1 4 . 3 第 1 1 题.（ 2 ） 已知等边4 A B C , 求平面内一点P , 满足A , B , C , P四点中的任意三点连线都构成等腰三角形. 这样的点有多少个？（ 3 ）《 课堂感悟与探究》§14. 3. 2 . 1 等边三角形（ 三）教学过程一、 复习等腰三角形的判定与性质二、 新授：1 .等边三角形的性质：三边相等；三角都是6 0 ° ；三边上的中线、高、角平分线相等2 .等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形； 有一个角是6 0 °的等腰三角形是等边三角形；在直角三角形中，如果一个锐角等于30° , 那么它所对的直角边等于斜边的一半注意：推 论 1 是判定一个三角形为等边三角形的一个重要方法. 推论2 说明在等腰三角形中，只要有一个角是6 0 °,不论这个角是顶角还是底角，就可以判定这个三角形是等边三角形。

推论3 反映的是直角三角形中边与角之间的关系.3 . 由学生解答课本148页的例子；4 . 补充：已知如图所示， 在aA B C 中， BD是AC边上的中线， DB_LBC于ZABC=120°,求证: AB=2BC分析由已知条件可得NABD=30°,如能构造有一个锐角是30°的直角三角形， 斜边是AB,30°角所对的边是与BC相等的线段, 问题就得到解决了.证明： 过A作AE〃BC交BD的延长线于E•.•DB_LBC（ 已知），ZAED=90° （ 两直线平行内错角相等） /- - - - - -\在4ADE aiACDB 中 XNE = （ 已证）" ZADE = NBDC（ 对顶角相等）AQ = C （ 已知），AADE^ACDB（ AAS），AE=CB（ 全等三角形的对应边相等）,/ NABC=120°,DB_LBC（ 已知）ZABD=30°在 RtAABE 中, NABD=30°； .AE=； AB（ 在直角三角形中， 如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半）BC=-AB 即 AB=2BC2点评 本题还可过C 作 CE〃AB5、训练：如图所示, 在等边aA B C 的边的延长线上取一点E,以CE为边作等边aCDE,使它与4ABC位于直线AE的同一侧， 点M 为线段AD的中点， 点N为线段BE的中点， 求证: ACNM是等边三角形.分析 由已知易证明△ADC^^BEC,得BE=AD,NEBC=NDAE,而M、N 分别为BE、AD的中点，于是有BN=AM,要证明ACNM是等边三角形，只须证MC=CN, ZMCN=60°,所以要证△NBCgA M A C,由上述已推出的结论，根据边角边公里，可证得ANBC多Z\MAC证明：• . , 等边AABC和等边ADCE,/.BC=AC, CD=CE,（ 等边三角形的边相等）NBCA=NDCE=60° （ 等边三角形的每个角都是60），ZBCE=ZDCA/.△BCE^AACD （ SAS）/. ZEBC=ZDAC （ 全等三角形的对应角相等）BE=AD （ 全等三角形的对应边相等）XVBN=-BE, AM=-AD （ 中点定义）2 2Z.BN=AM.,.△NBC^AMAC （ SAS）/.CM=CN （ 全等三角形的对应边相等）ZACM=ZBCN （ 全等三角形的对应角相等）Z. ZMCN=ZACB=60°AAM CN为等边三角形（ 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）解题小结1 .本题通过将分析法和综合法并用进行分析， 得到了本题的证题思路， 较复杂的儿何问题经常用这种方法进行分析2 . 本题反复利用等边三角形的性质， 证得了两对三角形全等， 从而证得△M C N是一个含60°角的等腰三角形， 在较复杂的图形中， 如何准确地找到所需要的全等三角形是证题的关键.三、小结本节知识四、作业：课本151页第13, 14题§15. 1. 1 整式教学目标1 .单项式、单项式的定义.2 .多项式、多项式的次数.3 、理解整式概念.教学重点单项式及多项式的有关概念.教学难点单项式及多项式的有关概念.教学过程I.提出问题，创设情境在七年级，我们已经学习了用字母可以表示数，思考下列问题1 .要表示a A B C 的周长需要什么条件？要表示它的面积呢？2 . 小王用七小时行驶了 S k m 的路程，请问他的平均速度是多少？结论：1 、要表示AABC的周长，需要知道它的各边边长. 要表示a A B C 的面积需要知道一条边长和这条边上的高. 如果设BC= a , AC= b , AB= c . AB边上的高为 h , 那么AABC的周长可以表示为a + b + c ； Z \ ABC的面积可以表示为‘ « c - h .22 . 小王的平均速度是士.t问题：这些式子有什么特征呢？（ 1 ）有数字、有表示数字的字母.（ 2 ）数字与字母、字母与字母之间还有运算符号连接.归 纳 :用基本的运算符号（ 运算包括加、减、乘、除、乘方与开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.1 q判断上面得到的三个式子：a + b + c 、，c h 、）是不是代数式？ （ 是）2 t代数式可以简明地表示数量和数量的关系. 今天我们就来学习和代数式有关的整式.n.明确和巩固整式有关概念（ 出示投影）思考：先填空，再看看列出的代数式有什么特点.（ 1 ）边长为X的 正 方 形 的 周 长 为 ;（ 2 ） 一辆汽车的速度是v千米/ 时，行 驶 t小时所走过的路程为一千米.（ 3 ）如图，正 方 体 的 表 面 积 为 ,正 方 体 的 体 积 为 ；结论：（ 1 ）正方形的周长：4x.（ 2 ）汽车走过的路程：v t .（ 3 ）正方体有六个面，每个面都是正方形，这六个正方形全等， 所以它的表面积为6a2；正方体的体积为长X宽X高，即(4) n的相反数是一n.分析这四个数的特征.它们符合代数式的定义. 这五个式子都是数与字母或字母与字母的积，而a+b+c、- c h ,)中还有和与商的运算符号. 还可以发现这五个代数式中2 t字母指数各不相同，字母的个数也不尽相同.请同学们阅读课本P160〜 P161单项式有关概念.根据这些定义判断4x、v t、6a\ a3> -n、a+b+c、, c h、* 这些代数式中，2 t哪些是单项式？是单项式的，写出它的系数和次数.结论:4x、v t、6a2、a \ -n、』ch是单项式. 它们的系数分别是4、1、6^21、T、它们的次数分别是1、2、2、3、1、2 .所以4x、- n都是一次单2项式；v t、6a2、 」c h都是二次单项式；a3是三次单项式.2问题:v t中v和t的指数都是1 ,它不是一次单项式吗？结论: 不是. 根据定义， 单项式v t中含有两个字母， 所以它的次数应该是这两个字母的指数的和， 而不是单个字母的指数， 所以v t是二次单项式而不是一次单项式.生活中不仅仅有单项式，像a+ b+ c,它不是单项式，和单项式有什么联系呢？写出下列式子(出示投影)结论：(1) t-5. (2) 3x+5y+2z.( 3 )三角尺的面积应是直角三角形的面积减去圆的面积，即-ab-3. 14r2.2( 4 )建筑面积等于四个矩形的面积之和. 而右边两个已知矩形面积分别为3X 2、4 X 3 ,所以它们的面积和是1 8 .于是得这所住宅的建筑面积是X2+2X+18.我们可以观察下列代数式：a + b + c 、t - 5、3 x+ 5y + 2 z 、- a b - 3 . 1 4r \ x2+ 2 x+ 1 8 . 