第七章 连续系统的复频域分析利用拉普拉氏变换得到了信号的复频域表达式，如果将系统的输入输出信号都用拉普拉 斯变换表示，并将系统用其复频域模型描述，这就得到了连续系统的复频域分析方法7.1 基本要求1．基本要求♦掌握传递函数的概念及求法；♦掌握在复频域中求解连续系统响应的方法；♦ 了解方框图的复频域分析方法；♦ 熟练系统稳定性的概念及判断方法；♦ 了解系统的时域、频域、复频域模型之间的相互转换2．重点和难点♦ 传递函数的求法♦ 系统响应的复频域求解方法♦ 系统稳定性的判断方法7.2 知识要点1．传递函数7-1)7-2)传递函数又称为系统函数、传输函数、或转移函数，其定义为系统零状态响应和外加 输入的单边拉普拉斯变换之比，即H( S)=芯或者系统单位冲激响应的单边拉普拉斯变换，即Y ( s)H( S)=盘=如以上两式给出了求解系统传递函数的方法此外，如果已知系统的传输算子，可以由下式得到系统的传递函数，即H (s) = H (p )| (7-3)p - s2．系统响应的复频域求解根据系统的传递函数，在求出了所有极点后，就可以将极点视为特征根，而采用与时域 分析类似的方法求解得到系统的零输入响应。
对于零状态响应，将系统的传递函数与输入信号的拉普拉斯变换相乘，即得到系统零状 态响应的拉普拉斯变换，然后取拉普拉斯反变换即可得到系统的零状态响应3．方框图的复频域模型实际分析时有两种层次的方框图，即用基本运算单元构成的方框图和用子系统的相互连 接构成的方框图1） 基本运算单元的复频域模型 数乘器、加法器的复频域模型与时域模型相同，而微分器、积分器、延迟器的复频域模型分别为s、1/s、e-sq复频域分析时，将方框图中所有的基本运算单元用复频域模型表示， 所有信号用拉氏变换表示，然后列写方程，得到传递函数，再进行其它的分析（例如求解系 统的响应）2） 子系统的连接 由若干子系统相互连接构成大系统，典型的连接方式有串联连接、并联连接和反馈连接每个子系统都有各自的数学模型和传递函数一旦知道各子系统的数学模型，再根据方框图 分析各子系统的连接关系，即可求得大系统的传递函数，再进一步对大系统进行分析4．连续系统的稳定性（1） 稳定的概念 在系统理论中，系统稳定的确切定义为，如果在任意有界输入作用下，系统的零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出意义下的稳定系统2） 连续系统稳定的充要条件对一般的因果系统，稳定的充要条件是其单位冲激响应h（t）满足傅里叶变换的绝对可积 条件，即代 I h（t ）ldt 5 （7-4）-g（3）连续系统稳定的判断方法如果系统函数所有极点都具有负实部，即都在s平面左半平面，则连续系统是稳定的。
只要有一个极点在右半平面或者在虚轴上，则系统不稳定实际分析时，有劳斯-霍尔维茨判据等方法5.连续系统各种模型之间的相互转换H （s） = H j） = H （p） （7-5）s p=sH （j o） = H （s） = H （p） （7-6）s j p j需要说明的是，只有稳定的系统，其单位冲激响应才具有傅里叶变换，因而才能得到系 统的频率特性不稳定的系统是不具有频率特性的但不稳定的系统同样存在传递函数、传 输算子和单位冲激响应因此，根据以上关系求系统的频率特性时，首先必须分析系统是否 稳定，否则得到的H（jo）并不是系统的频率特性7.3 补充例题例 7-1 已知系统的微分方程为y "(t) - y'(t) - 6 y (t) = f'(t) - f (t)(1) 求系统函数H(s)、频率特性Hj)；(2) 求系统的单位冲激响应 h(t)；(3) 设y(O-)=l, y' (0-)=0, f(t)=5etu(t),求系统的全响应y(t) 解 (1)由微分方程得到H (p) = P 一1 6p2 - p - 6则系统函数为H (s) = H (p )| = p=s s 2 — s — 6由于传递函数的极点为p1=3, p2=-2，其中p1位于［s］平面右半平面，所以系统不稳定，不存 在频率特性。
2)因为F (s) == 口 = 口 =竺 + 也 s2 -s-6 (s-3)(s+2) s-3 s+2对其取拉氏反变换得到f (t) = (0.4e3t + 0.6e-2t )u(t)3)由传递函数的极点可设零输入响应为求导得到y (t) = C e3t + C e-2tx 1 2代入初始条件得到yxx(t ) = 3C e3t - 2C e-2t12x yxx(0 -) = C + C = 112(0-)=3C -2C =012联解求得 C1=0.4, C2=0.6y (t) = 0.4e3t + 0.6e-2t, t > 0 x输入信号的拉氏变换为F (s)=二s - 1则零状态响应的拉氏变换为115 s - 1Yf(s) = F(s)H(s) = nr = s - 3 s + 2取拉氏反变换得到y (t) = (e3t - e-2t)u(t)则全响应为y(t) = y (t) + y (t) = (0.4e3t + 0.6e-2t +e3t - e—t)u(t) xf= (1.4e3t -0.4e-2t)u(t)说明：本题是比较综合的一个题目，涉及到了本章的大多数内容，具体包括——(1) 传递函数的定义及求法；(2) 系统的时域、频域和复频域模型之间的相互转换；(3) 系统零输入响应和零状态响应的复频域求解方法。
