板块一 六大核心素养引领二轮复习数学学科核心素养培养目标为用数学的眼光观察世界，发展数学抽象、直观想象素养（一般性）; 用数学的思维分析世界、发展逻辑推理、数学运算素养（严谨性）；用数学的语言表达世界，发展 数学建模、数据分析素养（应用性）.数学核心素养高于具体的数学知识技能，具有综合性、整体性和持久性，反映数学本质与数学思想. 数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现二轮复习中如果能自觉渗透数学思想，加强个 人数学素养的培养，就会在复习中高屋建令瓦，对整体复习效果起到引领和导向作用.一、数学抽象、直观想象 用数学的眼光观察世界 素养1 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程.例1 （1）如图表示的是一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km 的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：① 骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晚到1 h；② 骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动;③ 骑摩托车者在出发1・5 h后追上了骑自行车者；④ 骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样.其中，正确信息的序号是 答案 ①②③解析看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速 运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确； 两条曲线的交点的横坐标对应着4.5,故③正确，④错误.(2)某楼梯共有11 级，每步可走一级或二级，走完这11级楼梯共有多少种不同的走法？ 解 楼梯共有 11 级，数值比较大，可以先考虑简单情形．楼梯共有：1级、2级、3级、4级、5级、•… 从特殊的情境里发现规律楼梯级数12345• • •11走法种数12358• • •?从上面的走法种数1,2,3,5,，8 …可以发现：前两个走法种数之和是下一个走法种数．于是，容易推算出：走完这11 级楼梯，共有144 种不同的走法．。
拓展训练1．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率P与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p=at2 + bt + c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )0.8 诗07—11”1d 3 4 5/C ．4.00分钟 D ．4.25分钟答案 B解析 根据图表，把t P)的三组数据(3,0.7) (4,0.8) (5,0.5分别代入函数关系式,0. 7=9a + 3b + c,联立方程组得0.8=16 a+ 4b+c,0.5=25 a+5b+c，7 a+b =0.1， 消去C化简得9a + b = -0.3,a=－0.2，解得 b=1.5，c=－2.45 1 15^16-2 = -5 t_ 41316,1 15 225所以 p =-0.2t2 + 山-2 = -5 t2 -孑+詰15所以当t=〒 = 3.75时,p 取得最大值，即最佳加工时间为 3.75 分钟．2 ．甲、乙两种食物的维生素含量如下表：维生素A(单位/kg)维生素B (单位/kg)甲35乙42分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素A, B的含量分别不低于100,120个单位，则混合物重量的最小值为 kg.答案 30解析 设甲食物重x kg，乙食物重y kg,•・A , B的含量分别不低于100,120个单位,3x + 4y>L00 ,.・.5x + 2y>L20,x», y»,3x + 4y=100 , x = 20,由得5x＋2y=120, y=10,.•A (20,10),混合物重z = x + y,平移直线z = x + y,由图知，当直线过A(20,10)时,素养 2 直观想象是指借助几何直观形象和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的 思想过程.例2 (1)如图，点列｛An｝，优｝分别在某锐角的两边上，且|AnAn + J=|An + iAn + 2|, An^An+2, n^N*, BnBn + 1l=lBn + 1Bn+2l，Bn#n + 2, n&N*(P廉 表示点 P 与点 Q 不重合).若 dn =|A B |，S 为心 B Bn n n n n n+1的面积，则（)B\ Bz B：\ …Bn B“+iA.{Sn}是等差数列C.{dn}是等差数列答案 AB. {Sn}是等差数列D.{dn}是等差数列解析作AiCi，A2C2, A3C3, •…，AnCn垂直于直线BiBn，垂足分别为C. C2, C3, •…,Cn，则A*】 〃A2C2//・・・瞪5・\e|A A |= |A A |,n n+1 n+1 n+2•••IC C |=|C C |.n n+1 n+1 n+2设 |A1Ci | = a, |A2C2 | =b, |BiB2 | = c,则 |A3C3| = 2b—a,…，|AnCn |= (n — 1)b — (n — 2)a(n^3), n = 1 和 n = 2 时也符合.i• =-c[ n — 1)b — (n —2)a] n21=2c[b—a)n+(2a—b )],1/Sn + 1 -Sn=2c[b - a) n + 1) + (2a — b)— (b —a)n — (2a-b)]=—c (b — a),2・•・数列｛Sn｝是等差数列.