发现它们都是由单项2式的和组成的式子. 是多个单项式的和，能不能叫多项式？这样推理合情合理. 请看投影，熟悉下列概念.几个单项式的和叫做多项式.多项式中每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫常数项.多项式中次数最高的项的次数即这个多项式的次数.根据定义， 我们不难得出 a + b + c 、 t - 5 、 3x+ 5 y+ 2 z 、 - a b - 3. 1 4 r2> x2+ 2 x+ 1 82都是多项式. 请分别指出它们的项和次数.a + b + c 的项分别是a 、b 、c .55的项分别是t 、- 5 , 其中- 5 是常数项.3x+ 5 y+ 2 z 的项分别是分、5 y、2 z .L a b - 3. 1 4 / 的项分别是， a b 、- 3. 1 4 r2.2 2x? + 2 x+ 1 8 的项分别是 x2 、2 x、1 8.找多项式的次数应抓住两条，一是找准每个项的次数， 二是取每个项次数的最大值. 根据这两条很容易得到这五个多项式中前三个是一次多项式，后两个是二次多项式.这节课，通过探究我们得到单项式和多项式的有关概念，它们可以反映变化的世界. 同时，我们也体会到符号的魅力所在. 我们把单项式与多项式统称为整式.m.随堂练习1 . 课本P 1 62 练习IV . 课时小结通过探究，我们了解了整式的概念. 理解并掌握单项式、多项式的有关概念是本节的重点，特别是它们的次数. 在现实情景中进一步理解了用字母表示数的意义， 发展符号感.V . 课后作业1 . 课本 P165〜 P166 习题 15. 1—1、5、8、9 题.2 . 预 习 “ 整式的加减” .课后作业：《 课堂感悟与探究》§ 1 5 . 1 . 2整式的加减( 1 )教学目的:1 、解字母表示数量关系的过程，发展符号感。

2 、 会进行整式加减的运算， 并能说明其中的算理， 发展有条理的思考及语言表达能力教学重点：会进行整式加减的运算，并能说明其中的算理教学难点：正确地去括号、合并同类项，及符号的正确处理教学过程：—＞课前练习：1 、填空：整式包括 和2 、单项式二2的系数是 、次数是33、多项式3m 3一2 机- 5 + 〃/ 是 次 项式，其中二次项系数是 一次项是,常数项是4 、下列各式，是同类项的一组是( )17(A ) 与 5 yx2 (B ) 与 (C ) q a b 与 a b c5 、去括号后合并同类项：(3a - b ) + (5 a + 2 b )- (74 + 4 )二、探索练习：1 、如果用a、b 分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为 交换这个两位数的十位数字和个位数字后得到的两位数为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _这两个两位数的和为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2、如果用a、b、c分别表示一个三位数的百位数字、十位数字和个位数字,那么这个三位数可以表示为 交换这个三位数的百位数字和个位数字后得到的三位数为这两个三位数的差为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _• 议 一议：在上面的两个问题中，分别涉及到了整式的什么运算？说说你是如何运算的？▲整式的加减运算实质就是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _运算的结果是一个多项式或单项式。

三、巩固练习：1、填空：(1 ) 2 a — 6与a — b的差是(2 )、单项式5 / y、- 2x2y 2xy2 , 的和为(3)如图所示，下面为由棋子所组成的三角形， 人一个三角形需六个棋子，三个三角形需 / . \( ) 个棋子，n个三角形需 个棋子 / \ \2、计算：(1 ) (3/ + 7左)+ (较2 - 3^ + 1 )、 , 1 ,(2 ) (3x2 + 2xy - -x)- (2 x2 - xy + x)(3) 3a - [ 5 a - (a + 2 ) + 4 ] - l3、(1 )求 / -7x- 2 与-2/+ 4 x- l 的和(2 )求4 k 2 + 7女与一女2 + 3攵 一 1的差4、先化简，再求值：5X2-[3X-2(2X-3 )-4X2]其中 x =-；四、提高练习:1 、若A是五次多项式，B是三次多项式，则A + B 一定是（ A ） 五次整式 （ B ）八次多项式（ C ）三次多项式 （ D）次数不能确定2 、足球比赛中，如果胜•一 场记3 a 分，平一场记a 分，负一场记 0 分，那么某队在比赛胜5 场，平 3 场，负2 场，共积多少分？3 、一个两位数与把它的数字对调所成的数的和，一定能被1 1整除，请证明这个结论。

4 、 如果关于字母x 的二次多项式-3/+3+ 〃 / - 8 + 3 的值与* 的取值无关,试求m、n的值五、小结：整式的加减运算实质就是去括号和合并同类项六、作业：第 8 页习题1 、2 、31 5 . 1 . 2整式的加减（ 2 ）教学目标：1.会进行整式加减的运算，并能说明其中的算理，发展有条理的思考及其语言表达能力2.通过探索规律的问题，进一步体会符号表示的意义，发展符号感，发展推理能力教学重点：整式加减的运算教学难点：探索规律的猜想教学方法：尝试练习法，讨论法，归纳法教学用具：投影仪教学过程：oo摆第1 个 “ 小屋子”需要5 枚棋子，摆第2 个需要 枚棋子，摆第3个需要 枚棋子按照这样的方式继续摆下去1 )摆第1 0 个这样的“ 小屋子”需要 枚棋子(2 )摆第n 个这样的“ 小屋子” 需要多少枚棋子？你是如何得到的？你能用不同的方法解决这个问题吗？小组讨论二、例题讲解：三、巩固练习：1 、计算：(1 ) (1 lx 1 — 2 x ' ) + 2 (x * — X ， ) (2 ) (3 a ' + 2 a —6) —3 (a ' —1 )(3 ) X — (1 —2 x + x2) + ( — 1 —x2) (4 ) (8 x y —3 x2) —5 x y - 2 (3 x y —2 x2)2 、已知：A = x3- x2- l, B =X2-2,计算：(1 ) B - A (2 ) A - 3 B3 、列方程解应用题：三角形三个内角的和等于1 8 0 ° ,如果三角形中第一个角等于第二个角的3 倍，而第三个角比第二个角大1 5 ° ,那么(1 )第一个角是多少度？(2 )其他两个角各是多少度？四、提高练习：1 、已知 A = a ? + b 2 —C ? , B = - 4 a2+ 2 b2+ 3 c2,并且 A + B + C = 0 , 问 C 是什么样的多项式？2 ^ 设 A = 2 x ’‘一3 x y + y ：'一x + 2 y , B = 4 x ~ —6x y + 2 y2—3 x —y ,若 | x —2 a | +(y + 3 ) 2 = 0 ,且 B —2 A = a ,求 A 的值。

