6-1-2.还原问题（二）教学目的本讲重要学习还原问题．通过本节课的学习，可以使学生掌握倒推法的解题思路以及措施，并会运用倒推法解决问题．1. 掌握用倒推法解单个变量的还原问题．2. 理解用倒推法解多种变量的还原问题．3. 培养学生“倒推”的思想．知识点拨一、还原问题已知一种数，通过某些运算之后，得到了一种新数，求本来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以新数为基本，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种措施叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题．还原问题又叫做逆推运算问题．解此类问题运用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的论述顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运算，逐渐逆推．二、解还原问题的措施在解题过程中注意两个相反：一是运算顺序与本来相反；二是运算措施与本来相反．措施：倒推法口诀：加减互逆，乘除互逆，规定原数，逆推新数．核心：从最后成果出发，逐渐向前一步一步推理，每一步运算都是本来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，对的使用括号.例题精讲模块一、单个变量的还原问题【例 1】 刚打完篮球，冬冬觉得非常渴，就拿起一大瓶矿泉水狂喝．她第一口就喝了整瓶水的一半，第二口又喝了剩余的，第三口则喝了剩余的，第四口再喝剩余的，第五口喝了剩余的．此时瓶子里还剩0.5升矿泉水，那么最开始瓶子里有几升矿泉水？【考点】单个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答【核心词】可逆思想措施【解析】 最开始瓶子里有矿泉水：（升）．【答案】升【例 2】 李白提壶去买洒，遇店加一倍，见花喝一斗。
三遇店和花，喝光壶中酒壶中原有（ ）斗酒考点】单个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】填空【核心词】可逆思想措施，走美杯，六年级【解析】 设李白壶中原有斗酒，则三次通过店和花之后变为即壶中原有斗酒.【答案】斗【例 3】 有60名学生，男生、女生各30名，她们手拉手围成一种圆圈．如果让原本牵着手的男生和女生放开手，可以提成18个小组．那么，如果原本牵着手的男生和男生放开手时，提成了_ _个小组．【考点】单个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】填空【核心词】迎春杯，四年级，初赛，3题【解析】 措施一：男生和女生放手提成个组，阐明有男生被计算次，男生与男生放开手后提成的组数和男生数相似，但是由于是围成了一圈，因此刚刚计算人数会被算成了两次，因此按照逆推的原则，本来有男生人，被计算（次），因此（次）提成了组措施二：名学生围成圈，每个人与相邻的同窗牵手，那么有对牵着的手，其中男生与女生牵手的有对，假设男生与男生牵手的有人，那么，参与围圈的男生一共有人，因此，．那么本来牵手的男生和男生放手，提成了个小组．【答案】个小组模块二、多种变量的还原问题【例 4】 甲、乙、丙、丁四个学习小组共有图书280本，班主任教师建议让四个组的书同样多，得到拥护，于是从甲调14本给乙，从乙调15本给丙，从丙调17本给丁，从丁调18本给甲。
这时四个组的书同样多这阐明甲组本来有书______ 本考点】多种变量的还原问题 【难度】2星 【题型】填空【核心词】但愿杯，4年级，1试【解析】 甲得到4本，乙失去1本，丙失去2本，丁失去1本后，四个人书同样多，为280÷4=70，因此甲本来有70-4=66本书【答案】本书【例 5】 一群小神仙玩扔沙袋游戏，她们分为甲、乙两个组，共有140只沙袋．如果甲组先给乙组5只，乙组又给甲组8只，这时两组沙袋数相等．两个组本来各有沙袋多少只?【考点】多种变量的还原问题 【难度】2星 【题型】解答【核心词】可逆思想措施【解析】 甲乙两组的沙袋经历了两次互换．第二次互换后两组沙袋相等，又知沙袋总数为140只，因此这时两组各有沙袋70只．解答时可以从开始倒推．列表倒推如下：解决此类问题的核心是找到从哪里开始倒推．由于甲乙两组的沙袋经历了两次互换后数量相等，因此应从两组各有沙袋70只开始倒推．【答案】甲，乙【巩固】 甲、乙两班各要种若干棵树，如果甲班拿出与乙班同样多的树给乙班，乙班再从既有的树中也拿出与甲班同样多的树给甲班，这时两班正好均有28棵树，问甲、乙两班本来各有树多少棵？【考点】多种变量的还原问题 【难度】2星 【题型】解答【核心词】可逆思想措施【解析】 如果后来乙班不给与甲班同样多的树，甲班应有树（棵），乙班有（棵），如果开始不从甲班拿出与乙班同样多的树，乙班原有树（棵），甲班原有树（棵）．列表倒推如下:【答案】甲班原有树棵，乙班原有树棵【例 6】 有甲、乙两堆棋子，其中甲堆棋子多于乙堆．目前按如下措施移动棋子：第一次从甲堆中拿出和乙堆同样多的棋子放到乙堆；第二次从乙堆中拿出和甲堆剩余的同样多的棋子放到甲堆；第三次又从甲堆中拿出和乙堆同样多的棋子放到乙堆．照此移法，移动三次后，甲、乙两堆棋子数正好都是32个．问甲、乙两堆棋子本来各有多少个？【考点】多种变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答【核心词】可逆思想措施【解析】 我们从最后一步倒着分析．由于第三次是从甲堆拿出棋子放到乙堆，这样做的成果是两堆棋子都是32个，因此，在未进行第三次移动之前，乙堆只有(个)棋子，而甲堆的棋子数是(个)，这样再逆推下去，逆推的过程可以用下表来表达，表中的箭头表达逆推的方向．因此，甲堆原有44个棋子；乙堆原有20个棋子．采用列表法非常清晰．【答案】甲乙两堆棋子本来各有个和个【巩固】 有一种两层书架，一共摆放224本书，先从上层取出与下层本数同样多的书放入下层，再从下层既有书中，取出与上层剩余的本数同样多的书放入上层，这算进行了一轮调节．若如此共进行了两轮调节后，两层摆放书的本数相等，上层书架本来摆放________本书,下层书架本来摆放________本书．