泰勒公式的应用龚成通 htt p:// 它是考研的一大热点•但是近年考研大纲已经将“近似计算和误差估计”的有关 要求全部删除了，现在只剩下极限计算和不等式证明了.数学三、四对此是没有要求的，但是令人不可思议的是，数学三却对泰勒级 数是有要求的.在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点：• 1.展开的基点；•2.展开的阶数； •3.余项的形式.其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公式，在证明 不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式.而基点和阶数，要根据具体的问题来确定.【例1】求极限limx 06e x2sinx x(63ln ―X 2x(31 x7x2)x2)【分析】本题如果不用泰勒公式，直接用洛必达法则，也能计算，但必须要用六 次洛必达法则，而且导数越求越复杂.用泰勒公式就会方便得多•基点当然取在x 0点，余项形式也应该肯定是 皮亚诺余项.问题是展开的阶数是几？一般是这样考虑：逐阶展开，展开一项，消去一项, 直到消不去为止.首先将分子上函数6e x2 sinx进行展开，为此写出e x2和sin x的泰勒展开式.e x2的第一项是1，sinx的第一项是x，所以6e x2 sinx的第一项是6x，与后面的6 x消去了.再将它们展开一项，得到6e x2 sinx的前两项是6 x 7x3,所以还要将它们再展开一项. 对于分母也是一样.【解】ex2sin xx)x)1x42!7x36丄x22—x22o (x5)，s inxx 1 x3 1 x5 o (x6 ),3! 5!1ln_1 xln (L27 (、 x5 o (x5)， 401 33丄x33^x44^x44x) ln (1 x)2x1 5—X55丄X552x33o (x5 )，o (x5 )2x5 o (x5)，527 5 5X 5 + o ( X 5 )原式=lim 4- =—X T 0 9 X 5 + o (X 5 ) 165x (七 x 2 + 1 + x 2 — 1) — 2 x 2【例2】求极限lim 一x T+8 1 - 2 x 2 + 2 x 2 cos 丄X【解析】本题与上题一样，如果不用泰勒公式，直接用洛必达法则，也是能计算 的，但必须要用四次洛必达法则，而且导数会越求越复杂.为了方便地使用泰勒公式可以先做换元t =1 (倒数置换法).丄t=【解】原式=xX1 + t2 + v'1 - t2 - 2lim —t t 0+ t2 — 2 + 2 cos t1 , 1 A A 1 c 1 , ‘[1 + t2 - t4 + o (t4)] + [1 - t2 - t4 + o (t4)] - 2 ,•2 8 2 8lim —0 + t2 - 2 + 2[1 -— t2 + — t4 + o(t4 )]2! 4!-t4 + o (t4 ) lim 4 = - 3 .0 + — t4 + o (t4 )12【例 3】若 lim f (x) = 100，且 lim f"(x) = 0，试证明 lim 厂(x) = 0 .X T +