3、已知有理数a、b、c在 数 轴 上(0为数轴原点)的对应点如图：试化简：I a | — | i 1 | + 1 ~ a I + ― ― c ~ | ~a b 0 c小 结：要善于在图形变化中发现规律，能熟练的对整式加减进行运算作 业：课本 P ” 习题 1 . 3 ： 1 (2 )、(3 )、(6 ), 20《 课堂感悟与探究》§15. 2. 1同底数幕的乘法教学目标( - ) 教学知识点1 .理解同底数累的乘法法则.2 .运用同底数幕的乘法法则解决一些实际问题.( - ) 能力训练要求1 .在进一步体会幕的意义时，发展推理能力和有条理的表达能力.2 .通 过 “ 同底数累的乘法法则”的推导和应用， 使学生初步理解特殊•一般一特殊的认知规律.(三 )情感与价值观要求体味科学的思想方法， 接受数学文化的熏陶， 激发学生探索创新的精神.教学重点正确理解同底数幕的乘法法则.教学难点正确理解和应用同底数基的乘法法则.教学方法透思探究教学法： 利用学生已有的知识、 经验对所学内容进行自主探究、发现，在对新知识的再创造和再发现的活动中培养学生的探索创新精神与创新能力.教具准备投影片(或多媒体课件).教学过程I .提出问题，创设情境复 习a11的意义：a11表 示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方. 乘方的结果叫幕；a叫做底数，n是指数.(出示投影片):* j底数：提出问题：(出示投影片)问题：一种电子计算机每秒可进行10口次运算，它 工 作103秒可进行多少次运算？［ 师］ 能否用我们学过的知识来解决这个问题呢？［ 生］ 运算次数= 运算速度X工作时间所以计算机 工 作1()3秒可进行的运算次数为：10l2xl()3.［ 师］10外1()3如何计算呢？［ 生］ 根据乘方的意义可知10,2xl03=(10x xl0)x (10x10x10) =(10xl0x xl0)=1015.、 -\ -y- -12 个 1015 个 10［ 师］ 很好，通过观察大家可以发现10匕1()3这两个因数是同底数幕的形式，所以我们把像1012x1()3的运算叫做同底数暴的乘法. 根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算——同底数嘉的乘法.I I .导入新课1 .做一做出示投影片:计算下列各式：(1 ) 25X22(2 ) a3-a2(3 ) 5m-5n (m > n都是正整数)你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述.［ 师］ 根据乘方的意义，同学们可以独立解决上述问题.［ 生］( 1) 25X22= (2X2X2X2X2) X (2X2)= 27= 25+ 2.因 为 2、 表 示 5 个 2 相乘, ；22表 示 2 个 2 相乘，根据乘方的意义，同样道理可得a3- a2= ( a - a - a ) • ( a - a ) = a5= a3+ 2.5m- 5n= ( 5x 5x x 5) x ( 5x 5x x 5) = 5m + n.心5 n个5( 让学生自主探索，在启发性设问的引导下发现规律，并用自己的语言叙述) .［ 生］ 我们可以发现下列规律：( 一) 这三个式子都是底数相同的哥相乘.( 二) 相乘结果的底数与原来底数相同， 指数是原来两个事的指数的和.2 .议一议出示投影片a m . a ' i 等 于 什 么 ( m 、n都 是 正 整 数 ) ？为什么？［ 师生共析］a *11/ 表示同底数累的乘法. 根据累的意义可得：am- an= ( a a a ) - ( a a a ) = a a a = am + n、__________ / s ,_________________， 、 ,V V Vm个 a n个 a (nwi)个a于是有a m . a n = a m + n ( m 、n都是正整数) ，用语言来描述此法则即为：“ 同底数累相乘，底数不变，指数相加” .［ 师］ 请同学们用自己的语言解释“ 同底数基相乘， 底数不变，指数相加”的道理，深刻理解同底数事的乘法法则.［ 生］ a1"表示n个 a 相乘，a ” 表 示 n个 a 相乘，胪豆】 表 示 m个 a 相乘再乘以n个a相乘， 也就是说有( m + n )个a相乘， 根据乘方的意义可得am- an= am + n.［ 师］ 也就是说同底数幕相乘，底数不变，指数要降一级运算，变为相加.3 .例题讲出 示 投 影［ 例1］计算：( 1) x2- x5( 3) 2X24X23解片( 2) a - a6( 4) xm- x3m + l［ 师 ］ 我们［ 例2］计 算a m - a { a P后，能找到什么规律?先 来 看例1 ,是不是可以用同底数累的乘法法则呢？［ 生1］ ( 1) > ( 2)、( 4)可以直接用“ 同底数基相乘，底数不变，指数相加”的法则.［ 生2］ ( 3)也可以，先 算2个同底数幕相乘，将其结果再与第三个幕相乘，仍是同底数基相乘，再用法则运算就可以了.［ 师］ 同学们分析得很好. 请自己做一遍. 每组出一名同学板演， 看谁算得又准又快.生板演：( 1 )解：x2- x5= x2+ 5= x7.( 2)解：a - a ^ a ' a ^ a ' ^ a7.( 3)解：2X24X23=21+4-23=25-23=25+3=28.( 4)解：xm- x3m + 1= xm + ( 3m + 1)= x4m + l.［ 师］ 接下来我们来看例2 .受( 3)的启发，能自己解决吗？ 与同伴交流一下解题方法.解法一：am- an- ap= ( a 'n- an) - ap= am + n- ap= am + n + p;解法二:解法三:am- an- ap= am- ( an- ap) = am- an + p= am + n + pam- an- ap= a acr a aa-a aa= am+n+p评析：解法一与解法二都直接应用了运算法则，同时还用了乘法的结合律； 解法三是直接应用乘方的意义. 三种解法得出了同一结果. 我们需要这种开拓思维的创新精神.［ 生］ 那我们就可以推断，不管是多少个塞相乘，只要是同底数基相乘，就一定是底数不变，指数相加.［ 师］ 是的，能不能用符号表示出来呢？I■户i c i n l 八1勤2 cinn ^ml+m2+mn［ 生］a - a . .a = a［ 师］ 太 棒 了 . 那 么 例1中 的 第( 3)题我们就可以直接应用法则运算了.2X24X23=21+4+3=28.m.随堂练习1.课 本P 166练习IV .课时小结［ 师］ 这节课我们学习了同底数幕的乘法的运算性质，请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？［ 生］ 在探索同底数暴乘法的性质时，进一步体会了累的意义. 了解了同底数累乘法的运算性质.［ 生］ 同底数基的乘法的运算性质是底数不变，指数相加. 应用这个性质时， 我觉得应注意两点：是必须是同底数累的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加，即am- an= am + n ( m , n是正整数) .V .课后作业1 .课本 P 17 5 习题 15. 2—1. ( 1)、( 2) , 2 .⑴ 、8 .《 三级训练》板书设计§ 15 . 2. 1同底数幕的乘法一、计算机运算次数：算1 2X I( ) 3计算 10i 2x i ( ) 3=( 10x l 0x x l 0) x ( 10x 10x 10) = 10x l 0x x l Q =10124M0 ' 15个 10二、算一算，找规律1. 25X22= ( 2X2X2X2X2 ) X ( 2X2 )= ( 2x 2x x 2) =27；2. a ,- a2= ( a - a - a ) • ( a - a ) =a a - a a - a =a5；3. 5m- 5n=( 5 x 5 x x 5 ) x ( 5 x 5 x x 5 ) =5 x 5 x x 5 =5m + nnrt-5 n个 5 (m+n)个 5三、同底数幕的乘法法则：同底数底相乘,底数不变，指 数 相 加 .B P am- an=am + n ( m > n都是正整数)四、例题讲解：( 由学生板演)§ 15 2 3 的教学目标：1、经历探索幕的乘方与积的乘方的运算性质的过程，进一步体会骞的意义，发展推理能力和有条理的表达能力。