（2）在棱长为1的正方体ABCD —A1B1C1D】中，M , N分别是AC】，的中点•点P在该 正方体的表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于（） A.\；；5 + 1 +2C. 2飞馬 + 1 D . 2\：'5+2答案 B解析如图，取BB ］的中点E, CC］的中点F,连接AE, EF, FD ,则BN丄平面AEFD .设M在平面ABB 1A ］中的射影为0,过M0与平面AEFD平行的平面为a・•・能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹为矩形，其周长与矩形AEFD的周长相等,丁正方体ABCD —A 1B1C1D ］的棱长为1,・•矩形AEFD的周长为、5+2.。
拓展训练3.“牟合方盖”（如图 1）是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似 两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.其直观图如图 2 所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，其实际直观图中四边形不存在，当其正（主）视图和侧（左）视图完全相同时，它的正（主）视图和俯视图分别可能是（ ）bedA．a，b B．a，c C．c，b D ．b，d答案 A解析 当正（主）视图和侧（左）视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，正（主）视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且两条对角线为实线，故选A.4.（2018 •匕京）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A ．1B.2 C.3 D .4答案解析由三视图得到空间几何体，如图所示，则PA丄平面ABCD，平面ABCD为直角梯形，PA=AB=AD =2, BC =1,所 以 PA 丄AD , PA丄 AB, PA丄BC.又 BC 丄AB , AB 吓A =A,AB ,PA 平面 PAB , 所以BC丄平面PAB .又 PB 平面 PAB ,所以BC丄PB.在/PCD 中，PD =2、」2, PC =3, CD =-•...；'5,所以ZPCD为锐角三角形.所以侧面中的直角三角形^ZPAB，/PAD，/PBC，共3个•故选C.二、逻辑推理、数学运算用数学的思维分析世界素养 3 逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.例3 (1)2018•匕京)设a，b均为单位向量，则“ |a — 3b |=|3a+b ”是“a丄匕”的()A ．充分不必要条件B.必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 由 la — 3b |= |3a + b |,得(a— 3b)2 =(力+b)2,即卩 a2 + 9b2 —6a b =9a2 + b2 +6a b.又a, b均为单位向量，所以a2=b2 = 1,所以 a b =0,能推出a丄b.由 a丄b 得|a — 3b| =、J10,|3a + b| = -J10,能推出|a — 3b |= 13a, +b |.所以“ |a — 3b | = | 3a+b ”是“a丄b”的充要条件.故选 C.(2)记I为虚数集，设a, bfR, x, y€I贝吓列类比所得的结论正确的 填序号)① 由a・€R,类比得x*I；② 由a2»，类比得X2»；③ 由(a + b)2 =a2 +2ab +b2,类比得(x + y)2 =x? +2xy+ y?;④ 由 a + b>0 , a> —b，类比得 x + y>0 , x> —y.答案 ③解析①由a • €R ,不能类比得x •E1,如x = y = i则xy=-l 1故①不正确;② 由a2》0，不能类比得x2》0.如x=i则x2<0，故②不正确;③ 由（a + b）2=a2+2ab+b2,可类比得（x + y）2=x2 +2xy + y2，故③正确;④ 若x，yEI当x = 1 +i，y=-i时，x + y>0，但x，y是两个虚数，不能比较大小，故④ 错误．故4个结论中，③正确.。
拓展训练5．已知从2开始的连续偶数蛇形排列成宝塔形的数表，第一行为2，第二行为4,6，第三行为12,10,8，第四行为14,16,18,20，…，如图所示，在该数表中位于第i行、第j列的数记为吋答案72如 a32 = 10， a54 = 24.若哲打2 018，则 i+j=解析第1行有1个偶数，第2行有2个偶数，…，第n行有n个偶数，则前n行共有1n（n＋1）+ 2+3+・・・+n= 一个）偶数，2 018在从2开始的偶数中排在第1 009位,n（n＋1）所以一2—>1 009，所以 n>45.44（44＋1）当n =44时，第44行第44个偶数为一x2 = 1 980，所以第44行结束时最右边的偶数为1 980.由题意得2 018排在第45行的第27位，所以 i+j=45 +27 =72.6•甲、乙、丙三位同学被问到是否参加了学校组织的A，B，C三个活动兴趣小组时,甲说：我参加的兴趣小组比乙多，但没参加过A兴趣小组；乙说：我没参加过B兴趣小组； 丙说：我们三人参加了同一个兴趣小组.由此可判断乙参加的兴趣小组为 ．答案 C解析 丁三人参加了同一个兴趣小组，乙不参加B,甲不参加A,・•・三人共同参加的小组只有C,又•・•甲参加的兴趣小组比乙多，甲不参加A・•・甲参加两个兴趣小组，乙参加一个小组，・甲参加B和C，•・乙参加的兴趣小组是C -素养 4 数学运算是指在明晰运算对象的基础上依据运算。