例7-2已知系统在输入f (t) = e-3t u(t作用下的零状态响应为y (t),在输入1 f1f (t) = 3f (-i)(t)作用下的零状态响应为 y (t) = -4y (t) + e-3tu(t)2 1 f 2 f1(1)求系统函数 H(s)；(2)求系统的单位冲激响应h(t)解(1)已知的yf0的拉氏变换为1Y (s) = -4Y (s) + ①f2 f1 s + 3根据系统的复频域分析方法又有Y (s) = F (s)H (s)f2 2其中根据拉氏变换的时域积分性质有3F (s) = — F (s)2 s 1Y (s) = - F (s)H (s) f2 s 1将上式代入式①得到31 F (s)H (s) = -4Y (s) +s 1 f1其中又有Y (s) = F (s)H(s)，代入上式求得f11H(s)=s + 3(4 s + 3)(s + 3)F (s)1(3 Y—-+ 4 F (s)I s丿将 F (s)=代入上式得到s s 0.25sH (s)二 二 =一(4 s + 3)(s + 3)丄 4s + 3 s + 0.75s + 3(2)对H(s)求反变换得到h(t)二 0.25e-o.75tu (t)例7-3已知系统的单位阶跃响应为g(t)二(1-e-2t)u(t)，在输入信号作用下f(t)的作用下 的零状态响应为yf(t) = (1-e-2t -te-2t)u(t)，求输入信号f(t)0并且解根据单位阶跃响应的定义，g(t)对应的输入信号为单位阶跃信号,s+2s(s + 2)＋U(s)因此由 Yf (s) = F(s)H(s) 得到将F(s) =Y (s) / H(s) fY (s) = 1 1 1 - s + 4f s s + 2 (s + 2)2 s(s + 2)2和H(s)代入得到… s + 4 / 2 0.5s + 2 1 0.5F (s)= = =s(s + 2)2/ s + 2 s(s + 2) s s + 2取拉氏反变换得到f (t) = (1 0.5e 2t)u(t)说明：以上两例是对传递函数的概念以及系统复频域分析方法的一个灵活应用。
主要涉 及到传递函数的概念、传递函数与系统零状态响应的关系等基本问题同时复习了单位阶跃 响应的概念例7-4如图7-1 (a)所示电路系统，已知输入信号为电流i(t)，输出信号为电压u(t)系，z1=-2，且 H(0)=0.5求电路参数 R、L、Co图 7-1 例 7-4 图解 首先画出电路系统的复频域模型如图7-1 (b)所示，由此求得(R + Ls)U (s) —Cs I (s)=+(R + Ls)s 2 +Rs + 丄L LCI(s)则系统的传递函数为H (s)=U (s)I (s)s 2 + Rs + 丄L LCCs另一方面，根据已知的零极点可以设系统的传递函数为K(s - z ) K(s + 2)i =—(s - p )(s - p ) s2 + 2s + 412其中有求得K=1,则比较式①和②得到H (0)=K (0 + 2)02 + 0 + 422H (s)=②R=2L丄=4LC联解求得 R=0.5O, L=0.25H, C=1F说明：本例主要涉及到如下知识点——（1） 传递函数的零极点根据零极点求传递函数的表达式的方法是：首先由零点和极 点分别写出传递函数中分子和分母，再乘以常数K。
其中的K由题目上另外已知的条件（例 如本例中的H（0））确定；（2） 电路系统的复频域分析求传递函数时,都假设电容、电感没有初始储能,因此 电容和电感直接用其复频域模型1/（Cs）和 Ls表示,同时将电路中所有的信号用其拉氏变换表 示,得到电路系统的复频域模型,再据此求出系统的传递函数如果需要求零输入响应,则电容、电感的复频域模型中必须考虑初始状态,使得问题比较复杂,仅作一般了解 例 7-5 如图 7-2 所示系统,已知H1⑶=占，H⑶=諾=21 ）求 H 2（ s） ；（2）为使子系统H2（s）稳定，求实数K的取值范围图 7-2 例 7-5 图解 ( 1 )根据方框图求得H (s)= KHi(s) 1 - [1-KH (s)]H (s)12 由此求得H(s) = H(s) +1 + KH\s) = 2 +1-Ks:3 =》+ 3 + K2 s _ [1-KH (s)]H(s) _ 2 L - K 丄「2 (s + 3 -K )I s + 3 丿(2) H2(s)的极点为p=K-3,为使其稳定，必须满足p=K-3<0,由此求得Kv3 说明：本例主要涉及到如下知识点——(1)方框图的复频域分析。
已知方框图中各子系统的数学模型，为求整个系统的传递 函数，直接利用相关公式求解本例中子系统坷⑸与-K串联，再与1相并联，然后与H2(s) 反馈后得到大系统2)系统的稳定性注意本例中并不是考察大系统的稳定，而是考虑子系统H2(s)的稳定性不管是大系统还是其中的子系统，都分别有稳定性的问题稳定性是系统的一个特性7.4 补充练习7.1 填空1) 传递函数定义为系统的零状态响应与其输入信号的 之比，或者系统的的拉普拉斯变换2) 已知系统的传递函。