2、了解毒的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题教学重点：会进行愚的乘方的运算教学难点：累的乘方法则的总结及运用教学方法：尝试练习法，讨论法，归纳法教学用具：投影仪、常用的教学用具活动准备：1、计 算 ( 1) (x+y) 2 • (x+y) 3 (2 ) x2 • x2 • x+x'1 • x(3) (0. 75a) 3 , ( — a ) 1 (4) x：i , x"H —x'1' • x14教学过程：通过练习的方式，先让学生复习乘方的知识，并紧接着利用乘方的知识探索新课的内容一、探索练习：一相乘._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _相乘.一相乘._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 相乘.在这个练习中，要引导学生观察，推测(6?)'与 (a?)的底数、指数并用乘方的概念解答问题2、(62) =X X X=( 根据a1"小)个一个个个£砺1436a2(33) 5=X X X X= ( 根据 a" - a"=a"m)(a2) = _X _ _X _—( 根据a"・ a—1™ )(am) 2=X( 根据 a" - an=a,M)(a") = X X---X _X=( 根据4 •壮 小 )即( a“)n= ( 其中m、n 都是正整数)通过上面的探索活动,发现了什么？幕的乘方， 底数， 指数.学生在探索练习的指引下， 自主的完成有关的练习,并在练习中发现塞的乘方的法则， 从猜测到探索到理解法则的实际意义从而从本质上认识、 学习基的乘方的来历。

教师应当鼓励学生自己发现毒的乘方的性质特点( 如底数、指数发生了怎样的变化) 并运用自己的语言进行描述然后再让学生回顾这一性质的得来过程，进一步体会累的意义二、巩固练习:1、1、计算下列各题:(1) (103) 3 (2) [ (3]4 (3) [ ( - 6 ) 3]4(4) (x2) 5 (5) - (a2) 7 (6) - (a， )3(7) (x3) 4 « x2 (8) 2 (x2) 1 1 一 (xn) 2(9) [ (x2) 3]7学生在做练习时，不要鼓励他们直接套用公式，而应让学生说明每•步的运算理由，进一步体会乘方的意义与事的意义2、判断题，错误的予以改正1) a5+a5=2a10 ( )(2) (s3) 3=x6 ( )(3) ( —3) 2. (―3) 4= ( - 3 ) 6=—36 ( )(4) x3+y3= (x+y) 3 ( )(5) [ (m—n) 3]4 -[ (m -n) 2]6=0 ( )学生通过练习巩固刚刚学习的新知识在此基础上加深知识的应用.三、提高练习：1、1、计算 5 (P3) 4 • ( - P2) 3+2[ (- P ) 2]4 • ( - P5) 2[ ( - 1 ) ' ^+ 1->+ 02002_ J ) 19902、若 (x2) n=x8, 则 m=_____________.3、、若 [(x3) mf=xi2,则 m= 一 。

4、若xm・x2m= 2 ,求X%的值5、若 a2n= 3 ,求(a3n) 4 的值6、已知 am=2,an=3,^ a2m+3n 的值.小 结：会进行幕的乘方的运算作 业：课 本P%习 题L7： 1、2、3o《 三级训练》§ 15. 2. 3积的乘方教学目标(-)教学知识点1 .经历探索积的乘方的运算法则的过程，进一步体会界的意义.2 .理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题.(-)能力训练要求1 .在探究积的乘方的运算法则的过程中， 发展推理能力和有条理的表达能力.2 .学习积的乘方的运算法则，提高解决问题的能力.( 三 ) 情感与价值观要求在发展推理能力和有条理的语言、符号表达能力的同时，进一步体会学习数学的兴趣，提高学习数学的信心，感受数学的简洁美.教学重点积的乘务运算法则及其应用.教学难点嘉的运算法则的灵活运用.教学方法自学一引导相结合的方法.同底数累的乘法、暴的乘方、积的乘方成一个体系，研究方法类同，有前两节课做基础，本节课可放手让学生自学，教师引导学生总结，从而让学生真正理解累的运算方法，能解决一些实际问题.教具准备投影片.教学过程I.提出问题，创设情境［ 师］ 还是就上节课开课提出的问题：若已知一个正方体的棱长为L 1 X1 03cm,你能计算出它的体积是多少吗？［ 生］ 它的体积应是V = ( 1 . 1 X 1 03) W.［ 师］ 这个结果是累的乘方形式吗？［ 生］ 不是，底 数 是L1和I O ?的乘积，虽 然1 ( ) 3是幕，但总体来看， 我认为应是积的乘方才有道理.［ 师］ 你分析得很有道理，积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则？ 有前两节课的探究经验，老师想请同学们自己探索，发现其中的奥秒.I I .导入新课老师列出自学提纲，引导学生自主探究、讨论、尝试、归纳.1 .填空， 看看运算过程用到哪些运算律， 从运算结果看能发现什么规律?( 1 ) ( a b ) 2= ( a b ) - ( a b ) = ( a , a ) • ( b , b ) = a()( 2 ) ( a b ) 3 = = = a ( ) b ( )( 3 ) ( a b ) - = = a ，) b ( ) ( n 是正整数)2 .把你发现的规律用文字语言表述, 再用符号语言表达.3 .解决前面提到的正方体体积计算问题.4 .积的乘方的运算法则能否进行逆运算呢？请验证你的想法.5 .完成课本P 1 7 0例3 .出示投影片学生探究的经过：1 . ( 1 ) ( a b ) 2 = ( a b ) , ( a b ) = ( a - a ) - ( b - b ) = a 2 b , 其中第①步是用乘方的意义；第②步是用乘法的交换律和结合律；第③步是用同底数累的乘法 法 则 . 同 样 的 方 法 可 以 算 出(2 )、(3 )题.(2 ) (ab)\ (ab) • (ab) • (ab) = (a, a- a) 1 (b- b- b) = a3b3；(3 ) (ab) n =( a b ) ( a b ) ( a h ) = ( a a n是正整数) .2 . 移动器的存储量单位与文件大小的单位不一致， 所以要先统一单位. 移动存储器的容量为2 6 X 2 % 2 1 6 K . 所以它能存储这种数码照片的数量为21 6^28.［ 生］ 2 艮 2 8 是同底数幕，同底数幕相除如何计算呢？［ 师］ 这正是我们这节课要探究的问题.I I . 导入新课［ 师］ 请同学们做如下运算：1 . ( 1 ) 28X 28 ( 2 ) 52X 53( 3 ) 1 02X I O5 ( 4 ) a3 • a32 . 填空：( 1 ) ( ) - 28= 21 6( 2 ) ( ) • 53= 55( 3 ) ( ) • 1 O5= 1 O7( 4 ) ( ) • a3= a6［ 生］ 1 . ⑴ 28X 28= 21 6( 2 ) 52X 53= 55( 3 ) 1 O2X 1 O5= 1 O7( 4 ) a3 , a3= a62 . 