第十章 曲线积分与曲面积分一、教学目标及 根本要求：1、理解二类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系2、会计算两类曲线积分3、掌握〔Green〕公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件4、了解两类曲面积分的概念及高斯〔Grass〕公式和斯托克斯〔Stokes〕公式并会计算两类曲面积分5、了解通量，散度，旋度的概念及其计算方法6、会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量〔如曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、功、流量等〕二、教学内容及学时分配：第一节 对弧长的曲线积分 2学时第二节 对坐标的曲线积分 2学时第三节 格林公式及其应用 2学时 习题课 2学时第四节 对面积的曲面积分 2学时第五节 对坐标的曲面积分 2学时第六节 高斯公式 通量与散度 2学时第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 2学时 习题课 2学时三、教学内容的重点及难点：1、二类曲线积分的概念及其计算方法2、二类曲面积分的概念及其计算方法3、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式4、曲线积分及曲面积分的物理应用和几何应用也是本章重点。
5、两类曲线积分的关系和区别6、两类曲面积分的关系和区别7、曲线积分和曲面积分的物理应用及几何应用第一节 对弧长的曲线积分一、内容要点由例子引入对弧长的曲线积分的定义给出性质，然后介绍将对弧长的曲线积分化为定积分的计算方法1、引例：求曲线形构件的质量最后举例稳固计算方法的掌握2、为第一类曲线积分，其中为曲线，被积函数中的点位于曲线上，即必须满足对应的方程，是弧微分、弧长元素假设是封闭曲线，则第一类曲线积分记为3、第一类曲线积分的应用：1〕、曲线的长s=2〕、假设空间曲线形物体的线密度为，，则其质量M;质心坐标为，其中;对x轴的转动惯量4、第一类曲线积分的计算方法：假设空间曲线参数方程为：， ，则，=例1 计算，其中：，，，解 因为==，,所以例2 ，其中为球面与平面的交线；解 的参数方程为，，，根据对称性得到=例3 计算，其中 解 :,, 或解：被积函数中的点位于曲线上，即必须满足对应的方程 ，所以，==二、教学要求和注意点1、理解对弧长的曲线积分的概念，了解对弧长的曲线积分的性质 2、掌握计算对弧长的曲线积分的方法3、对弧长的曲线积分与曲线方向无关，化弧长的曲线积分为定积分时，定积分的上限不能比下限小。
三、教学设计与安排〔包含于上面〕四、作业 同步训练习题一．第一型曲线积分的概念和性质1．金属曲线的质量设有金属曲线L〔如图9－1〕，L上各点的密度为二元连续函数ρ＝ρ〔ｘ，ｙ〕，求这曲线的质量把L分成n个小弧段：Δs，Δs，…，Δs，其中Δs〔i=1,2,…n〕也表示这些小弧段的长度在Δs上任取一点〔ξ，η〕，由于线密度函数是连续的，因此当Δs很小时，Δs的质量∆m便可近似地表示为：∆m≈ρ〔ξ，η〕Δs，于是整个金属曲线地质量近似于M≈ρ(ξ，η)Δs.记λ＝{Δs},令λ0取上式和式的极限，得M＝ρ(ξ，η)Δs.2．第一型曲线积分〔对弧长的曲线积分〕的定义定义：设L为xoy平面内的曲线弧，是L上的有界函数,把L分成n个小弧段: Δs，Δs，…，Δs，其中Δs〔i=1,2,…n〕也表示第i个小弧段的弧长. 记λ＝{Δs},在每个小弧段Δs上任取一点〔ξ，η〕,作和式Δs,如和式极限Δs存在,且极限值与L的分法和点〔ξ，η〕在Δs上的取法无关,则称此极限值为函数ƒ(x,y)在曲线L上的第一型曲线积分或称为对弧长的线积分,记作,即=Δs称为被积函数,L为积分曲线弧.注1:同前面一样,并非任一个函数在L上的对弧长的曲线积分都是存在的.但假设在L上连续,则其积分是存在的.故以后在不作特别说明的情况下,总假定在L上连续.注2:显然物体M的质量为:M=注3:类似地,我们可定义对于空间曲线弧的曲线积分: =注4:假设L为闭曲线,则在L上的对弧长的曲线积分记为性质1.假设(i=1,2…n)存在,C (i=1,2,…n)为常数,则=性质2:如按段光滑曲线L由曲线L,L,…,L首尾相接而成,且 (i=1,2,…n)都存在,则=性质3:假设,都存在,且在L上,则性质4:假设存在,则也存在,且有性质5:假设存在,L的弧长为S,则存在常数C,使得=CS二.第一型曲线积分的计算法我们可应用以下定理将第一型曲线积分转化为定积分来计算:定理:设曲线L的方程为:,,,其中,在上具有连续的一阶导数, 为L上的连续函数,则有=证:详细的证明书上有,大家自己看,现在我们从另外一方面来说明这个问题:我们用来表示L上的以为取值区间所对应局部的弧长,则有=.两边求微分,得 进而: 又当在L上变化时,相应地在上取值,故= . (注:并非严格的证明)注1:假设L的方程为,则= 假设L的方程为,,则= 2:假设空间曲线的方程为: ,,,.则有= 3:定理.注1.2中的定积分的上下限,一定满足:下限上限.这是因为,在这里的L(或)是无向曲线弧段,因而单从L的端点看不出上下限终究是什么.这就要从L(或)的方程的形式来考虑.又>0>0从而当很小时,>0.此时假设视为L上某一段弧的弧长,应有>0>0.这说明此时的变化是由小到大的.而这里正是的一般形状,故下限上限.[例1]: 设L是半园周: 0. 计算解: ===[例2]: 设为球面被平面所截的圆周,计算.解:根据对称性知 =====的弧长==第二节 对坐标的曲线积分一、内容要点引例：变力沿曲线所作的功由例子引入对坐标的曲线积分的定义，给出性质然后介绍将对坐标的曲线积分化为定积分的计算方法，并强调指出两类曲线积分化为定积分的计算方法，最后举例稳固计算方法的掌握。
