科学出版社第六章利用微元法解决利用微元法解决: 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分的应用 科学出版社第一节微元法 一、很多实际问题归结为定积分问题一、很多实际问题归结为定积分问题二二 、微元法、微元法 第六六章 科学出版社的方法求出一、很多实际问题归结为定积分问题一、很多实际问题归结为定积分问题1) 如果所求量 F 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有2) F 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过“分割，近似，取极限分割，近似，取极限”有关的一个整体量 ;这样就归结为求 f 定积分: 科学出版社二二 、微元法、微元法第一步第一步内的近似值：第二步第二步的精确值，这种分析方法称为微元法第二节 称为所求量 F 的微元.微元法在几何和物理中有很多应用.即 f 的积分表达式：用“分割、近似”的方法求出 F 在将微元从 a 到 b 进行“ 无限累加 ”，得出 F(或元素法). 科学出版社第二节一、一、 直角坐标系下的面积公式直角坐标系下的面积公式二、二、 极坐标系下的面积公式极坐标系下的面积公式平面图形的面积 第六六章 科学出版社一、直角坐标系下的面积公式一、直角坐标系下的面积公式设两条连续曲线与所围成的曲边梯形面积为 A ,在[a, b]上任取小区间及直线上的面积微元是：则在所求面积是： 科学出版社若平面图形由连续曲线与围成,则在[c, d]上任取小区间及直线得到面微元所求面积是： 科学出版社例例1. 在第一象限所围图形的面积 . 解解: 由得交点因此，计算两条抛物线 科学出版社例例2. 与直线的面积 . 解解:得交点所围图形为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有计算抛物线由 科学出版社例例3. 解解: 所围图形的面积 . 有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当 a = b 时得圆面积公式求椭圆利用对称性 , 科学出版社例例4. 的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .解解:求由摆线 科学出版社二、二、 极坐标系下的面积公式极坐标系下的面积公式求由曲线及围成的曲边扇形的面积 .在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为设 科学出版社心形线 例例5. 所围图形的面积 . 解解:(利用对称性)计算心形线 科学出版社例例6. 与圆所围图形的面积 . 解解:所求面积计算心形线利用对称性 , 科学出版社例例7. 所围图形面积 . 解解:则所求面积为如何 用定积分表示该双纽线与圆所围公共部分的面积 ？答案答案:求双纽线利用对称性 , 。