除法与乘法两种运算互逆，要求空内所填数，其实是一种除法运算,所以这四个小题等价于：( 1 ) 2, 64 - 28=( )( 2 ) 554 - 53=( )( 3 ) 1 074 - 1 05=( )(4) a64-a3= ()再根据第1题的运算，我们很容易得到答案：( 1) 28； (2) 52； (3) IO?；(4) a3.［ 师］ 其实我们用除法的意义也可以解决，请同学们思考、讨论.［ 生］(1) 2|64-28(2) 554-53=(3) 1074-105(4) a64-a3=［ 师］ 从上述运算能否发现商与除数、被除数有什么关系？( 学生以小组为单位，展开讨论，教师可深入其中，及时发现问题)［ 生甲］ 我们可以发现同底数基相除，如果还是累的形式，而且这个暴的底数没有改变.［ 生乙］ 指数有所变化.( 1)8=16-8； (2) 2=5-3； (3) 2=7-5； (4) 3=6-3.所以商的指数应该等于被除数的指数减去除数的指数.［ 生丙］ 这说明同底数累的除法与同底数暴的乘法的运算法则类似. 相同之处是底数不变. 不同之处是除法是指数相减，而乘法是指数相加.［ 生丁］ 太对了. 那么同底数基的除法运算法则可以叙述为：同底数累相除， 底数不变，指 数相 减 . 即 ：am^ an=am-n.［ 师］ 同学们总结得很好. 但老师还想提一个问题：对于除法运算， 有没有什么特殊要求呢？［ 生］ 噢，对了，对于除法运算应要求除数( 或分母) 不为零，所以底数不能为零.［ 师］ 下面我们来共同推导同底数塞相除的运算法则：方法一：am4-an= =am'n方法二：根据除法是乘法的逆运算,."a1 1 1''1 , an=am-n+n=am・•・a小 1 -• aj =aci n-n.要求同学们理解着记忆同底数基的除法的运算法则：同底数基相除，底数不变，指数相减.即 :am4-an=am-n (a^O, m, n 都是正整数,并且 m>n)例题讲解：( 出示投影片)1 .计算：(1) X84-X2 (2) a44-a (3) (ab) 54- (ab) 22 .先分别利用除法的意义填空，再 利 用am+an=am-n的方法计算，你能得出什么结论？(1) 324-32= ()(2) 1034-103= ()(3) am4-an= ( ) (aWO)1 .解：( 1) X84-X2=X8'2=X6.(2) a4-j-a=a4 l=a3.(3) (ab) 54- (ab) 2= (ab) 5-2= (ab) 3=a3b3.2 . 解：先用除法的意义计算.324-32=1 1034-103=1 am4-am=l (aWO)再利用am + an=am-n的方法计算.324-32=32-2=3°1034-103=103'3=10°am-?am=am-m=a° (aWO)这样可以总结得a°=l (aWO)于是规定：a°=l (aWO)即：任何不等于0 的数的0 次幕都等于L［ 生］ 这样的话，我们学习的同底数累的除法的运算法则就可以扩展到：am4-an=am-n (a^O, m、n 都是正整数,且 m 2n).［ 师］ 说得有理. 下面请同学们完成一组闯关训练，看哪一组完成得最出色.m. 随堂练习课本P187练习.让学生独立运算，然后交流计算心得，从而达到熟悉运算法则的目的.IV . 课时小结这节课大家利用除法的意义及乘、除互逆的运算，揭示了同底数累的除法的运算规律，并能运用运算法则解决简单的计算问题，积累了一定的数学经验.V . 课后作业1 . 课本P191习题15. 4—1、5 题.2 . 预 习 “ 整式的除法”《 三级训练》板书设计§ 15. 4. 1同底数基的除法一、1. am - an=am+n (m, n 是正整数)2 . 计 算 (1) 28X28 (2) 52X53 (3) 102X 105 (4) a3 • a33 . 填空：( ) ・ 28=216—2164-28= ()二、同底数基的除法运算法则：同底数罂相除，底数不变，指数相减.即 : ara-?an=am-n (a^O, m、n 都是正整数且m 2n)规定：a°=l (aWO)三、应用［ 例 1］( 略) ［ 例 2］( 略)§ 15. 4. 2. 1整式的除法（ 一）教学目标（ -）教学知识点1 .单项式除以单项式的运算法则及其应用.2 .单项式除以单项式的运算算理.（ 二）能力训练要求1 .经历探索单项式除以单项式的运算法则的过程， 会进行单项式与单项式的除法运算.2 .理解单项式与单项式相除的算理，发展有条理的思考及表达能力.（ 三）情感与价值观要求1 .从探索单项式除以单项式的运算法则的过程中，获得成功的体验，积累研究数学问题的经验.2 .提倡多样化的算法，培养学生的创新精神与能力.教学重点单项式原以单项式的运算法则及其应用.教学难点探索单质式与单项式相除的运算法则的过程.教学方法自力 : 执夫有同底薪基的除法的研究基础，学生可以用已有的知识与数学经验，自主探索得出单项式与单项式相除的运算法则，并能用息的语言有条理地表达及应用.教具准备多媒体课件.教学过程I .提出问题，创设情境问题: 木星的质量约是1 . 9 0 X 1 （ ） 2 4 吨. 地球的质量约是5 . 0 8 X 1 （ ） 2 1 吨.你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗？［ 生］ 这是除法运算，木星的质量约为地球质量的（ 1 . 9 0 X 1 0 2 4 ） : （ 5 . 9 8X 1 02 1）倍.继续播放：讨论： （ 1 ） 计算（ 1 . 9 0 X 1 0 2 4 + （ 5 . 9 8 X 1 （） 2 1 ） . 说说你计算的根据是什么？（ 2 ）你能利用（ 1 ）中的方法计算下列各式吗？8 a34 - 2 a ； 5 x3y 4 - 3 x y ； 1 2 a3b2x34 - 3 a b2. （ 3 ）你能根据（ 2 ） 说说单项式除以单项式的运算法则吗？I I .导入新课［ 师］ 观察讨论（ 2 ）中的三个式子是什么样的运算.［ 生］ 这三个式子都是单项式除以单项式的运算.［ 师］ 前一节我们学过同底数累的除法运算， 同学们思考一下可不可以用自己现有的知识和数学方法解决“ 讨论”中的问题呢？( 学生以小组为单位进行探索交流，教师可参与到学生的讨论中，对遇到困难的同学及时予以启发和帮助)讨论结果展示：可以从两方面考虑：1 . 从乘法与除法互为逆运算的角度.( 1 ) 我们可以想象5.98X 1021 • ( ) =1.90X 1()24根据单项式与单项式相乘的运算法则：单项式与单项式相乘，是把它们的系数、相同字母的暴分别相乘，其余字母连同它的指数不变作为积的因式，可以继续联想：所求单项式的系数乘以5.98等 于 1.90,所以所求单项式系数为1.904-5.98^0 .3 1 8 ,所求单项式的幕值部分应包含10244-102 1即 103, 由此可知5.98 X1021 • (0.318X 103) =1.90X1024. 所 以 (1.90X 1024) -? (5.98X1021) =0.38X103.( 2 ) 可以想象2a •( ) =8a3, 根据单项式与单项式相乘的运算法则,可以考虑: 84-2=4, a'4-a=a2 2a , (4a2) =8a3. 所以 8aW2aFa?.同样的道理可以想象3xy • ( ) =6x3y；3ab2 • ( ) =12a3b2x3, 考虑到 6 + 3=2, x34-x=x2, y-j-y=l； 124-3=4,a34-a=a2, b24-b2= l.