一、为第二类曲线积分，其中是一条定向曲线，为向量值函数，为定向弧长元素〔有向曲线元〕假设曲线的参数方程为：，则切向量，单位切向量弧长元素=定向弧长元素= =====上面的等式说明第二类曲线积分可以化为为第一类曲线积分例1 把第二类曲线积分化成第一类曲线积分，其中为从点到点的直线段解 方向向量，其方向余弦，原式==例2.把第二类曲线积分化成第一类曲线积分，其中为从点沿上半圆周到点解 的参数方程为，切向量其方向余弦，，==二、第二类曲线积分的应用：假设一质点从点A沿光滑曲线〔或分断光滑曲线〕移动到点B，在移动过程中，这质点受到力，则该力所作的功W==三、第二类曲线积分的计算方法：1、假设空间定向曲线的参数方程，则=2、假设平面定向曲线的参数方程：，则=例1 计算，其中为曲线上从到的一段弧解 ==例2 计算曲线积分，其中是曲线 从轴正向看去，取顺时针方向分析 先写出曲线的参数方程，可令，，则，为参数，由题设，的起点、终点对应的参数值分别为和0；在代入计算公式解 曲线的参数方程为 ，，，，于是原式．二、教学要求和注意点1、二类曲线积分的定义及计算方法，并讲清楚它们的联系和区别。
2、曲线积分与二重积分由格林公式联系起来，并由此得出结果——可用曲线积分计算平面图形的面积在本章的讲述中，应提醒学生注意：1、对坐标的曲线积分与曲线方向有关2、求曲线型构件的质量转动惯量，长度及重心坐标用对弧长的曲线积分；求变力沿曲线所作的功用对坐标的曲线积分三、作业 同步训练习题这里讲的是曲线积分的另一种形式.假设一质点受力=i+j的作用沿平面曲线L运动,求当质点从L的一端点A移动到另一端点B时,力所做的功W.(这里假设,在L上连续)首先,对有向曲线L作分割:用点M,M,…,M与M=A,M=B将L分成n个小段(i=1,2…n).以表示其弧长.记该分割的细度为λ＝{Δs},当很小时,有向的小弧段可用有向的直线段来代替: =i+j,其中=,=.而,分别为M与M点的坐标.又在上任取一点〔ξ，η〕.当很小时,由于,在L上连续,故可用在〔ξ，η〕点处的力=i+j来近似代替上其它各点的力,因此变力在小弧段上所作的功,就近似地等于常力沿所做的功.故有.=+所以 W= .且当时,有W=.2.第二型曲线积分(对坐标的曲线积分)的定义定义:设L是面上从点A到点B的有向光滑曲线, ,在L上有界,把L分成n个小弧段Δs，Δs，…，Δs，其中Δs〔i=1,2,…n〕也表示第i个小弧段的弧长.在Δs(i=1,2,…n)上任取一点〔ξ，η〕,做和式,其中和是分别在轴和轴上的投影.记λ＝{Δs},如果极限存在,且极限值与L的分法及点〔ξ，η〕在Δs上的取法无关,则称此极限值为函数,在有向曲线弧L上的第二型曲线积分或对坐标的曲面积分,记作即有: =,其中,称为被积函数,L称为积分曲线弧.同理,当,都在L上连续时,上述积分才存在.故今后总假定,在L上连续注1: 完全可以类似地扩到空间曲线上,得2: 当L为封闭曲线时,常记为: 3:这两类线积分,除了形式上不同之外,还有一关键性区别在于:第一类线积分与L的方向无关,而第二类线积分与L的方向有关.(下见性质2)性质1:假设L由有限有向曲线弧组成,例如L=L+L,则=+性质2:设–L是L的反向曲线弧,则=一. 第二型曲线积分的计算法同前面一样,我们可以将对坐标的曲线积分转化为定积分来计算,有以下定理:定理: ,在有向曲线弧L上连续,L的方程为: ,. 当由变动到时,对应L上的动点从L的起点A变到终点B,,在上连续且不全为零,则= (证明略)注1:假设L的方程为,在a ,b之间.且x=a且x=b分别为L的起点和终点,则有=同理,假设L的方程为,也有类似的结果.2:设空间曲线的方程为: ,,,,且,分别对应于的起点和终点,则有 =3:定理及注1,2中的定积分的上下限分别时参数所对应的参数值,起点对应的值为下限,终点对应的值为上限.[例3] 计算.其中L为抛物线上的点A(-1,1)到B(4,-2)的一段.解法一:由题知L的方程为 , 从-1到-2,故 ====解法二: L的方程可写为, 从1到4 ====[例4] 求在力的作用下: (1) 质点由点A(a,0,0)沿螺旋线L到点B(0,0,2πb)所作的功. L:, , (2) 质点由A(a,0,0)沿直线L到点B(0,0,2πb)所作的功. 解: W==(1) W=== (2) L: x=a, y=0,z=t (0≤t≤2πb) 则W===.二. 两类线积分之间的关系直到现在为止,我们已学过两种曲线积分: 和.两者都是转化为定积分计算.那么两者有何联系呢?这两种曲线积分来源于不同的物理原型,有着不同的特性,但在一定的条件下,我们可建设它们之间的联系.设有向曲线弧L表示成以弧长s为参数的参数方程: x=x(s),y=y(s), 0≤s≤ℓ,这里L由点A到点B的方向就是s增大的方向.又设α,β依次为从x轴。