【考点】多种变量的还原问题 【难度】4星 【题型】填空【核心词】学而思杯，3年级，第8题，可逆思想措施【解析】 还原法 成果：上层 112 本；下层 112 本 上层 本；下层 本 上层 140 本；下层 84 本 上层 70 本；下层 154 本 上层 147 本；下层 77 本【答案】上层本，下层本【例 7】 三人有不等的存款，只知如果甲给乙40元，乙再给丙30元，丙再给甲20元，给乙70元，这样三人各有240元，三人本来各有存款多少元？【考点】多种变量的还原问题 【难度】2星 【题型】解答【核心词】可逆思想措施【解析】 甲：（元）； 乙：（元）；丙：．【答案】甲元， 乙元，丙元【巩固】 小巧、小亚、小红共有个玻璃球，小巧给小亚个，小亚给小红个，小红给小巧个，她们的玻璃球个数正好相等．小巧、小亚、小红本来各有多少个玻璃球？【考点】多种变量的还原问题 【难度】2星 【题型】解答【核心词】可逆思想措施【解析】 由已知条件可知，小巧比本来多了个，小亚比本来多了个，小红少了个，三人同样多时，都是（个），因此小巧本来有（个），小亚本来有（个），小红本来有（个）．【答案】因此小巧本来有个，小亚本来有个，小红本来有个．【例 8】 三棵树上共有36只鸟，有4只鸟从第一棵树上飞到第二棵树上，有8只鸟从第二棵树上飞到第三棵树上，有10只鸟从第三棵树上飞到第一棵树上，这时，三棵树上的鸟同样多．本来每棵树上各有几只鸟?【考点】多种变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答【核心词】可逆思想措施【解析】 这道题要采用倒推法，最后三棵树上的鸟同样多，那每棵数上就是（只），第一棵树上的鸟，先是飞了4只到第二棵树上，然后又有10只飞了回来，目前和本来比小鸟增长了6只，这样比较就能求出第一棵树上小鸟的只数；第二棵树上的鸟，先是飞来了4只，然后又有飞走了8只，目前和本来比少了4只，这样比较就能求出第二棵树上小鸟的只数；第三棵树上的鸟，先是飞来了8只，然后又飞走了10只，目前和本来比少了1只，这样比较就能求出第三棵树上小鸟的只数．列式：目前同样多的：（只），第一棵树上的小鸟只数：（只）或 （只），第二棵树上的小鸟只数：（只）或（只），第三棵树上的小鸟只数：（只）或（只）本来第一棵树上有6只小鸟，第二棵树上有16只小鸟，第三棵树上有14只小鸟．【答案】本来第一棵树上有6只小鸟，第二棵树上有16只小鸟，第三棵树上有14只小鸟【巩固】 三棵树上共有27只鸟，从第一棵飞到第二棵2只，从第二棵飞到第三棵3只，从第三棵飞到第一棵4只，这时，三棵树上的鸟同样多．本来每棵树上各有几只鸟？【考点】多种变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答【核心词】可逆思想措施【解析】 三棵树上的鸟同样多的只数：（只），第一棵数上鸟的只数：（只），第二棵数上鸟的只数：（只），第三棵数上鸟的只数：（只），第一棵数上有7只鸟，第二棵数上有10只鸟，第三棵数上有10只鸟．【答案】第一棵数上有7只鸟，第二棵数上有10只鸟，第三棵数上有10只鸟【巩固】 3个笼子里共养了78只鹦鹉，如果从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里，再从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里，那么3个笼子里的鹦鹉同样多．求3个笼子里本来各养了多少只鹦鹉?【考点】多种变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答【核心词】可逆思想措施【解析】 3个笼子里的鹦鹉不管如何取，78只的总数始终不变．变化后“3个笼子里的鹦鹉同样多”，可以求出目前每个笼里的是（只）．根据“从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里”，可以懂得第1个笼子里本来养了（只）；再根据“从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里”，得出第个笼子里有：（只），第3个笼子里原有（只）．【答案】第1个笼子里本来养了只，第个笼子里有只，第3个笼子里原有只。
巩固】 3个笼子里共养了36只兔子，如果从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里，再从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里，那么3个笼子里的兔子同样多．求3个笼子里本来各养了多少只兔子？【考点】多种变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答【核心词】可逆思想措施【解析】 3个笼子里的兔子不管如何取，36只的总数始终不变．变化后“3个笼子里的兔子同样多”，可以求出目前每个笼里的兔子是（只）．根据“从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里”，可以懂得第1个笼子里本来养了（只）；再根据“从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里”，因此第3个笼子里原有：（只），第个笼子里原有：(只)．【答案】第1个笼子里本来养了只，第个笼子里原有只，第3个笼子里原有只例 9】 张、王、李、赵四个小朋友共有课外读物200本，为了广泛阅读，张给王13本，王给李18本，李给赵16本，赵给张2本．这时4个人的本数相等．她们本来各有多少本？【考点】多种变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答【核心词】可逆思想措施【解析】 解这道题应当先明白这样一种道理，她们共有课外读物200本，通过互相互换后，这200本书的总数没有变化，仍然是200本．后来这4个人的本数相等时，每个人的本数是(本)．用倒推法，求每个人本来各有多少本书，可以从最后成果50本开始，把给出的本数加上，收进的本数减去，就得到各人原有课外读物的本数．⑴张原有读物的本数：(本)⑵王原有读物的本数：(本)⑶。