所以得 3xy • (2x?) =6x?y； 3ab2 ,(4a2x3) =12a3b2x3. 所以 6x3y-j-3xy=2x2； 12a3b2x3 4- 3ab2=4a2x3.2 . 还可以从除法的意义去考虑.(l)( 1.90X 1024) + (5.98X1021) =L90xl0：=剪萼9 318X103.5.98x1()21 5.98 1021/c 、C 3 . C 8优 8(2) 8a3—2a=---- =------ =4a.2a 2 a6x~+3xk 箸=12aW-3ab2= ^ ^ = ^ ^-xMaV.上述两种算法有理有据，所以结果正确.［ 师］ 请大家考虑运算结果与原式的联系.［ 生甲］ 观察上述儿个式子的运算，它们有下列共同特征：( 1)都是单项式除以单项式.( 2 ) 运算结果都是把系数、同底数幕分别相除后作为商的因式； 对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.( 3 ) 单项式相除是在同底数累的除法基础上进行的.［ 生乙］ 其实单项式除以单项式可以分为系数相除；同底数幕相除，只在被除式里含有的字母三部分运算.［ 师］ 同学们总结得很好. 能用很条理的语言描述单项式与单项式相除的运算法则，而且能抓住法则的实质所在，这是数学能力的提高与体现，老师为你们骄傲. 下面我们应用单项式与单项式相除的运算法则解决一些计算问题， 进一步体会运算法则的实质所在.1 .例：计算( 1 ) 2 8 xy4- 7 x3y( 2 ) - 5a 5b 3 c + l 5a 4b( 3 ) ( 2 x2y) 3 • ( - 7 xy2) 4- M x4/( 4) 5 ( 2 a + b ) 44- ( 2 a + b ) 2分析： ( 1 ) 、 ( 2 ) 直接运用单项式除法的运算法则； ( 3 ) 要注意运算顺序:先乘方， 再乘除，再加减；( 4) 鼓励学生悟出：将 ( 2 a + b ) 视为一个整体来进行单项式除以单项式的运算.解 : ( 1 ) 2 8 x4y2- i - 7 x3y=( 2 8 4- 7 ) • X4- 3 • y2 -i= 4xy.( 2 ) - 5a 5b 3 c 2 1 5a 4b= ( - 54- 1 5) a54b3 lc= - - a b2c .3( 3 ) ( 2 x2y) 3 • ( - T xy2) 4- 1 4X4/= 8 x6y3 • ( - 7 xy2) 4- 1 4x4y3= ［ 8 X ( - 7 ) ］ • x^ y^ H - U x4/= ( - 56 4- 1 4) • x7 4 • y5-3= - 4xy.( 4) 5 ( 2 a + b ) 44- ( 2 a + b ) 2=( 54- 1 ) ( 2 a + b ) 4'= 5 ( 2 a + b ) 2= 5 ( 4a2+ 4a b + b2)= 2 0 a2+ 2 0 a b + 5b2m.随堂练习a . 课本P 1 8 9 练习1 、2 .I V . 课时小结1 .单项式的除法法则是.2 .应用单项式除法法则应注意：①系数先相除，把所得的结果作为商的系数，运算过程中注意单项式的系数饱含它前面的符号；②把同底数事相除，所得结果作为商的因式，由于目前只研究整除的情况，所以被除式中某一字母的指数不小于除式中同一字母的指数；③被除式单独有的字母及其指数，作为商的一个因式，不要遗漏；④要注意运算顺序，有乘方要先做乘方，有括号先算括号里的，同级运算从左到右的顺序进行.V . 课后作业1 . 课本 P191 习题 15. 4—2、4、5 题.2 . 预 习 “ 多项式与单项式的除法《 三级训练》§15. 5. 1提公因式法教学目标(-)教学知识点1 . 因式公解、公因式.2 . 用提公因式法分解因式.( 二 ) 能力训练要求1 . 使学生了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系.2 . 了解公因式概念和提取公因式的方法.3 . 会用提取公因式法分解因式.( 三) 情感与价值观要求在探索提公因式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透化归的思想方法.教学重点会用提公因式法分解因式.教学难点如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式.教学方法引导发现法.教具准备投影片.教学过程I . 提出问题，创设情境［ 师］ 请同学们完成下列计算，看谁算得又准又快. (出示投影片)(1) 20X (-3) 2+60X (-3)(2) 1012-992(3) 572+2X57X43+432(学生在运算与交流中积累解题经验，复习乘法公式)［ 生］ 解 : (1) 20X (-3) 2+60X (-3)=20 X 9+60 X-3=1 8 0 - 1 8 0 =0或 2 0 X (- 3 ) 2+ 6 0 X (- 3 )=2 0 X (- 3 ) 2+ 2 0 X 3 X (- 3 )=2 0 X (- 3 ) (- 3 + 3 ) =- 6 0 X 0 =0 .(2 ) 1 0 12- 9 92= (1 0 1 + 9 9 ) (1 0 1 - 9 9 )=2 0 0 X 2 =4 0 0(3 ) 5 72+ 2 X 5 7 X 4 3 + 4 32= (5 7 + 4 3 ) 2 =1 0 () 2=1 0 0 0 0 .［ 师］ 在上述运算中，大家或将数字分解成两个数的乘积，或者逆用乘法公式使运算变得简单易行，类似地，在式的变形中， 有时也需要将一个多项式写成儿个整式的乘积形式，这就是我们从今天开始要探究的内容——因式分解.II.导入新课1 .分析讨论，探究新知.出示投影片把下列多项式写成整式的乘积的形式(1 ) x2+ x =_ _ _ _ _ _ _ _(2 ) x2- l =_ _ _ _ _ _ _ _(3 ) a m + b m + c m =［ 生］ 根据整式乘法和逆向思维原理，可以做如下计算：(1 ) x2+ x =x (x + 1 )(2 ) x2- l = (x + 1 ) (x - 1 )(3 ) a m + b m + c m =m (a + b + c )［ 师］ 像这种把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式.可以看出因式分解是整式乘法的相反方向的变形，所以需要逆向思维.再观察上面 的 第(1 )题 和 第(3 )题，你能发现什么特点.［ 生］ 我 发 现(1 )中各项都有一个公共的因式x , (2 )中各项都有一个公共因式m ,是不是可以叫这些公共因式为各自多项式的公因式呢？［ 师］ 你分析得合情合理.因为 m a + m b + m c =m (a + b + c ) .于是就把m a + m b + m c分解成两个因式乘积的形式， 其中一个因式是各项的公因式m,另一个因式a + b + c是m a + m b + m c除 以m所得的商， 像这种分解因式的方法叫做提公因式法.2 .例题教学，运用新知.出示投影片：［ 例1 ］把8 a 3 b 2 - 1 2 a b 3 c分解因式.［ 例2 ］把2 a (b + c ) - 3 (b + c )分解因式.［ 例3］把3x3-6xy+x分解因式.［ 例4］把-4a3+16a2-18a分解因式.［ 例5］把6 (x-2) +x (2-x)分解因式.(让学生利用提公因式法的定义尝试独立完成，然后与同伴交流解题心得， 教师深入到学生中去发现问题， 并对有困难的学生进行适时的引导和启发，最后师生共同评析、总结)［ 例1］分析：先找出8a3b2与12ab3c的公因式，再提出公因式. 