学程考研数学辅导——多重积分的坐标变换

多重积分的坐标变换 （一） 多重积分的坐标变换公式 1、 二重积分的情形 在多重积分的学习复习中，很多人只会求积分区域为一个以原点为圆心的圆形区域或者球 形区域，对于椭圆区域、椭球区域、正方形区域、三角区域等的计算并不理解下面我们 从最简单的开始，逐步解决大家的问题 大家注意到同济六版的高数课本下册第 149 页的定理 3 给出了一个坐标变换公式，实际上 这个公式有一种更广泛的情形，陈述如下：设二元函数在区域连续，则在计算二重积分时，可以利用( , )f x yD( , )Df x y d坐标变换的方式进行计算设坐标变换为，并且，和( , )( , )xx u vyy u v ( , )xx u v都存在反函数，则原来的二重积分可以化为( , )yy u v( , )( , )uu x yvv x y ，'( , )( ( , ), ( , ))'DDf x y df x u vy u vJdg其中是区域进行坐标变换之后得到的区域，是雅各比行列式，'DD( , )( , )xx u vyy u v J即 , ) ( , )xx x yuvJyyu v uv  证明在这里省略。

对于一般的极坐标变换，雅各比行列式恰好为，此时上述公式就是cos sinxr yr  r149 页的定理 3 2、 三重积分的情形 和二重积分类似地，三重积分的坐标变换公式我们总结如下，仍然不给出证明，其中所陈 述的部分条件已经超纲，不需要我们掌握其来源，对于下述的条件我们在一般遇到的题目 中直接承认即可设三元函数在区域连续，则在计算三重积分时，( , , )f x y zD( , , )Df x y z dxdydz可以利用坐标变换的方式进行计算设坐标变换为，并且，( , , ) ( , , ) ( , , )xx u v w yy u v w zz u v w  、和都存在反函数，则原来( , , )xx u v w( , . )yy u v w( , , )zz u v w( , , ) ( , , )( , , )uu x y z vv x y zww x y z  的三重积分可以化为，'( , , )( ( , , ), ( , , ), ( , , ))DDf x y z dxdydzf x u v w y u v w z u v wJdudvdwg其中是区域进行坐标变换之后得到的区域，是雅各比行列'DD( , , ) ( , , ) ( , , )xx u v w yy u v w zz u v w  J式，即( , , ) ( , , )xxx uvw x y zyyyJu v wuvw zzz uvw    证明从略。

根据上面比的公式再做柱坐标变换和球坐标变换的时候多出来的一 部分就是那个雅各比行列式 （二）多重积分坐标变换后的新区域的确定 这里我们只讨论二重积分的情形，三重积分的情形是类似的下面我们看两类 常考到的区域例题：把积分化成极坐标形式的二次积分，其中积分区域 D 分别为( , )Df x y dxdy222222222(1){( , )|}(0)(2){( , )|2 }(3){( , )|}(0) (4){( , )|01,01}x yxyaax yxyxx yaxybab x yyxx  解：（1）最一般的情形，作极坐标变换，原来的二重积分化为cos sinxr yr  200( cos , sin )rdf rrrdr（2）化成圆形区域，作极坐标变换，原来的二重积分化22(1)1xy1cos sinxr yr   为2100(1cos , sin )dfrrrdr（3）这是一个圆环区域，半径变化，作极坐标变换，原来的二重积分化为cos sinxr yr  20( cos , sin )badf rrrdr（4）作极坐标变换，由区域 D 是由 x 轴、y 轴以及直线 x+y=1 确定。

两个关cossinxryr 系式可得所以由三角形区域可知，由两个关系式可得0sin1cos 0cos1rr r   02，进一步，原来的二重积分化为11 sincoscosr1 2cos 10sincos( cos , sin )df rrrdr 。