第 24 章 《圆》整章知识点归纳第一节 圆的有关性质知识点一：圆的定义1、 圆可以看作是到定点（圆心 O）的距离等于定长（半径 r）的点的集合 .2、圆的特征（ 1）圆上各点到定点（圆心 O）的距离都等于定长（半径） .（ 2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.注意：（1）圆指的是圆周，即一条封闭的曲线，而不是圆面 .（2） “圆上的点 ”指圆周上的点，圆心不在圆周上 .知识点二：圆的相关概念1、弦与直径： 连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径 .注意 ：直径是过圆心的弦，凡是直径都是弦，但弦不一定是直径 . 因此，在提到到“弦”时，如果没有特殊说明，不要忘记直径这种特殊的弦 .2、弧、半圆、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.大于半圆的弧（用三个点表示）叫优弧；小于半圆的弧叫做劣弧．如劣弧AB ，优弧 ACBAB注意： 半圆是弧，但弧不一定是半圆.半圆既不是优弧，也不是劣弧 .O．．．．．．．．．．．．．C3、等圆： 能够重合的两个圆叫做等圆 .4、等弧： 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 .注意： 等弧的长度相等，但长度相等的弧不一定是等弧 .知识点三：圆的对称性1、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线 都是圆的对称轴 .．．．．．．．注意：（ 1）圆的对称轴有无数条（ 2）因为直径是弦，弦是线段，而对称轴是直线，所以不能说 “圆的对称轴是直径 ”，而应该说 “圆的对称轴是直径所在的直线”或说成 “圆的对称轴是经过圆心的直线”.2、圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心，不仅如此，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合（圆的旋转不变性）.A知识点四：垂径定理及推论（重点）、垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧如图，AB是⊙ O的O1.EC直径，CD 是⊙ O 的弦，AB 交 CD 于点 E，若 AB⊥ CD ，则 CE=DE ，CB = DB，AC = ADDB注意：（1）这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是 “过圆心 ”.（ 2）垂径定理中的 “弦 ”为直径时，结论仍成立 .2、垂径定理的推论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.如图 1：CD 是非直径的弦， AB 是直径，若 CE =DE，则 AB⊥ CD ， CB=DB ，AC=AD.注意： 被平分的弦不是直径，因为直径是弦，两直径互相平分，结论就不成立，如图2直径 AB 平分 CD ，但 AB 不垂直于CD .ADOAOEDCBB重点剖析C图 1图 2(1) 垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了思考方法和理论依据 .(2) 一条直线如果具有：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（被平分的弦不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧，这五条中的任意两条性质， 那么即可推出其它三条性质（知二得三） .即：① AB 是直径②AB CD ③CE DE ④BC=BD⑤ AC=AD中任意 2个条件推出其他 3个结论 .知识点五：弧、弦、圆心角之间的关系（重点、难点）D1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，O所对的弧也相等 .如图，在⊙ O 中，若∠ AOB=∠ COD ，则 AB=CD， AB=CD .CAB2、推论：（ 1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等 .（ 2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等 .定理和推论可概括为：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等.（圆心角、弧、弦关系定理）AA知识点六：圆周角定理及其推论OO1、圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.1∠ COBCB CB如图：∠ CAB=22、圆周角定理的推论：C（ 1）同弧或等弧所对的圆周角相等 .（ 2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. AOB如图，若 AB 为直径，则∠ C=90°；若∠ C 为 90°，则 AB 是直径 .注意：（ 1）同弧指同一条弧，同一条弧所对的圆周角有无数个，它们的度数都相等. 等弧是指同一个圆内能重合的弧或等圆中能重合的弧.（ 2）“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类，它们一般不相等（是互补的）.知识点七：圆内接多边形AD1、圆的内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补 .O∠ A+∠ C=180 °，∠ B+∠ D=180 °BC第二节 点和圆、直线和圆的位置关系知识点一：圆的确定A1、过一点作圆： 只要以点 A 外的任意一点为圆心，以这一点与点 A 的距离为半径作圆就可以作出，这样的圆有无数个 .2、过两点作圆： 经过两个点 A， B 作圆，只要以线段AB 垂直平分线上任意一点为圆心，以这一点与点 A 或点 B 的距离为半径作圆就可以，这样有圆也有无数个 .A B3、过不在同一直线上的三点作圆：过不在同一直线上的A三点 A、 B、C 作圆，圆心到这三个点的距离相等，因此，圆心段 AB， AC 的垂直平分线的交点 O 处，以 O 为圆心，以 OA（或 OB，OC）为半径可作出经过 A、B、 CBOC三点的圆，这样的圆有且只有一个 .不在同一条直线上的三个点确定一个圆4、要想过四点作圆， 应先作出经过不在同一条直线上的三点的圆，如果第四到圆心的距离等于半径，则第四个点在圆上，否则不在圆上 .方法归纳： 确定一个圆的圆心的方法，只需作出此圆任意两条弦的垂直平分线，其交点就是圆心 .知识点二：三角形的外接圆1、三角形的外接圆 ：经过三角形三个项点可以作一个圆，2、这个圆叫做三角形的外接圆 .A3、三角形的外心： 三角形外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心，如图：⊙O 是O△ ABC 的外接圆，点 O 是△ ABC 的外心 .BC（ 1）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于外接圆的半径.（ 2）一个三角形有且只有一个外接圆，而一个圆却有无数个内接三角形.（ 3）三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心是斜边中点 .A CO A B A OOB C知识点三：反证法：（ 1）假设命题的结论不成立（ 2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（ 3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确.知识点四：直线和圆的位置关系1、直线与圆相离dr直线与圆无交点；2、直线与圆相切dr直线与圆有一个交点；3、直线与圆相交dr直线与圆有两个交点；rOrOOdrddlll知识点五：切线的性质与判定定理1、切线的判定定理： 经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（ 1）两个条件：①过半径外端；②垂直半径，二者缺一不可即：∵ MN⊥ OA， MN 过半径 OA 外端∴ MN 是⊙ O 的切线（ 2）切线判定方法：（ 1）数量关系：若圆心到直线的距离 d 等于半径 r ，则直线是圆的切线 .（ 2）切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 .OM A N提示： 在判定切线时，往往需要添加辅助线（连半径证垂直或作垂直证半径） .2、切线性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点 . 推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心 . 以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出第三个 .知识点六：切线长定理切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 .B即：∵ PA、 PB 是⊙ O 的两条切线P∴PA=PB，PO 平分∠ BPAO知识点七：三角形的内切圆A与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心 .三角形的外接圆与内切圆以及外心与内心的对比图形 ⊙ O 的名称 △ ABC 的 圆心 O 的确定 “心 ”的性 “心 ”的位置名称质到三角形锐角三角形在三角△ABC 的⊙O的内接三角形三边垂直的三个顶形内，直角三角形外接圆三角形平分线的交点点的距离在斜边中点处；钝相等角三角形在三角外△ABC 的⊙O的外切到三角形三角形三条角平一定在三角形内部内切圆三角形三条边的分线的交点距离相等A第三节 正多边形和圆bca+b-c知识点一：正多边形的定义及其相关概念Or=2各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.CaB。