我们看这两项的系数8与12,它们的最大公约数是4 ,两项的字母部分a3b2与ab3c都含有字母a和b.其中a的最低次数是1, b的最低次数是2.我们选定4ab2为要提出的公因式. 提出公因式4ab2后， 另一个因式2a2+3bc就不再有公因式了.解：8a3b2+12ab2c=4ab2 • 2a2+4ab2 « 3bc=4ab2 (2a2+3bc).总结：提取公因式后，要满足另一个因式不再有公因式才行. 可以概括为一句话：括号里面分到“ 底” ，这里的底是不能再分解为止.［ 例2］分析：(b+c)是这两个式子的公因式，可以直接提出. 这就是说,公因式可以是单项式，也可以是多项式，是多项式时应整体考虑直接提出.解：2a (b+c) -3 (b+c) = (b+c) (2a_3).［ 例 3］解 :3x2-6xy+x=x • 3x-x • 6y+x , l=x (3x-6y+l).注意：x (3x-6y+l) =3x2-6xy+x,而 x (3x-6y) =3x2- 6 x y ,所以原多项式因式分解为x (3x-6xy+l)而不是x (3x-6y).这就是说，1作为项的系数，通常可以省略， 但如果单独成一项时， 它在因式分解时不能漏掉， 可以概括为：某项提出莫漏1.［ 例 4］解：-4a3+16a?-18a= - (4a3-16a2+18a)=-2a (2a2-8a+9)注意：如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“ 一”号，使括号内的第一项的系数是正的. 在提出“ 一” 号时， 多项式的各项都要变号. 可以用一句话概括：首项有负常提负.［ 例5］分析：先找6 (x-2)与x (2-x)的公因式，再提取公因式. 因为2-x=- ( x - 2 ) ,所以x-2即公因式.解 :6 (x-2) +x (2-x)=6 (x-2) -x (x-2)= (x-2) (6-x).总结：有时多项式的各项从表面上看没有公因式，但将其中一些项变形后， 但可以发现公因式，然后再提取公因式.m .随堂练习1 .课本P194练习1、2、3.I V .课时小结［ 师］ 今天我们学习了提公因式法分解因式. 同学们在理解的基础上，可以用四句顺口溜来总结记忆用提公因式法分解因式的技巧.各 项 有 “ 公”先 提 “ 公” ，首项有负常提负.某项提出莫漏1.括号里面分到“ 底” .V . 课后作业课本 P198〜 P199 习题 15. 5— 1、4. （ 1） , 6 题.板书设计§15. 5. 1提公因式法一、理解概念1 . 分解因式2 . 公因式3 . 提公因式法二、例题讲解［ 例 1］（ 略 ） ［ 例 2］（ 略）［ 例 3］（ 略 ） ［ 例 4）（ 略）［ 例 5］（ 略 ）三、随堂练习四、小结§ 15. 5. 2. 1 公 式 法 （ 一 ）教学目标（ -）教学知识点运用平方差公式分解因式.（ 二）能力训练要求1 . 能说出平方差公式的特点.2 . 能较熟练地应用平方差公式分解因式.3 . 初步会用提公因式法与公式法分解因式. 并能说出提公因式在这类因式分解中的作用.4 . 知道因式分解的要求：把多项式的每一个因式都分解到不能再分解.（ 三 ）情感与价值观要求培养学生而观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法.教学重点应用平方差公式分解因式.教学难点灵活应用公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求.教学方法自主探索法.教具准备投影片.教学过程I .提出问题，创设情境出示投影片，让学生思考下列问题.问题1 : 你能叙述多项式因式分解的定义吗？问题2 ：运用提公因式法分解因式的步骤是什么？问题3 ：你能将a Z b 2 分解因式吗？你是如何思考的？［ 生］ 1 . 多项式的因式分解其实是整式乘法的逆用， 也就是把一个多项式化成了儿个整式的积的形式.2 . 提公因式法的第一步是观察多项式各项是否有公因式， 如果没有公因式， 就不能使用提公因式法对该多项式进行因式分解.3 . 对不能使用提公因式法分解因式的多项式, 不能说不能进行因式分解.［ 生］ 要 将 a2- b2进行因式分解，可以发现它没有公因式， 不能用提公因式法分解因式，但我们还可以发现这个多项式是两个数的平方差形式，所以用平方差公式可以写成如下形式：a2- b2= ( a + b ) ( a - b ) .［ 师］ 多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因式分解公式，如果被分解的多项式符合公式的条件，就可以直接写出因式分解的结果，这种分解因式的方法称为运用公式法. 今天我们就来学习利用平方差公式分解因式.I I .导入新课［ 师］ 观察平方差公式： a2- b2= (a + b )(a - b )的项、 指数、 符号有什么特点？(让学生分析、讨论、总结，最后得出下列结论)(1 )左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反.(2 )右边是两个多项式的积， 一个因式是两数的和， 另一个因式是这两数的差.(3 )在乘法公式中， “ 平方差” 是计算结果， 而在分解因式， “ 平方差”是得分解因式的多项式.由此可知如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式.出示投影片［ 做下列填空题的作用在于训练学生迅速地把一个单项式写成平方的形式. 也可以对积的乘方、 塞的乘方运算法则给予一定时间的复习， 避免出现4 a 2 = (4 a ) 2这一类错误］填空：(1 ) 4 a 2 = ( ) 2；(2 ) - b2= ( ) 2；9(3 ) 0 . 1 6 a4= ( ) 2；(4 ) 1 . 2 1 a 2 b 2 = ( ) 2；(5 ) 2-X4= ( ) 2；4( 6 ) 5^xy = ( )2.例题解析：出示投影片：［ 例1 ］分解因式(1 ) 4 x 2 - 9 (2 ) (x + p ) 2- (x + q )［ 例2 ］分解因式(1 ) x4- y4 (2 ) a3b - a b可放手让学生独立思考求解，然后师生共同讨论，纠正学生解题中可能发生的错误，并对各种错误进行评析.［ 师生共析］［ 例1 ］⑴4X2- 9 = (2X)2- 31 = (2 r + 3 ) (2X- 3 )! < » * - 比= ； (a + 1 )(a »)i- - - - - -1 1- - - - - - - - -1(2 )G + p ) * - G " )'= ［ C r t p )+ C t + g ) ］ I (r + p ) - (x “)］_ _ $ — — — — j — — — — — 一•a2 - b R = ! (a + b) (a - b) \= (2 r + p + ^ ) (p-q)(教师可以通过多媒体课件演示( 1 )中的2 x , ( 2 )中的x + p相当于平方差公式中的a ； ( 1 )中的3 , ( 2 )中的x + q相当于平方差中的b ,进而说明公式中的a与b可以表示一个数，也可以表示一个单项式，甚至是多项式，渗透换元的思想方法)［ 例2 ］ (1 ) X4 - y 4可以写成(x 2 ) 2一(y 2 ) 2的形式，这样就可以利用平方差公式进行因式分解了. 但分解到( xV) (x2- / )后，部分学生会不继续分解因式， 针对这种情况， 可以回顾因式分解定义后， 让学生理解因式分解的要求是必须进行到多项式的每一个因式都不能再分解为止.( 2 )不能直接利用平方差公式分解因式，但通过观察可以发现a3b - a b有公因式a b ,应先提出公因式，再进一步分解.解：⑴x4- y4=(x2+/) (x2- / )=(x2+ y2) (x + y ) (x - y ).(2 ) a3b - a b = a b (a2- l ) = a b (a + 1 ) (a - 1 ).学生解题中可能发生如下错误：(1 )系数变形时计算错误；(2 )结果不化简；(3 )化简时去括号发生符号错误.最后教师提出：(1 )多项式分解因式的结果要化简：(2 )在化简过程中要正确应用去括号法则，并注意合并同类项.练一练：(出示投影片)把下列各式分解因式(1) 3 6 (x + y ) 2- 4 9 (x - y ) 2(2) (x - 1) + b2 (1- x )(3 ) (x2+ x + l ) 2- l⑷ a -》 _ ( x + »4 4 -m.随堂练习1. 课本P 19 6 练习1、2.I V .课时小结1 . 如果多项式各项含有公因式，则第一步是提出这个公因式.2 .如果多项式各项没有公因式，则第一步考虑用公式分解因式.3 .第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解， 则需要进一步分解因式. 直到每个多项式因式都不能分解为止.V .课后作业1 .课本P 19 8 习题15 . 5 —2、7 题.2 .预 习 “ 用完全平方公式分解因式” .《 三级训练》板书设计§ 15. 5. 2. 1 公式法（ 一）一、1 . 复习提公因式法分解因式.2. 将 a2-b2分解因式.用平方差公式分解因式: a2-b2= （ a+b） （ a-b）二、例题讲解［ 例 1］ （ 1）4x2-9 = (2x)2 -32 = (2r+3) (2x-3):a? - Z)2'=»(a +A )(a-i)<'一 一 一 一 」(2)tx+p)2 - Cctg)2=[ tr+p)+G均 )][(x+p)- (x+g)]♦ ♦ ♦ ♦ f £\a2 - b2i (a + b) (a - 6 ) [j■ 一 ・一 一 」i 一 一 一 一 一 一 一 一 一 ・ 一 一 ・ 一 ・ 一 一 一 一 」= (2x+p+q) (p-q)[ 例2]略三、小结：(略)§ 15. 5. 3. 2 公式法（ 二）教学目标（ -）教学知识点用完全平方公式分解因式（ 二）能力训练要求1 . 理解完全平方公式的特点.2 . 能较熟悉地运用完全平方公式分解因式.3 . 会用提公因式、完全平方公式分解因式， 并能说出提公因式在这类因式分解中的作用.4 . 能灵活应用提公因式法、公式法分解因式.（ 三）情感与价值观要求通过综合运用提公因式法，完全平方公式分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力. 通过知识结构图培养学生归纳总结的能力.教学重点用完全平方公式分解因式.教学难点灵活应向公式分解因式.教学方法探究与讲练相结合的方法.教具准备投影片.教学过程I . 提出问题，创设情境问题1 :根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法， 分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？问题2：把下列各式分解因式.(1) a2+2ab+b2(2) a2-2ab+b2［ 生］ 将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式. 同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式.［ 师］ 能不能用语言叙述呢？［ 生］ 能. 两个数的平方和，加上(或减去)这两数的积的2 倍， 等于这两个数的和(或差)的平方.问题2 其实就是完全平方公式的符号表示. 即：a?+2ab+b2= (a+b) 2,a2-2ab+b2 (a-b) 2.［ 师］ 今天我们就来研究用完全平方公式分解因式.I I . 导入新课出示投影片下列各式是不是完全平方式？(1) a2-4a+4(2) x2+4x+4y2(3) 4a2+2ab+-b24(4) a2-ab+b2(5) X2-6X-9(6) a2+a+0.25(放手让学生讨论，达到熟悉公式结构特征的目的).结果：(1) a2-4a+4=a2-2X2 - a+22= (a-2) 2(3) 4a2+2ab+-b2= (2a) 2+2X2a - -b+ ( - b ) 2= (2a+-b) 24 2 2 2(6) a2+a+0.25=a2+2 • a • 0.5+0.52= (a+0.5) 2(2)、(4)、( 5 ) 都不是.方法总结：分解因式的完全平方公式，左边是一个二次三项式，其中有两个数的平方和还有这两个数的积的2倍或这两个数的积的2倍的相反数，符合这些特征，就可以化成右边的两数和( 或差 ) 的平方. 从而达到因式分解的目的.例题解析出示投影片［ 例 1］ 分解因式：(1) 1 6X2+24X+9 (2) -x2+4xy-4y2［ 例 2］ 分解因式：(1) 3ax2+6axy+3ay2 (2) (a+b) 2-12 (a+b) +36学生有前一节学习公式法的经验，可以让学生尝试独立完成，然后与同伴交流、总结解题经验.［ 例 1］ ( 1 )分析：在( 1 )中，16x2=(4x) 2 , 9=32 , 24x=2 ・4 x・3 ,所以16x2+14x+9是一个完全平方式，即16rz+2叔+ 9=(奴＞ +2 ・ 4x • 3 + 32at2 I t lt2+ 2 • a • b+b解 :(1) 16X2+24X+9=(4x) 2+2 • 4x • 3+32=(4x+3) 2.(2 )分析：在(2 )中两个平方项前有负号，所以应考虑添括号法则将负号提出，然后再考虑完全平方公式，因为4 / = (2y) 2 , 4xy=2 - x - 2y.所以：* + 的 - 即 2 =- -4j1y+4y2)=-Lr2 -2 • x • 2y+(2y)2 ］aH2it t2-2 *a • b+ b解：-x2+4xy-4y2=- (x2-4xy+4y2)=-［X2-2 • x - 2y+ (2y) ］2= - (x-2y) 2.练一练：出示投影片把下列多项式分解因式：(1) 6a-a2-9；(2) -8ab-16a2-b2；(3) 2a2-a3-a；(4) 4X2+20 (X-X2) +25 (1-x) 2m.随堂练习课 本P 1 9 8练 习1、2 .I V .课时小结学习因式分解内容后， 你有什么收获， 能将前后知识联系， 做个总结吗？（ 引导学生回顾本大节内容，梳理知识，培养学生的总结归纳能力，最后出示投影片，给出分解因式的知识框架图，使学生对这部分知识有一个清晰的了解）因式分解整式乘法V .课后作业课本 P 1 9 8 练习 1 5 . 5 —3、5、8、9、1 0 题.《 三级训练》板书设计§ 1 5 . 5 . 3 . 2 公 式 法 （ 二 ）一、用完全平方公式分解因式.分解因式f 公式法f a2 ±2 ab + t ）2 （ a2±b2）- 多项式乘多项式一整式乘法，两数平方和加（ 或减）两数积的2倍 = 两 数 和 （ 或差）的平方.二、例题解析：［ 例1 ］（ 略） ［ 例2 ］（ 略）三、练 一 练 : ⑴ 、（ 2 ）、（ 3 ）、（ 4 ） .四、小结。